材料力学-第十一章
第十一章材料力学课程课件PPT
2.18
BC
第11章
表达式为
变 型能法
11.3 卡 氏 定 理
δ1 =
证明如下: 设 FP1 , FP 2 , , FPn 作用于弹性体上(图11.6),这些力产生的相应位移 为 δ1 , δ 2 ,δ n ,在变形过程中,外力所做的功等于弹性体的变形能,于 是变形能 U 为 FP1 , FP 2 , , FPn 的函数.
M θB W = 0 ,而外力 2
偶所做的功为 M0
M 02 l U = ,由 2 EI
W =可得 U
M 0θ B M 02l = 2 2 EI
θB =
M 0l EI
2.17
第11章
变 型能法
11.3 卡 氏 定 理
其结果与梁的变形一章中计算结果一致.从上面的计算可以看出,由于 变形能为力的函数,若将变形能对力求偏导数,则
与集中力对应的是线位移,与集中力偶对应的是角位移.在线弹性体的 情况下,广义力和广义位移是线性关系,运用胡克定理,上式还可以写 成: FP2 l Cδ 2 U= = (11.11) 2C 2l 式中,C是杆的刚度,从上式可以看出,弹性变形能是广义力或广义位 移的二次函数.
2.13
第11章
变 型能法
(a) (b) 图11.1 轴向受拉杆外力的功 (a) 受拉直杆;(b) 与关系
2.4
P
第11章
W=
变 型能法
1 FP l 2
11.2 变形能的计算
(11.2)
根据式(11.1)可知,受拉杆的弹性变形能为
U =W = 1 FP l 2
因,上式可写成
l = FP l EA
(11.3)
2.5
第11章
材料力学C11_交变应力
对称循环，r=-1 ②查图表求各影响系数，计算构件持久限。 求K：
D r 1.4 ; 0.15 ; b 600MPa 查图 d d 求 ：查图得 0.79
r=7.5
K 1.4
求 ：表面精车， =0.94 0 1 0.79 0.94 1 250 69.8MPa 1 1
第11章 交变应力
11.1 交变应力与疲劳失效 11.2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 11.3 持久极限 11.4 影响持久极限的因素 11.5* 对称循环下构件的疲劳强度计算 11.6* 持久极限曲线 11.7* 不对称循环下构件的疲劳强度计算 11.8* 弯扭组合交变应力的强度计算 11.9* 变幅交变应力 11.10 提高构件疲劳强度的措施 11.* 习题**
2 max min 应力幅(~ Amplitude)： a 2 min 循环特征、 r max /应力比(~ ratio)：
5特征量仅2个独立，如m+a 或max+r
不稳定
max m min max m min a
t t
a
对称循环(symmetric reversed
加工方法 磨 削 车 削 粗 车 未加工的表面 轴表面粗糙度 Ra／m 0.4～0.2 3.2～0.8 1.25～6.3
b／MPa
400 1 0.95 0.85 0.75 800 1 0.90 0.80 0.65 1200 1 0.80 0.65 0.45
下降明显
b高者
表面越差，下降越多 b越高，影响越显著
m， ra
K
1
a rm m
a rm
材料力学(柴国钟、梁利华)第11章
如何处理合伙企业的协议纠纷1. 引言合伙企业是一种常见的商业组织形式，它由两个或更多个人或公司共同投资、经营和分享利润。
在合伙企业中，协议起着至关重要的作用，它规定了合伙人之间的权利和义务，为企业的稳定运行提供了法律保障。
然而，由于合伙人之间在商业活动中存在不可避免的分歧和冲突，协议纠纷也时有发生。
本文将详细介绍如何处理合伙企业的协议纠纷，帮助您在遇到类似问题时能够做出明智的决策。
2. 协议纠纷的可能原因合伙企业的协议纠纷多种多样，常见的原因包括但不限于以下几点：2.1 权益分配不均当合伙人对于利润分配不满意或出现争议时，很容易产生协议纠纷。
例如，某一合伙人认为自己付出的努力较多，应该获得更大的份额；或者某一合伙人未按照协议约定履行义务，导致其他合伙人减少了收益。
2.2 决策权分歧合伙企业中的重大决策通常需要通过合伙人会议进行讨论和表决。
当合伙人对于重要决策意见不一致时，容易产生协议纠纷。
例如，在扩大经营规模、投资新项目或解散企业等事项上各方意见分歧。
2.3 违反协议条款当一方合伙人违反协议约定时，比如未按时支付资金或未履行其他义务，可能引发其他合伙人抱怨并导致协议纠纷。
此外，如果协议中存在模糊或含糊不清的条款，也可能会给争端解决带来困难。
3. 协议纠纷解决方式当出现协议纠纷时，及时采取适当的解决方式是关键。
以下是几种常用的解决方式：3.1 协商解决作为最基本也是最常见的方式，双方可以尝试通过协商解决争端。
在协商过程中，建议通过积极沟通、充分表达各自诉求，并寻找双赢解决方案。
为了保证协商的效果和公平性，在这一过程中有必要制定明确的规则或采用中立第三方担任调解人。
