大学数学分析答案
数学分析课后习题答案
习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数解 由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n m习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材 例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案数学分析课后习题答案数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。
在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。
一、极限与连续性1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。
解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。
根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。
而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。
因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3的导数。
解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。
化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。
2. 求函数f(x) = sinx的微分。
解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。
对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。
因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。
三、积分与级数1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解析：根据定积分的定义，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为∫[0,1] x^2 dx。
计算这个积分，我们得到∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。
数学分析课后习题答案1.1
第一章 实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =−+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴ 0)1(2>−x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<−b a ，则b a =.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a −=−.令b a −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−b a b a 矛盾;若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a −=−.令a b −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−a b b a 矛盾;从而必有b a =.3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有 ⑴ 121≥−+−x x ；⑵2321≥−+−+−x x x证: ⑴因为21111−=+−≤−−x x x , 所以121≥−+−x x . ⑵因为21132−+−≤−≤−−x x x x , 所以2321≥−+−+−x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a −≤+−+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++,即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222−≤++−,两端再同加22c b +,则有c b c a b a −≤+−+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +−=++−1,)()(x b b a b x b a x b x a +−=−++,且0,0>>b x 所以当b a >时, ba xb x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数 证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x −<−；⑵b x a x −<−；⑶b a x <−2. 解: ⑴原不等式等价于11<−−−b x b a 这又等价于20<−−<bx b a 即 −<−<>b x b a b x 220或 −>−><bx b a b x 220即 >+>>b a b a x b x 2或 <+<<ba b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2b a x +> 当b a <时,不等式的解为2b a x +< 当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于 −<−>b x a x b x 且 −<−>bx x a b x即 >>b a b x 且+>>2b a x b x 故当b a >时,21b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.⑶当0≤b 时,显然原不等式无解, 当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<−2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<− 即b a x b a +<<−或b a x b a +>>−−Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+−。
数学分析Ⅰ智慧树知到答案章节测试2023年宁夏大学
