高等数学——微积分2.4 山东大学版

d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x

a ln a ,
x
e
x

e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x

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(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
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2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
A f ( x 0 ).
lim 反之, 如果 y f ( x ) 在 x 0可导, 即 x 0
y f ( x 0 )存在, x
3
根据极限与无穷小的关系, 上式可写为
则
y f ( x 0 ) ，（x 0, 0） x y f ( x0 )x x.
1 d arc cot x dx . 2 1 x
2.函数的和、差、积、商的微分法则
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函数和、差、积、商的求导法则
函数和、差、积、商的微分法则
u v u v ,
uv

Cu CuC是常数，
uv uv ,
d u v du dv ,
例7
解
求 1.05的近似值.
1得： 1.05 1 0.05, 利用近似公式 1 1.05 1 0.05 1.025 , 2
如直接开方得： 1.05 1.02470 ,
1.025 作 1.05 的近似值其误差不超过 0.001.
例8 求 3 997的近似值.
解
3
3 997 3 1000 1 10 3 1 0.003 1000
R 20 R 0.1
4 3.14 202 0.1 -502.40毫米3


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利用微分计算 sin 30 30近似值。 例6： 解： 设f x sinx, 则f x cos x; 30 30 6 360 取x 0 , x , 应用2式得：
(1) d(__) xdx ; (2) d(__) cos tdt
解:
2 d ( x ) 2 xdx. (1)因为
2 x 1 , 可见，xdx d x 2 d 2 2 x2 即，d c xdx（ , c是任意常数） 2
当 x 很小时，dy y .
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例1 求函数
y x 3当x 2, x 0.02 时的微分 .
解
先求函数在任意点的微分
dy ( x 3 )x 3 x 2 x.
再求 函数当 x 2 , x 0.02时的 微分
dy x 2
x 0.02
3 x 2 x
2 A ( x 0 x ) 2 x 0 2 x 0 x x 函数的增量由两部分构成：
2
x ，当x 0时，是 2、第二项 x的高阶无穷小 .
2
1、等式右边第一项，x的线性式，是函数增量 的主要部分。
1
2、微分的定义
设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0及 x 0 x在这 区间内，如果函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可表示为
第4节一.微分的定义：函数来自微分x0x0 x
x
2 x x
x0 x x0
1.实例——函数增量的构成
正方形金属薄片，因受 热 , 边长由 x0变到x0 x , 此时面积改变了多少？
解：正方形边长与面积 的函数关系为 A x2 当边长增量为 x时 ， 面 积 增 量 为
2 A x0
例3 y ln(1 e ), 求 dy.
解 dy d ln 1 e
x2

x2
1 e d 1 e 1 e
1
x2
1
x2
x2
e d x2
x2


e
x2 x2
1 e
2 xdx
2 xe 1 e
x2 x2
dx.
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例4 在下列等式的括号中填入适当的函数，使等式成立。
规定: x dx
如函数 y cos x 的微分为 dy (cos x )' x sinxx 显然，函数的微分 dy f ( x )x 与 x 和 x 有关。
4
4、微分的几何意义 y T N
P
dy y
y f(x)
M0
Q
O
x0
x
x0 x
x
当y是曲线y f ( x)上点的纵坐标的增量时， dy就是曲线的切线上相应点的纵坐标的增量。
定义
y Ax o( x )
其中 A 是不依赖于 x 的数，而
（1）
o( x ) 是比 x 高阶的无穷小，
那么称函数 y f ( x ) 在点 x 0 是可微的，而 A x 叫做函数
y f ( x )在点 x 0 相应于自变量增量x的微分， 记作dy，即：
dy Ax.
x 2 x 0.02
3 2 2 0.02 0.24.
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二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式
d x x 1 dx ,
x


x 1 ,
sin x cos x ,

2
d sin x cos xdx,
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三. 微分在近似计算中的应用(自学) 在 x 很小时, y dy,即f x 0 x f x 0 dy
微 分 在 近 似 计 算 中 主有 要两方面的应用： 1、 利 用 x 0点 的 微 分 ， 求 函 数 的 应 相增量 y y dy f ' ( x 0 )dx (dx x ) 2、 求x 0点 附 近 的 点 x 0 x的 函 数 值 f ( x 0 x ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) dy f ( x 0 ) f ' ( x 0 )dx
铁球直径为 40毫米, 使用一段时间 例5： 用于研磨水泥原料用的 以后其直径缩小了 0.2毫米, 试估计铁球体积减少了 多少？ 4 2 解： 体积V R 3 ,V 4R 2 V V R 4R R. 3
铁球的体积的改变量的 近似值为：
V 4R 2 R
1 arc cot x 2 . 1 x

1 d log a x dx , x ln a 1 d ln x dx , x 1 d arcsin x dx , 2 1 x 1 d arccos x dx , 2 1 x 1 d arctan x dx , 2 1 x
因x o（x） , 且f ( x0 )不依赖于 x, 故上式相当于(1)式,
则 f ( x ) 在点 x 0 可微。
定理:
函数y f ( x)在x0处可微 f ( x)在x0处可导.
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 dy或df ( x ), 即
dy f ( x )x .
d Cu CduC是常数，
u uv uv v 0. 2 v v
d uv vdu udv , u vdu udv v 0. d 2 v v
3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 设y f (u), u ( x)都可导 , 则复合函数 y f [ ( x)] 的微分为 :
利用近似公式得：
3
1 10 1 0 . 003 997 3 9.99
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四.微分在误差估计中的应用
在实际工作中, 经常需要测量各种数据,由于测量仪器的精度、 测量方法以及测量时周 围环境等各种因素的影 响 , 测得的结果必然 带有误差而根据带有误 差的数据计算所得的结 果也会有误差,叫作 间接测量误差.
若y Ax (x ), 则称dy Ax为函数的微分 .
Ax： 称 为 y的 线 性 主 部 ， 即 dy。 x 很 小 时 ， y dy
2
3. 函数可微的充要条件
设函数 y f ( x ) 在点 x 0 可微, 则有(1)成立，即
y Ax o(x )
dy y x dx f (u) ( x)dx.
du ' ( x )dx