山东大学数学分析
高等数学——微积分2.4 山东大学版
d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
11
(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
9
2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
山东大学2023年强基计划数学试题真题答案解析(精校打印版)
2023年山东大学强基计划数学试题考试时间2023年7月2日，考试时长60分钟.1.如何定义有界数列，举例说明.2.如何定义无界数列，举例说明.3.判断1--------------是否有界，若有界求出此值.23441111—4.求"+>+丁+——的值.I22232/5.是否存在奇数偶数c,使得/+/=凌6.已知点A(x.y)满足|5x+6j7|+|9x+ll)/|<2,求点力围成得面积.7.已知数列｛a n｝满足2S n=a n+—,则%是多少•a n8,已知A\JB=(4Z16Z2,---,4Z10｝,^ri5=｛叩2，。
3｝，则(4,B)共有多少组?9.己知p,q为正质数，且p<q,求证：/•是有限小数或无限循环小数.q10.S为有限集，&=｛/'二xeSi，〃eN*｝,S=keCF/eSi/eN*｝，证明：S是有限集，当且仅当为正整数，令S n+m=Sn对"恒成立.11.\ABC中，a.b.c成等比数列，求sin力cot C+cos/sin5cot C+cos5的范围是多少？12.求log3辰9后的值.2023年山东大学强基计划测数学试题解析1. 如何定义有界数列，举例说明.解：若数列｛《｝满足：对一切〃有\a n \<M (M 是与〃无关的常数)称数列｛《｝有界并 称M 是它的一个上界.Eg ： a n =Q 可取M 为任意正数；a n =-可取M 为任意大于1的正数.n2. 如何定义无界数列，举例说明.解：对于数列｛%｝,如果不存在某个正数能使。
〃的绝对值都小于它，这样的数列叫做无界 数列.对一切〃有\a n \<M (M 是与〃无关的常数)称数列｛a n ｝有界并称M 是它的一个上 界.Eg ： a n =n,对于任意M ,取〃 = [M] + 1,则％ =[M] + \>M ,所以不存在AH 吏\a n \<M 对任意都〃成立.3. 判断1-------------- 是否有界，若有界求出此值.2 3 400 (_ 1 1 00 ] y 00 y 1解：Z 了 = Z (-1)〃呼"火=f 0Z (F 〃膈=£= m 2n=l 〃 n=l n=l】十大注：由于一致收敛性，所以积分和极限可以交换顺序，本质为ln(x + l)的Tqy/”级数展开・-1 1 1 1心任4. ^―+ —+ —+——的值.I 2 22 32 n 2解：/ ln(2cosz)dz = / ln(2 —)&= / ln(e ix (l + e -2ix )dxJo Jo 2 Jo =[ln(e ix )dx + ln(l + e~2ix )dx;其中[ln(e ir )dx = [ ixdx =Jo Jo Jo Jo 82»2iz 八一3・2ii —4*2ix 义 j — 4- e --------e — + •••&2 3 4 13-2ii 4*2ix ln(l + e -2ix )da;=e -2i^ e ~2-2ir -I ----耳--------------E ---------... 茸中-2i 2(-2 - 2i) 3(-3 - 2i) 4(-4 -2i) 。
概率论与数理统计博士 - 金融数学随机分析与随机控制- 山东大学
概率论与数理统计专业攻读博士学位研究生培养方案（专业代码：070103）一、培养目标在本门学科上掌握坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力，在科学或专门技术上做出创造性成果。
1、掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持四项基本原则，具有良好的道德品质，遵纪守法，团结协作，学风严谨，有强烈的事业心和献身精神。
2、掌握本专业坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识，能够独立地、创造性地从事科学研究、教学工作或担任专门技术工作，而且具有解决和探索我国经济、社会发展问题的能力。
全面了解本学科领域的发展动向，并在该学科或专门技术上做出创造性成果。
3、至少熟练掌握一门外国语，能运用该门外国语熟练地阅读本专业的外文资料，具有一定的写作能力和国际学术交流能力。
第二外国语为选修，要求有阅读本专业外文资料的能力。
第一外国语非英语的博士生，第二外国语必须选修，且语种必须为英语。
4、具有健康的体魄和心理素质。