第一章测试1.A:B:C:D:答案:D2.A:3.1416B:3.14159C:3.1415D:3.14160答案:D3.符号函数是（）.A:其它B:奇函数C:非奇非偶函数D:偶函数答案:B4.下列命题正确的有（）.（1）周期函数必有最小正周期（2）有界函数必有最大值和最小值（3）无界函数必无最大值和最小值（4）严格单调函数的图形与x轴有且只有一个交点A:2个B:1个C:3个D:0个答案:D5.下列数集上下确界都存在的是（）.A:B:C:D:答案:ABCD6.下列函数为有界函数的是（）.A:B:C:D:答案:BCD7.A:有界函数B:偶函数C:周期函数D:初等函数答案:AD8.下列命题正确的是（）.A:函数的确界不一定存在，即使存在也不一定唯一B:非空有界数集的确界一定存在且唯一C:无界函数上下确界都不存在D:有界函数必有无穷多个界答案:BD9.数集S不一定有上确界，如果有的话，可以有无穷多个.A:对B:错答案:B10.多项式函数不一定是初等函数.A:错B:对答案:A第二章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:B:C:D:答案:B3.A:a=2.b=-8B:a=2,b=8C:a=0,b=5D:a=0,b=-5答案:A4.下列哪一个数列具有收敛的子列：A:B:C:D:答案:D5.下列叙述错误的是（）A:单调数列必有极限B:有界数列必有极限C:单调减少且有下界的数列必有极限。
D:单调减少且有上界的数列必有极限答案:ABD6.A:B:C:D:答案:ABC7.A:对B:错答案:B8.A:对B:错答案:B9.A:错B:对答案:B10.A:错B:对答案:B第三章测试1.A:B:C:D:1答案:B2.A:B:1C:D:答案:C3.A:1B:0C:2D:答案:A4.A:B:2C:0D:答案:AB:2C:D:0答案:C6.A:B:0C:16D:答案:A7.A:B:C:D:答案:B8.A:0B:-1C:不存在D:1答案:C9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:2C:1D:0答案:D第四章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:跳跃间断点B:第二类间断点C:可去间断点D:连续点答案:CB:C:D:答案:C4.A:B:C:D:答案:AB5.下列叙述中正确的是（）A:B:C:D:答案:BD6.A:B:C:D:答案:AB7.A:对B:错答案:B8.A:错B:对答案:A9.A:错B:对答案:B10.A:错B:对答案:A第五章测试1.A:B:C:D:答案:A2.A:B:D:答案:B3.A:B:C:D:；答案:A4.A:错B:对答案:B5.初等函数都存在任意阶导数.A:对B:错答案:B6.A:错B:对答案:A7.A:错B:对答案:A8.A:错B:对答案:A9.A:对B:错答案:B10.A:错B:对答案:A第六章测试1.拉格朗日中值定理的特殊情形是（）A:柯西中值定理B:罗尔中值定理C:泰勒定理D:导数极限定理答案:B2.A:B:C:答案:D 3.A:B:C:D:答案:B 4.A:B:C:D:答案:B 5.A:B:C:D:答案:D 6.A:B:C:D:答案:B 7.A:-1B:-1/2C:1/2D:1答案:B 8.A: 1/eB:-eC:eD:-1/e答案:C 9.A:-1/2B:-1/3C:1/2D:1/3答案:B 10.A:1B:-1/2C:-1D:1/2答案:D。
数学分析习题答案(陈纪修第二版)
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
2
（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因 此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且源自x ∈ B 。nn2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
B
=
⎨⎧sin ⎩
x|
0
<
x
<
2π 3
⎫ ⎬ ⎭
；
C
=
⎧n ⎩⎨ m
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--14章
a
ww
2
2π ( (1 + a 4 ) 3 − 1) 。 3a 2
w. kh d
= 2b ∫ sin t a 2 + (b 2 − a 2 ) cos 2 t dt
0
πHale Waihona Puke aw .解质量 m = ∫ ρds = b ∫0 sin t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
2π
co m
Σ
∫∫ ( x
Σ
2
+ y + z )dS = ∫∫ a dS = 4πa 4 ，
2 2 2 Σ
所以
⎛ x2 y2 z2 ⎞ 13 13 4 2 ⎜ ∫∫ ⎜ 2 + 3 + 4⎟ ⎟dS = 12 ∫∫ x dS = 9 πa 。 ⎠ Σ ⎝ Σ 1 （6）由对称性，有 ∫∫ x 3 dS = 0 ， ∫∫ y 2 dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，再由 2 Σ Σ Σ 1 zdS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，得到 ∫∫ 2 Σ Σ
⎧ x = (b + a cos φ ) cos ϕ , ⎪ (6) 环面 ⎨ y = (b + a cos φ ) sin ϕ , 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ， 其中 0 < a < b 。 ⎪ z = a sin φ , ⎩
解（1） A = ∫∫ 1 + a 2 ( x 2 + y 2 )dxdy
4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ( x + y + z )dS ，其中∑是左半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， y ≤ 0 ；
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《数学分析》练习题1一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、广义积分dx x ⎰-202211的奇点的是 【 】A ．0B ．2C ．2D ．2±2、下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定可积；B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界；C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界；D ．函数)(x f 在[]b a ,无界，则)(x f 在[]b a ,可能可积。
3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。
【 】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要4、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中，为收敛级数的是 【 】A ．()∑∞=-11n n nu B ．()∑∞=-11n n nu C ．∑∞=+11n n n u u D ．∑∞=++112n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案.1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是： .2、函数2x e -在0=x 处的幂级数展开式为, .3、积分()10120<<⎰p dx x p= . 4、已知⎰=20sin x dt t y ，则dxdy= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1、求⎰=12dx e x I x 。
