华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十五章至第十七章(圣才出品)
第15章傅里叶级数15.1复习笔记一、傅里叶级数1．三角级数·正交函数系（1）称（15-1）是由三角函数列（也称为三角函数系）1，cos x，sin x，cos2x，sin2x，…，cos nx．sin nx，…（15-2）所产生的一般形式的三角级数．（2）若级数收敛，则级数（15-1）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛．（3）若两个函数与在[a，b]上可积，且则称函数与在[a，b]上是正交的．由此，三角函数系（15-2）在[－π，π]上具有正交性，或称（15-2）是正交函数系．2．以2π为周期的函数的傅里叶级数（1）若在整个数轴上（15-3）且等式右边级数一致收敛．则有如下关系式：（15-4）（2）若f是以2π为周期且在[－π，π]上可积的函数，则按公式（15-4）计算出的a n 和b n称为函数f（关于三角函数系）的傅里叶系数．以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作（15-5）3．收敛定理（1）傅里叶级数收敛定理若以2π为周期的函数f在[－π，π]上按段光滑，则在每一点x∈[－π，π]，f的傅里叶级数（4）收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即其中a n，b n为f的傅里叶系数．（2）按段光滑若f的导函数在[a，b]上连续，则称f在[a，b]上光滑．但若定义在[a，b]上除了至多有有限个第一类间断点的函数f的导函数在[a，b]上除了至多有限个点外都存在且连续．在这有限个点上导函数f′的左、右极限存在，则称f在[a，b]上按段光滑．根据上述定义，若函数f在[a，b]上按段光滑，则有如下重要性质：①f在[a，b]上可积；②在[a，b]上每一点都存在f（x±0），且有③补充定义f′在[a，b]上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为f′），f′在[a，b]上可积．（3）若f是以2π为周期的连续函数，且在[－π，π]上按段光滑，则f的傅里叶级数在（－∞，＋∞）上收敛于f．二、以2l为周期的函数的展开式1．以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以2l为周期的函数，则F的傅里叶级数展开式是（15-6）与（15-7）这里（15-7）式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数，（15-6）式是f的傅里叶级数．若函数ｆ在[－l，l]上按段光滑，则同样可由收敛定理知道（15-8）2．偶函数与奇函数的傅里叶级数（1）设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在[－l，l]上的偶函数，则在[－l，l]上，f （x）cos nx是偶函数，f（x）sin nx是奇函数．因此，f的傅里叶系数（15-7）是（15-9）于是f的傅里叶级数只剩有余弦函数的项，即（15-10）（15-10）式右边的级数称为余弦级数．（2）同理，若f是以2l为周期的奇函数，或是定义在[－l，l]上的奇函数，则可推得（15-11）所以当f为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即（15-12）（12）式右边的级数称为正弦级数．三、收敛定理的证明1．预备定理1（贝塞尔（Bessel）不等式）若函数f在[－π，π]上可积，则（15-13）其中a n，b n为f的傅里叶系数，（15-13）式称为贝塞尔不等式．2．推论①黎曼-勒贝格定理若f为可积函数，则（15-14）②若f为可积函数，则（15-15）3．预备定理2若f（x）是以2π为周期的函数，且在[－π，π]上可积，则它的傅里叶级数部分和S n （x）可写成当t＝0时，被积函数中的不定式由极限来确定．4．收敛定理若以2π为周期的函数，在[－π，π]上按段光滑，则在每一点x∈[－π，π]，f的傅里叶级数（15-5式）收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即其中a n，b n为f的傅里叶系数．15.2课后习题详解§1傅里叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：解：（1）（i）f（x）及其周期延拓的图像如图15-1所示，图15-1显然f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，因为。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十八章至第二十章(圣才出品)
（18-2）
则可使上述切平面存在，并满足与 z＝0 相交成直线的要求．
图 18-1
由此可见，条件（18-2）对于隐函数的存在性是很重要的．
3．隐函数定理
（1）隐函数存在惟一性定理
若函数 F（x，y）满足下列条件：
①F 在以
为内点的某一区域
上连续；
②
（通常称为初始条件）；
③F 在 D 内存在连续的偏导数
与之相对应，由此所产生的新映射称为映射 T 的逆映射（逆变换），记作 ，即
或 亦即存在定义在 B′上的一个函数组
