山东大学数学专业考研真题(数学分析)
山东大学2018年数学分析考研试题及解答
1)
−
sin
x,
即fn(x)逐
点收敛于f (x) = sin(x + 1) − sin x.下面按定义来说明fn(x)一致收敛于f (x).
n
k
n
k
n1 1
|fn(x) − f (x)| =
cos(x + t) − cos x +
dt
k−1
n
= → 0, (n → ∞). n2 n
k=1 n
k=1
1
f
2 x
, 0<x
1,并且设g(0) = 0. 那么,当2m
2 x
< 2m + 1,
m
∈
Z,
即2 2m+1
<x
g(x)
=
0.
类似地,
当1 m
<
x
2 2m+1
,
m ∈ Z时,
g(x) = 1.
1 m
时,
上面定义的g(x)是[0, 1]上的有界函数, 并且容易看出g(x)在[0, 1]上Riemann可积. 而对于任
意一个在[0, 1]上Riemann可积的函数g(x)均有:
limn→∞
1 n
n k=1
g
k n
=
1 0
g(x)
dx,通过做
差就能证明. 综合前述两点, 就能得到
原式 = lim 1 n g k
n→∞ n
n
k=1
1
= g(x) dx
0 ∞
=
m=1
2
1
−
2m + 1 m + 1
∞ (−1)k−1 =2
2009年山东大学数学分析考研试题
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 2009年山东大学数学分析考研真题1.设函数)(x f ）（）（bx a bx a --+=ϕϕ其中）（x ϕ在a x =的某个小邻域内有定义且可导，求)0('f2.设π<<<y x 0，证明x x x x y y y y ππ++>++cos 2sin cos 2sin3.设0,0>>y x ，求)4(),(2y x y x y x f --=的极值 4.设)cos 1()1arctan()(200x x dt t du x f u x -+=⎰⎰，求0lim (x)x f → 5.计算C xdy ydx -⎰，其中C 为椭圆22(x 2y)(3x 2y)1+++=，方向为逆时针方向。
6.计算(x y)dxdy x(y z)dydz S-+-⎰⎰，其中S 为柱面221x y +=及平面0,3z z ==所围成的区域Ω的整个边界曲面外侧。
7.设(x)f =(x)f 在[0,)+∞上是否一致连续，并证明。
8.计算积分{}2min ,2D I x y dxdy =⎰⎰，其中D=}{(x,y)|0x 4,0y 3≤≤≤≤9.计算积分20(y)sin 2x I e xydx +∞-=⎰10.设2222222,0(x,y)00xy x y f x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+≠⎩当，当，讨论（1）(x,y)f 的连续性；（2）,x y f f 的存在性及连续性；（3）(x,y)f 的可微性。
11.设010,1,2,....n x x n +===判断级数0n ∞=12.设(x)f 在(,)-∞+∞又连续的一阶导数，证明： 1）若'||lim (x)0,x f α→+∞=>则方程(x)0f =在(,)-∞+∞至少有一个实根； 2）若'||lim (x)0,x f →+∞=则方程'(x)0f =在(,)-∞+∞至少有一个实根。
山东大学2005数学分析
2005年试题 一、1.求极限1222lim n n a a na n→∞++L ，其中lim .n n a a →∞= 2.求极限21lim (1).x x x e x -→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。
4.计算积分：21,D dxdy y x+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。
5.计算：2222,:21C ydx xdy I C x y x y-+=+=+⎰方向为逆时针。
6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a a b b++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。
四、设222220(,)0,0x y f x y x y +>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。
五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：2()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+= 六、()f x 在R上二次可导，,()0,x f x ''∀∈>R 又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。
七、设()f x 和()g x 在[,]a b 内可积，证明：对[,]a b 的任意分割0121:,,[,],0,1,2, 1.n i i i i a x x x x b x x i n ξη+∆=<<<<=∀∈=-L L 有100lim ()()()().n bi i i a i f g x f x g x dx ξη-∆→=∆=∑⎰ 八、求级数：01(1).31nn n +∞=-+∑ 九、试讨论函数项级数222222(1)1[(1)]n x n x n x n e n e +∞---=--∑在区间(0,1)和(1,)+∞上的一致收敛性。
山东大学2004数学分析