二、研究方向1、倒向随机微分方程2、非线性数学期望3、金融数学4、非参数统计与稳健统计5、生物统计与生物信息6、应用概率统计三、学制与学习年限全日制普通博士研究生学制3年，最长学习年限6年。
博士研究生原则上不提前毕业，对于特别优秀者，最多可提前一年，提前毕业的博士研究生除完成培养方案规定的课程外，必须有四篇以上SCI论文发表，所取得的科研成果均要求研究生为第一作者（单位为山东大学数学学院）。
四、培养方式博士研究生的培养实行导师指导和集体培养相结合的方式。
成立博士研究生指导小组，由3-5名本专业和相关学科的专家组成，其中应有一名校内跨学科的导师或校外导师，研究生导师任组长。
五、应修满的学分数全日制普通博士研究生至少修满13学分。
（其中必修学分为12）六、课程设置（具体见课程设置一览表）博士研究生的课程设置应结合博士研究生的研究领域及所需知识结构，以提高创新能力为主要目的，充分体现相应的深度与内涵。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2
(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±
5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、 设Ω是由 分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及 所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向 导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。
山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT
（因
V
）本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明： 对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V
山大专业课参考书参考书
649药学专业综合：《分析化学》（第六版），李发美主编，人民卫生出版社，《有机化学》（第六版），倪沛洲主编，人民卫生出版社。
2.数学院《数学分析》郭大均、陈玉妹编，山东科技出版社2004年版。
《高等代数》北京大学数学院、高等教育出版社2004年版；《线性代数》刘建亚、秦静编，高等教育出版社2004年版；《高等代数解题技巧与方法》黎泊堂、刘桂真编，山东科学技术出版社2002年版；《常微分方程》丁同仁、李承治编，高等教育出版社2002年版；《常微分方程》，王高雄、周之铭，高等教育出版社2004年版3经济学院434国际商务专业基础（包括国际贸易、国际金融、国际直接投资）：《国际贸易学》，范爱军等编著，科学出版社2009年第三版；《国际金融学》，秦风鸣、徐涛主编，经济科学出版社2008年第一版；《国际投资学教程》，碁建红主编，清华大学出版社2008年第二版807西方经济学：《西方经济学》（微观部分、宏观部分）(第三版）高鸿业主编中国人民大学出版社2004年版。
《经济学原理：微观经济学分册》《经济学原理：宏观经济学分册》（第五版）格里高利·曼昆，北京大学出版社2009年版4.管理学院管理学：《管理学—原理与方法》（第四版），周三多主编，复旦大学出版社1992年版；《管理学》（第一版），徐向艺主编，山东人民出版社2005年版。
5.药学院349药学综合或649药学专业综合：《分析化学》（第六版），李发美主编，人民卫生出版社；《有机化学》（第六版），倪沛洲主编，人民卫生出版社。
6.电气学院846电路：《电路》（第四版），邱关源主编，高等教育出版社。
905电路（专）：《电路》（第四版），邱关源主编，高等教育出版社。
电路全程导学及习题全解第四版侯钢主编中国时代经济出版社7.信息学院831数字电路：《数字电子技术基础》（第五版），闫石，高等教育出版社2006年版。
833信号与系统和数字信号处理（70%信号与系统，30%数字信号处理<不含滤波器设计>）《信号与线性系统分析》（第二版），孙国霞、郭予瑾等编，山东大学出版社2007年版；《信号与系统》（第二版），郑君里、应启珩、杨为里，高等教育出版社2000年版；《数字信号处理教程》（第三版），程佩青，清华大学出版社2007年版；《数字信号处理-应用MA TLAB》,（美）英格尔等编，科学出版社2006年年版。
《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。
HPM视角下数学史融入数学分析教学的探索--以“无穷大量”为例
㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＨＰＭ视角下数学史融入数学分析教学的探索ＨＰＭ视角下数学史融入数学分析教学的探索㊀㊀㊀ 以 无穷大量 为例Һ孙庆峰㊀（山东大学（威海）数学与统计学院，山东㊀威海㊀２６４２０９）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学分析是高校数学专业一门十分重要的必修课程．在ＨＰＭ视角下，将数学史融入数学分析教学可提升课程的教学效果，有助于学生了解整个数学概貌．本文结合教学实践，以 无穷大量 为例，从数学史和数学教育的角度对数学分析教学进行了探讨．ʌ关键词ɔ数学史；ＨＰＭ；数论；无穷大量；融合ʌ基金项目ɔ本文受到山东大学（威海）教育教学改革研究项目的资助（项目编号Ｙ２０１９０５９）引㊀言德国著名数学家ＤａｖｉｄＨｉｌｂｅｒｔ说过，数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分不可分离的结合．但在传统的大学数学教学中，很多课程都是从抽象概念到理论体系，大部分学生四年大学读下来，学到的只是一些似乎没有什么联系的数学片段，高等数学的概貌无法在学生心中呈现，这样培养出来的学生将来很难找到数学的主干分支，进而从事数学研究．鉴于以上困境，ＨＰＭ（ＨｉｓｔｏｒｙａｎｄＰｅｄａｇｏｇｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ）应运而生．数学史可以提供整个数学概貌，不仅可以使某一数学课程的内容相互联系起来，还可以使它们跟整个数学的主干联系起来，正如庞加莱（Ｊ．Ｈ．Ｐｏｉｎｃａｒé）所说： 如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状． 当然，我们也不能满堂灌，整节课都讲数学史，将数学课讲成历史课，可以只介绍某一个有代表性的数学分支．本文主要围绕以下两个方面的问题进行探讨：一是将数论研究历史融入数学分析教学有何意义；二是如何将数论研究历史融入数学分析教学．一㊁数学史和数学教育ＨＰＭ起源于１９７２年第二届国际数学教育大会．在这次大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组正式成立，标志着数学史与数学教育这个新的研究领域的诞生．如今，ＨＰＭ也表示数学教学的一种视角．有学者指出，ＨＰＭ视角下的教学设计，需要从数学知识㊁数学发展史㊁学生对数学知识的认知出发，注重数学知识的历史文化向度，不能简单地重复历史，也不能仅仅讲述数学家的故事，切入点是数学概念和定理的形成㊁发展的历史背景及蕴含的数学思想方法，让学生能够体验到数学的价值，欣赏数学的美，享受数学的乐趣．张奠宙曾在‘ＨＰＭ：数学史与数学教育“一书的序言中写道：我常将 为历史而数学史 比喻成 和田玉矿床 的开采，而把 为教育而历史 看成 玉石雕刻 的艺术．和田玉籽料是玉器的源头，当然重要，但是玉石雕刻艺术同样具有学术价值和艺术魅力．我想，ＨＰＭ就是这样的一门艺术．二㊁数论研究历史融入数学分析教学的意义美国著名数学史家卡约里（ＦｌｏｒｉａｎＣａｊｏｒｉ）说过： 数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类进步和科学思想是一致的． 他还在他的‘数学史“（ＡＨｉｓｔｏｒｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ）一书的前言中指出，教师通过对学生介绍数学史知识，可以使学生了解数学是一门在不断演进并且有趣的学科．我国著名的数学教育家㊁华东师范大学教授张奠宙曾说过，数学史是数学文化的载体，学习数学史，还能丰富学生对数学的认识．张俊忠在他的博士论文中也指出，将数学史融于初中数学教育可以提高学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣，促进学生理解数学，形成正确的数学观．对初中生尚且如此，对大学生的作用更加不容小觑．在德国汉堡大学举行的第十三届国际数学教育大会中的第２５个研究专题强调，要认识数学史在数学课堂和教学中的作用．数论是核心数学中历史最为悠久㊁影响最为深远的分支之一．数论研究不仅激励着纯粹数学的发展，还一直促进着应用数学的扩展和提升，其相关理论成果在量子力学㊁计算方法㊁代数编码㊁组合论㊁信息安全等领域都起到了重要的作用．数论是数学中最美的数学分支之一，它的很多猜想或者定理都有一个显著的特点，就是只要具备初中甚至小学知识就能看懂，但其证明却需要当前最深刻最前沿的数学理论．比如，著名的哥德巴赫猜想 每个大于等于４的偶数都可以表为两个素数之和 ；再如费马大定理 当整数ｎ大于２时，关于ｘ，ｙ，ｚ的方程ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ没有正整数解 ．鉴于这些特点，让学生了解数论发展历程可以激发学生对数学的学习兴趣，提高学生的数学审美素养．素数分布问题是数论中最重要的问题之一，同时素数又是所有学生都知道的数学对象，相比其他抽象的数学概念更加平易近人．将素数分布问题的研究历史融入数学分析教学，能够让学生体会到微积分理论对促进数学发展所起到的重要作用．