把它代入（18-4）而成为恒等式：
这时又称函数组（18-5）是函数组（18-4）的反函数组．
（2）反函数组定理
设函数组（18-4）及其一阶偏导数在某区域
上连续，点
点，且
（18-5） （18-6） 是 D 的内
则在点
的某一邻域
上存在惟一的一组反函数（18-5），使得
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且当
时，有
以及恒等式（18-6）此外，反函数组（18-5）在
上存在连续的一阶偏导数，且
三、几何应用 1．平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程
（18-7）
，在
上，方程组（18-3）
惟一地确定了定义在点
的某一（二维空间）邻域
上的两个二元隐函
数
使得
且当
时，
（2） （3）
在
上连续；
在
上有一阶连续偏导数，且
3．反函数组与坐标变换 （1）设函数组
（18-4）
是定义在 xy 平面点集 平面上惟一的一点
上的两个函数．对每一点
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证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
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的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
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第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
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也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
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（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
（3）
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台所以，在（0，2π源自内所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．
数学分析第四版答案 (3)
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
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第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
②若对任意n > N(八都有甌2Z，则》叫发散。
(4)根式判别法的极限形式设》g为正项级数,且凹呱7 ,则①若1 v 1 ,则》Un收敛。
②苟> 1 ,则工U“发散。
③若1 = 1 ,则无法判断工％的发散性。
积分判别法设伪[1 , +00)上非负减函数，那么正项级数工f ( D )与反常积分「/(.丫阻同敛散。
三、一股项级数n交错级数莱布尼茨判别法若交错级数满足：①｛切｝单调递减；②丘巴耳=o，则级数收敛。
绝对收敛级数及其性质(1 )若级数工UJ收敛，则工％为绝对收敛级数。
(2 )绝对收敛级数的性质①绝对收敛级数一走收敛，但反之却一股不成立,原级数收敛而不绝对收敛的情况，称为条件收敛。
②级数的重排:设级数绝对收敛，且冥和等于S ,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法(1)阿贝尔判别法若｛“｝为单调有界，且工\订收敛，则级数工收敛。
(2)狄利克雷判别法若｛%｝单调递减且ULO ,工V"的部分和数列有界,则级数收敛。
12.2课后习题详解§1级数的收敛性H证明下列级数的收敛性，并求其和: (1 ) -^― + —-— + —-—十…+F 1・6 6-11 11-16 (5“一4)(5" + 1)(2)時-扣各-*2 -(£-*)-1(3)y---------- ! ------台M(W +1X W +2)(4)工〔缶 + 2 + ] +亦)y2n-l证明:(1)=—+ + + ・・• + ------------------------1-6 611 1116 (5”-4X5/2 + 1)弓(T哙扣…+(€r禽)] = i(l)5 5/2 + 1limS,. = lim-(l-—-—)=-”十宀《＞5 5z? + l 5所以原级数收敛，且和数S = 1/50(2)故原级数的前n项和1 1 n 1 S”=2S；_ 石歹=2(2-戸丁)_(1-歹)° 1 2”—1=3_盯_——Em S… =3,所以原级数收敛且和数S = 3。
证明：若级数工叫发散，c#),则工cu“也发散。
证明：假设工仙收敛,因GO z故级数工(CU n ) /C = IX收敛，这与题设工％发散矛盾r所以若工叫发散r 工CUn 也发散(C=0 ) 0设级数工g与级数工'I都发散，试问工(U n + V n ) 一走发散吗？又若5与％( 数，则能得出什么结论？解：(1)当昭与》V n都发散时%)不一走发散，如驰=》(-i)Mv n = z( -i)n+,两级数均发散J§z ( U n + v n ) =Z0 = O ,即工(u n + v n )收敛。