2004年试题1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t xm x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。
3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且li m ()li m ().x x c fx f x A →-∞→-==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞=4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且320lim ().x x f x →+'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。
5. 设0,1,2,3,na n >= 且有1lim (1)0,n n n a n c a →∞+-=>求证：11(1)n nn a ∞+=-∑收敛。
6. 求级数2112n n n ∞=++∑的和。
7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1(0)(1)0,m in ().2x f f f x ∈===-证明：(0,1),..() 4.s t f ξξ''∃∈≥8. 证明：对于任意2()0,sin x etdx αα+∞-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。
9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())nn n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。
10.设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：10lim ()(1).nn x f x dx f →∞=⎰11.设33()ijA a⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3,11,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。
数学专业山东省考研试题精选
数学专业山东省考研试题精选考研数学专业是为了提升数学专业的研究能力和学术水平，进一步深入学习数学理论和数学应用的研究方法。
山东省考研数学专业试题作为对考生数学综合素质的考核工具，具有一定的难度和专业性。
下面是数学专业山东省考研试题的精选内容。
一、高等代数1. 设A是一个n×n的矩阵，若存在正整数k使得A^k=0，则A一定可对角化。
2. 对任意矩阵A，存在非奇异矩阵P和对角矩阵D，使得P^(-1)AP=D。
3. 设A是n×n的实对称矩阵，λ_1, λ_2, …, λ_n是A的n个特征值，v_1, v_2, …, v_n是相应的特征向量，则v_1, v_2, …, v_n是线性无关的。
二、数学分析1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，若f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。
3. 设函数f(x)在区间(a, b)上连续，当x→a时，f(x)的极限存在，则称a为f(x)的一个间断点。
三、数理统计与概率论1. 对于一元随机变量X，若其分布函数F(x)满足F'(x)=λF(x)，其中λ为常数，F(x)是X的概率密度函数。
2. 设X_1, X_2, …, X_n是来自总体X的样本，若样本均值X与样本方差S^2是相互独立的，则总体X满足正态分布。
3. 若总体X的方差存在且为有限值，设X_1, X_2, …, X_n是来自总体X的样本，则当样本容量n趋于无穷大时，样本均值X的极限分布是服从正态分布的。
四、常微分方程1. 设n为非负整数，求递推关系式a(n+2)-4a(n+1)+4a(n)=0的通解。
2. 求微分方程y''+2y'+y=e^(-x)的特解。
山东大学2017年数学分析考研试题及解答
1
微信公众号
山东大学2017年数学分析考研试题参考解答
小花爱数学
因为
∞ (−1)k−1(a cos x)k ∞ (−1)k−1(a cos x)k
ln(1 + a cos x) − ln(1 − a cos x) =
+
k
k
k=1
k=1
∞ (a cos x)2k+1
=2
,
2k + 1
k=0
故 求导得
因为极限 limx→0 f (x) 不存在, 故 f (x) 在 J 上不是一致连续的.
二. 1. 此题为裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第333页练习题4.2.2中第一
小题, 这里其实应该单独定义下 f (0), 比如定义 f (0) = 0. 至于为什么可积, 我们只需要考
虑 f (x) 的间断点, 间断点为
2. 此题为裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第951页练习题7.3.3, 把曲线
参数化后计算即可.
x=
a 2
+
a 2
cos
t,
y=
a 2
sin
t,
z
=
a
sin
t 2
,
t ∈ [0, 2π],
计算结果略.
四. 首先易得 fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, 又由于在原点附近
π 2
∞
a2k+1 cos2k x
I(a) = 2
dx,
0 k=0 2k + 1
π∞
π
2
2
I (a) = 2
(a cos x)2k dx = 2