所谓教学相长，将数学史融入数学分析教学对教师而言也有助于数学素养质的提升和教学水平质的提高．杨渭清在其发表的文章中指出，数学史是教师数学素养提升的精神源泉．教师更加了解数学史，可以提升其对数学的认识，改进教学方法，改变传统的先介绍抽象的数学概念，再介绍理论体系的教学方法，而以活跃课堂气氛为主，以学生为中心，让学生更容易接受新概念和新理论．三㊁数论研究历史融入数学分析教学的途径在数学分析的教学中，在讲解微积分的应用时，举例多来自物理方面，但由于现在很多学生物理知识薄弱，对一些物理概念比较陌生，所以如果能举一些浅显易懂的例子，效果会更好．汪晓勤将数学史融入数学教学的方式划分为五种，即 点缀式 附加式 复制式 顺应式 重构式 ．㊀㊀㊀㊀㊀ 点缀式 是指在教学中提供插图，如数学家画像㊁古代数学著作的书影及能够反映数学主题的绘画㊁摄影作品等，这种方式以图辅文，图文相配，具有装饰㊁美化的作用． 附加式 是指在教学中介绍数学史文字阅读资料，包括数学家的生平，数学概念㊁符号㊁思想的起源，历史上的数学问题㊁思想方法等，这种教学方式可以使教学更加有趣㊁生动，但过于浅显，不能挖掘出知识的内涵． 复制式 是指在教学过程中直接采用历史的数学问题㊁问题解法㊁定理证法等，这种教学方法能够提供数学问题，再现数学思想，促进数学学习． 顺应式 是指在教学过程中采用改编的历史数学问题或根据历史材料而编制的数学问题，或源于数学史但经过简化的数学问题．这种教学方式能够增加学生探究问题的机会，激发学生的学习兴趣． 重构式 是指在教学中借鉴或重构知识的发生㊁发展的历史，采用发生法进行教学的方式，这种教学方式可以使学生再创造式的学习新知识，但重构难度大，缺少直观性，易使课堂枯燥无趣．现在广泛认可的方式是将两种以上教学方式融合起来，比如 附加式＋重构式 ．下面以无穷大量教学片段及分析为例，探讨数论研究历史融入数学分析教学的途径．（１）教学片段１：由最熟悉的素数的分布问题引入师：素数有多少个？生（全体）：无穷个．师：怎样证明素数有无穷个？生１：反证法．生２：Ｅｕｃｌｉｄ方法．师：很好，很多同学都知道素数有无穷个的证法．但历史上，有很多数学家想进一步证明特殊形式的整数是素数．比如，费马在１６５４年写给数学家帕斯卡的信中告诉帕斯卡，自己新发现一个 定理 形如２２ｎ＋１（ｎ为非负整数）的正整数都是素数．即２２１＋１为５，是素数；２２２＋１为１７，是素数；２２３＋１为２５７，是素数；２２４＋１为６５５３７，是素数；如此以至无穷．不过他承认，上述 定理 的证明很难，他还没有完全找到．对于费马的发现，帕斯卡简直是敬佩备至．同学们觉得费马的证明对吗？生：不对！师：为什么不对呢？生：师：因为费马的这个结论是由不完全归纳得到的结论，而不完全归纳得到的结论不具有说服力．事实上，一个世纪之后，数学家欧拉证明了当ｎ＝５时，费马所说的数是合数，从而证明费马所谓的 定理 是不成立的．所以，对数学结论的证明都要求是严格的．（２）教学片段２：用数学语言表达师：设π（ｘ）表示不超过ｘ的素数的个数，素数有无穷多个等价于什么？生３：ｌｉｍｘң＋ɕπ（ｘ）＝＋ɕ．师：我们就把π（ｘ）称为当ｘң＋ɕ时的正无穷大量．再比如ｌｎｘ是当ｘң＋ɕ时的正无穷大量，ｘα（α＞０），ｅｘ，ｘｘ都是当ｘң＋ɕ时的正无穷大量．类似地，还可以定义ｘңｘ０，ｘ＋０，ｘ－０，ɕ，－ɕ等情况的无穷大量㊁正无穷大量和负无穷大量．大家能不能写出这些情况的定义呢？生４：若ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ɕ（或＋ɕ，－ɕ），则称当ｘңｘ０时，ｆ（ｘ）是无穷大量（或正无穷大量㊁负无穷大量）．师：你能不能举个例子说明一下？生４：比如ｘ－１是ｘң０时的无穷大量，ｌｎｘ是ｘң０时的负无穷大量，－ｌｎｘ是ｘң０时的正无穷大量．师：很好！有哪名同学能说一下当ｘңｘ０＋（ｘ－０）时，ｆ（ｘ）是无穷大量（或正无穷大量㊁负无穷大量）的定义呢？生５：若ｌｉｍｘңｘ０＋（ｘ－０）ｆ（ｘ）＝ɕ（或＋ɕ，－ɕ），则称当ｘңｘ０＋（ｘ－０）时，ｆ（ｘ）是无穷大量（或正无穷大量㊁负无穷大量）．师：对的，请坐．比如ｘ－１是ｘң０＋时的正无穷大量，ｘ－１是ｘң０－时的负无穷大量．还有哪名同学能说一下当ｘңɕ（－ɕ）时，ｆ（ｘ）是无穷大量（或正无穷大量㊁负无穷大量）的定义？生６：若ｌｉｍｘңɕ（－ɕ）ｆ（ｘ）＝ɕ（或＋ɕ，－ɕ），则称当ｘңɕ（－ɕ）时，ｆ（ｘ）是无穷大量（或正无穷大量㊁负无穷大量）．师：非常好！相信大家都理解了无穷大量．同学们一定要注意，说哪个函数是无穷大量，必须点明是在哪个极限的无穷大量，比如ｘ－１是ｘң０＋时的正无穷大量，但不是ｘң１时的无穷大量．（３）教学片段３：由素数分布问题研究历史引入无穷大量的比较师：德国数学家高斯和法国数学家勒让德猜想：ｌｉｍｘң＋ɕπ（ｘ）ｘ／ｌｎｘ＝１意思是ｘ无限增大时，π（ｘ）和ｘ／ｌｎｘ趋于无穷的速度一样．这个猜想由阿达马和德㊃拉㊃瓦莱布桑在１８９６年按照黎曼的思路证明．