3.2 仲裁程序如果协商无法达成一致或无法公正解决争端，则可转向仲裁程序。
仲裁是一种非诉讼形式，通过由专门机构组织的公正第三方仲裁员进行裁决来解决争端。
仲裁程序通常比诉讼程序简单、快速且成本较低，并且裁决结果具有强制性。
3.3 诉讼程序如果仲裁不能解决争端或一方坚持要求进行诉讼，则可以通过司法程序解决。
材料力学第11章——交变应力
用尺寸因数
或
表示。
1d , 1d 为光滑大试件 且 1, 1 ，d 越大， 越小， r 愈小。
其中： 1 , 1 为光滑小试件
材料力学
第十一章 交变应力
构件表面质量的影响
构件上的最大应力常发生于表层，疲劳裂纹也多生成于 表层。故构件表面的加工缺陷（划痕、擦伤）等将引起应力 集中，降低疲劳极限。
2
max
1
3
4
1
min
t
车轴每转一周，某点处的材料即经历一次由拉伸到压缩的 应力循环。
材料力学
第十一章 交变应力
④电机转子偏心惯性力引起强迫振动梁上的危险点正 应力随时间作周期性变化。
st
的静应力，最大应力和最小应力分别表示梁在最大和 最小位移时的应力。
st 表示电机的重力W以静载方式作用于梁上引起
第十一章 交变应力
min r 1 max
2
max
1
m
min
3
4
1
t
1 max min 0 2
1 a max min max 2
如:机车车轴
材料力学
2.脉动循环
min 0
第十一章 交变应力
1 1 m max min max 2 2 1 max min 1 max a 2 2
第十一章 交变应力
a a
max min
o
m
min 循环特征：r max
m
t
1 a max min 2
1 max min 2
max m a
材料力学 第十一章解读
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I
应是截面最小的形心主惯性矩。
l 1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
Fcr
2 EI用边界条件
xl
w0
即压杆没有弯曲变形；
A sin kl 0
kl n
A0
n 1 ,2,3,.... .
n 2 2 EI Fcr l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即
n 1
Fcr
EI
2
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
压杆的极限承载能力
压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。 且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。 为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
§11-2
支细长压杆的临界压力 欧拉公式
=Fcr
M
FN=Fcr
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡） 屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程； 屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移； 通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
《材料力学》第11章典型习题解析
第11章典型习题解析1.用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A 截面的位移和B 截面的转角。
略去剪力Q 和轴力N 的影响，E Ⅰ为已知.解：（1）A 截面的位移AB 段弯矩：M(x)=-Px （0≤x ≤l ） ∂M(x) /∂P=-x在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC 段弯矩：M(y)=-2P l - Q l +(P+Q)y∂M(y) /∂P=-2l +y ∂M(y) /∂ Q=-l +yA 截面的竖直位移:Y A ==∂∂∑⎰EI P Mdx ML 0 ()()()()⎰⎰+-+-+--L LEIdy y L Py PL EI dx x Px 00222 =EIPL 223A 截面的水平位移: X A =EI Q M M L ∂∂∑⎰0dx=()()EI dy y L Qy Py QL PL L 200+-++--⎰ 积分，令Q=0得 ()()EIPL EI dy y L Py PL XA L 1252230=+-+-=⎰(2)B 截面的转角在B 处虚加一力偶M B,AB 段弯矩：M(x)=-Px （0≤x<l ）BC 段弯矩：M(y)=-2P l -B M +Py （0<y<l ）∂M(x) /∂MB=0 ∂M(y) /∂MB =-1 ∑⎰∂∂=L B B EI dx M M M 0θ =()()⎰-+--L B EI dxPy M PL 0212 EIPL 432= 2.用卡氏第二定理求图示的A 截面的位移和B 截面的转角。