又如/工叫=工Vn = £l/n f两级数均发散,且工(u n + v n )=》2/n发散。
(2 )当Un与Vn (n=l , 2 ,...)均非负时,则K ( Un + V n )—走发散,这是因为：由工％发散知,存在£ > 0,对任意自然数N ,总存在自然数m (m>N)和p使I Ufn + 1 + Um + 2 + …++ p I —而由q与V" ( n= 1 , 2 f...)非负有(Um + 1 + v m + 1 ) + ( Um + 2 + v m + 2 ) + …+ ( + p + v m + p)I ~ I + 1 + + 2 +…+ + p I + I ' m * 1 + v m + 2 + ・・・ + v m + p I —£由柯西准则知》(U n + V n)发散。
证明：若数列｛aj收敛于a『则级数_%.)二勺»=：证明：级数的前n项和Sn二(aj - a2 ) + ( a2 - a3 ) + …+ ( a n - a n+l ) =aj - a n+i #而电溫-训勞旦歹)血一«5卩"8・=]_」lim s" H lim(aIF t ) M al a3X 8 I K •X(1)爆M (b *&)建。
(2)llle b 憩母•i M (一、pIl/bn£)H 57吊温-(一)爭爭3雪一一炷音三…hm S yn m x e —11 q ) H 8(2 )培磔3郢n R *口Sn " ( 5- I一孑)+ (-Zb2 I 133) + …+ ( 一3n I 一3n + 1) H 5- I l、bn+ 一limS n lim •T-I^-) n I-s —8 ; !-r一b一(一)如 1 n(a4n—(2)M(—lr 亍一2J+ 1 +1)(3) M心？ 2(2二解：（1）(d + n -1)(。
+ ??) a + ” 一1 a+ H&n = 1/ ( a + n - 1 ) r则a〕= 1/a，卿$ =0 .由第4题可得,原式=l/a0(2),、i 2H-r 1 z、—・(??-rl)-rW(7 -―- = (-1)———心+ 1)力(刃+1)=(-1广丄+(-1严丄n n + 1一(7小丄+(-1)小亠n〃 +1=-[(-1广一(・1严亠] n M-rl记对=(-1 ) % r则山=-I f h叫4=0 r由第4题可得，原式二-（-I ）-O=l0 巧一(3)2卄1 _ 1 1(/ +1)((?: + 1)2+1] / +1 (H +1)2+1记》= n2+ 1 ■贝Ulimb=+”/ =2i刀-1由第5题可得，原式=1/2。
应用柯西准则判别下列级数的敛散性。
(1) Zsin2n/2n0—2“・+1(3)Z( -1) %。
⑷X解：（1）任意的自然数P,P k=lp迄k=l|sin2 十sill 1又^± = 0 r 从而任给的£>o ,存在NGZ+ r 当m>N 时,对任意的正整数P ,有2由柯西准则得原级数收敛。
（2 ）当 p 二 1 时，二（〃心1）2 二 1 二 2（也+ 1）2 + （加+ 1）2 一 3由柯西准则知原级数发散。
（3 ）任给的自然数P （不管是奇数还是偶数）,1 ____ 1 ____ 1_ m + 1 〃？ +2 w-31111 《心 1= -------------- + --------------- + …+ （— 1Y --- 加+ 1 w-r2 w + 3 7刃+ 4 m^p1,111/ 心 1 、 = --- 一（ -- 一 --- + ----- T ----- （一 1） -- ） w + 1 加+ 2 加+ 3 w4 m + p故任给的正数£ > 0 ,取N 二[1/s] r 当m > N 时及任意的自然数p f由柯西准则知原级数收敛。
（1）当p = m 时，^2（w +w ）2 加二11^11 =（-1产（加+1）： 2（川 +1）2V , __________________ -<=:J （“?+ «） +（加+ 氐）,M Z K=1_______ 1』（7"+上）+（加+力）：2恥一2忑，对任意正数N，总存在m二N + 1及P二m ,使齢在10由柯西准则知原级数发散。
证明级数》叫收敛的充要条件是：任给正数£ ,存在某正整数N ,对一切n > N 总有I UN + 4 + ] +…+ Un | <£•证明：充分性任给正数£ ,存在正整数N ,对一切n > N ,总有I U N + U N + 1 +…+ Un | <2 /当然对n > m > N 的 m 有 | UN + UN + i + •・・ + 从 | < £。
从而I u m+ 1 +u m*2+ ••- +u n I = I ( «N + u N+l + -- +U n )・(U N + U N + ] + …+) | < | U N + U^+1 + ...+Um I + 丨UN + UN +1 + …+ u n | <2e 由柯西准则知级数工％收敛。
必要性若级数Dn 收敛，由柯西准则知对任给正数£ ,存在自然数M ，当n > m > M 时，I Um+ 1 + Um + 2 + ... + u n I <s ,特别地,取N>Nj + 1 ,则对任意n> N f 有 I UN + UN+1 + …+ Un I <e<>举例说明：若级数IX 对每个固走的P 满足条件lim(g+・・ +““)= 0此级数仍可能不收敛。