解:2、求⎰=edx x I 1ln .解:3、求由抛物线x y 22=和直线4=+y x 所围成图形的面积。
解:4、判别级数∑∞=-11n n nx ()0>x 的收敛性。
解:5、求级数∑∞=13n nn nx 的收敛半径与收敛域。
解: 6、求dx ex⎰+∞1。
解：四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的证明过程。
1、证明：积分⎰+∞02cos dx x 收敛。
证：2、设()x f 在R 上连续，()()()dt t x t f x F x20-=⎰。
证明：(1)若()x f 为偶函数，则()x F 也是偶函数；（2）若()x f 为单调函数，则()x F 也是单调函数。
证：3、若{}n na 收敛， ()∑∞=--11n n n a a n 收敛，证明级数∑∞=1n n a 收敛。
证：《数学分析》练习题2一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、广义积分dx x⎰-1211的奇点的是 【 】A ．0B ．1C ．-1D ．1±2、由曲线x e y =和直线1,1==y x 所围成的平面图形的面积为 【 】A.dx e x ⎰-10)1( ；B. dx e x ⎰-10)1( C. dx e x ⎰10； D. dx e x ⎰+1)1(3、函数()x f 在闭区间[]b a ,连续是函数()x f 在闭区间[]b a ,可积的__ __条件。
【 】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要4、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则下列级数中，发散的是 【 】A ．∑∞=1n nn u B ．∑∞=+11n n u n C ．∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1211n n nu n D ．∑∞=+11n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案.1、(){}x f n 在X 一致有界的定义是： .2、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛域为 .3、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n x n x n x nn = . 4、已知()⎰=20x dt t f y ，则dxdy= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1、求⎰=1arctan xdx I 。
解:2、求⎰++=311dx xxdx I .解:3、求旋轮线()()()π20cos 1,sin ≤≤-=-=t t a y t t a x 和x 轴所围成图形的面积。
解:4、判别级数∑∞=-11n n nx ()0>x 的收敛性。
解:5、求级数()12112+∞=-∑n n n x 的收敛半径与收敛域。
解:6、求反常积分dx xe I x ⎰+∞-=02。
.解：四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的证明过程。
1、证明：积分⎰+∞1cos dx xx收敛，而不绝对收敛。
证：2、证明：若()x f 和()x g 在闭区间[]b a ,可积，则()()()()⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba ba b a dx x g dx x fdx x g x f 222。
证：3、设函数项级数()x f n ∑在D 上一致收敛于()x S ，函数()x g 在D 上有界，证明级数()()x f x g n∑在D 上一致收敛于 ()()x S x g 。
证：《数学分析》练习题3一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列等式中，正确的结果是 【 】 A.)()('x f dx x f =⎰ ； B. )()(x f x df =⎰ ； C.)()(x f dx x f dx d=⎰D. )()(x f dx x f d =⎰ 2. 下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定连续；B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界；C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界；D ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,可微。
3. 幂级数∑nx n n3的收敛域是 【 】A.()2,4-B.[]2,4-C. ()3,3-D. [)3,3- 4.若级数∑++21nn a a 收敛，级数()∑+-+11n n a a 发散，则级数 【 】 A.∑na绝对收敛； B.∑na发散；C.()nna∑-1收敛 D.na∑条件收敛二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案. 1. 设()x f 有连续导数，()()3,3-==a f b f ，则()=⎰dx x f ba'________________。
2．()=+⎰dt t x dx d x a2tan sin ln 。
3 . 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为, .4. ()20011lim x dte t xtxx ⎰-→= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1．判别级数nn 4sin 3π∑的敛散性。
解:2. ⎰21ln e xdx 。
解: 3. 讨论积分()⎰-bapx b dx的收敛性。
解:4.求由曲线32--=x x y 和直线x y =所围成图形的面积 解:5. 求由曲线x y e y x -==1,和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
解:6. 求幂级数() ++-+++-+121531253n x x x x n n 的和函数。
解:四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，，共24分）请在每小题的空白处正确解答。
1.设()x f 在[],a a -上连续，证明：()x f 是奇函数的充要条件是()[]a a x dt t f xx ,,0-∈∀=⎰-。
证:2．证明：若()x f 在闭区间[]b a ,连续，()0≥x f ，若()⎰=ba dx x f 0，则()0≡x f 。
证：3. 若0,0>>n n b a ，n n n n b b a a 11++≤ ∑∞=1n n b 收敛，证明级数∑∞=1n n a 收敛。
证：。