师：也就是说素数趋于无穷的速度和整数趋于无穷的速度不一样，整数趋于无穷的速度和ｘ趋于无穷的速度是一样的．整数趋于无穷的速度快，还是素数趋于无穷的速度快呢？生（全体）：整数．师：我们称当ｘң＋ɕ时，π（ｘ）和ｘ／ｌｎｘ是等阶无穷大量，ｘ关于ｘ／ｌｎｘ是高阶无穷大量，ｘ／ｌｎｘ关于ｘ是低阶无穷大量．４．反思总结马赫说过： 没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学． 数学史中包含着丰富的教学素材和数学思想，更富含历代数学家的探索精神和爱国主义情操．在教学的道路上，教师要不断探索好的教学方式，将这些数学思想和精神传承下去，创造新时代数学的未来．ʌ参考文献ɔ［１］彭刚，蓝宁．ＨＰＭ视角下大学微积分教学改革研究［Ｊ］．湖北第二师范学院学报，２０１８（０３５）：９５－９８．［２］张俊忠．数学史融入初中数学教育的研究［Ｄ］．武汉：华中师范大学，２０１５．［３］徐斌艳．２０１６年相聚在第十三届国际数学教育大会［Ｊ］．中学数学月刊，２０１５（０６）：１－３，１６．［４］杨渭清．数学教育中融入数学史的若干问题探究［Ｊ］．西安文理学院学报（自然科学版），２００９，１２（３）：１２５－１２８．［５］汪晓勤．ＨＰＭ：数学史与数学教育［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７：３２０－３５６．。
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2005年试题
一、1.求极限1222lim n n a a na n
→∞
++L ，其中lim .n n a a →∞= 2.求极限21lim (1).x x x e x -→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。
4.计算积分：21,D dxdy y x
+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。
5.计算：2222,:21C ydx xdy I C x y x y
-+=+=+⎰方向为逆时针。
6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a a b b
++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且
2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在
[,]a b 上几乎处处为零。
三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。
四、
设222220(,)0,0
x y f x y x y +>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。
五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：
2
()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+= 六、()f x 在R
上二次可导，,()0,x f x ''∀∈>R 又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。
七、设()f x 和()g x 在[,]a b 内可积，证明：对[,]a b 的任意分割
0121:,,[,],0,1,2, 1.n i i i i a x x x x b x x i n ξη+∆=<<<<=∀∈=-L L 有100lim ()()()().n b
i i i a i f g x f x g x dx ξη-∆→=∆=∑⎰ 八、求级数：01(1).31
n
n n +∞=-+∑ 九、试讨论函数项级数222222(1)1
[(1)]n x n x n x n e n e +∞---=--∑在区间(0,1)和(1,)+∞上的一致收敛性。
十、计算222(),I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰其中∑为圆锥曲面222x y z +=被
平面0z =与2z =所接部分的外侧。
十一、设()f x 在[0,1]上单调增加，且(0)0,(1) 1.f f ≥≤证明：3[0,1],..().s t f ξξξ∃∈=
十二、设()f x 在[0,)+∞上连续，0()x dx ϕ+∞⎰绝对收敛，证明
：00lim ()()(1)().n x f x dx f x dx n
ϕϕ+∞→+∞=⎰ 十三、设0,n a >证明：当下极限1ln(
)lim inf 1ln n n a n →∞>时，级数1n n a +∞=∑收敛。
当上极限1ln(
)lim sup 1ln n n a n →∞<时，级数1n n a +∞=∑发散。