略去剪力Q 和轴力N 的影响，E Ⅰ为已知。
解：（1）A 截面的位移在A 点虚加一向下的力F ，支反力2qL F P Y B ++= （L 为AB 和AD 的长度） P X qL P Y C C -=--=,2AB 段弯矩： M1=0∂ M1 /∂F=0AD 段弯矩：M2(x)=2qL P F qx 2++⋅1（）x-2∂M2(x) /∂F=xCD 段弯矩：M3(y)=PyaⅠⅠ2ⅠC DA 截面的竖直位移:∑⎰∂∂=L A EIdx F M M Y 0=⎰⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++L EI xdx qx x F qL P 02222 积分，令F=0得34A PL qL Y 6EI 24EI =+求A 截面的水平位移时， 在A 处虚加一水平力向右的力Q, 再令其为0.那么, 支反力B qL Y P Q 2=++ （L 为AB 和AD 的长度）C C qL Y P Q X P Q 2=-+=-+（）+，（） AB 段弯矩： M1=0∂ M1 /∂Q=0AD 段弯矩：M2(x)=(P+Q)x ⋅∂M2(x) /∂Q=xCD 段弯矩：M3(y)=（P+Q ）y∂M3(y) /∂Q=yA 截面的水平位移∑⎰∂∂=L A EI dx Q M M X 0=()⎰⋅+L EIdx x Q P 022=()⎰⋅+L EI ydy y Q P 0积分，令Q=0得 EIPL X A 23= (2) B 截面的转角在B 处虚加一顺时针的力偶M B, 积分，并令其为零。
材料力学 第十一章 连续分段独立一体化积分法
第11章电脑求解弯曲变形 的一种快速解析法
提出了一种求解复杂载荷作用下梁弯曲变形 问题的连续分段独立一体化积分法。连续分段独 立一体化积分法首先将梁进行分段，独立建立具 有４阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独 立积分４次，得到挠度的通解。根据边界条件和 连续性条件，确定积分常数，得到剪力、弯矩、 转角和挠度的解析函数，同时绘出剪力图、弯矩 图、转角图和挠度图。工程实例表明，连续分段 独立一体化积分法建立方程简单,计算编程程式化， 利用计算机求解速度快，与有限元法相比其优点 是可以得到精确的解析解。
图11-1复杂载荷作用下的简支梁
解：利用连续分段独立一体化积分法求解步骤为：
第一步：本题分为两段 n 2，各段的挠曲线近似微分方程如下：
d 4v1 0, 0 x L 4 dx d 4v2 q , L x 2L 4 dx EI
(1a)
(1b)
第二步：对(1)式各段的挠曲线近似微分方程分别积分四次， 得到剪力、弯矩、转角和挠度的通解。在通解中，包含有 8个积分常数 Ci i 1,2,,8。
(11-5)
（iii）利用位移边界条件、力边界条件和连续性条件建立 4n
个边界条件约束方程
f Ci , j 0
i 1,2,, n, j 1,2,3,4
(11-6)
（iv）将积分常数 Ci, j i 1,2,, n, j 1,2,3,4
代入(11-2)~(11-5)式就可得到剪力、弯矩、转角和挠度 的解析表达式。
1 x 0
解得 x 0.963L ，代入第一段挠度函数 v1 x ， 即得最大挠度。 求出剪力、弯矩、转角和挠度的最大值如下：
材料力学第五版第十一章 交变应力
(Alternating Stress)
ωt
静平衡位置
st min
max
t
(Alternating Stress) 例题2 火车轮轴上的力来自车箱.大小,方向基本不变.
即弯矩基本不变.
假设轴以匀角速度 转动. 横截面上 A点到中性轴的距 离却是随时间 t 变化的.
P
P
A
t
z
(Alternating Stress)
构件横截面尺寸的影响
试验：弯、扭疲劳极限随构件横截面尺寸增大而减小
1 －标准试样的疲劳极限 1 d －大尺寸试样的疲劳极限
max
O
min=0
t
(Alternating Stress) 例题3 发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力Pmax =58.3kN,最小 拉力Pmin =55.8kN,螺纹内径为 d=11.5mm,试求 a 、m 和 r. 解：
max
Pmax 4 58300 561MPa 2 A 0.0115
(Alternating Stress)
P P a
P
P
a Pa
第一根试件 max,1 b
第二根试件 r表示循环特征
N1
max
max,2 略小于 max,1 N2
max，1 max，2
1
2
如-1 表示对称循环材料的疲劳极限.
N1 N2
-1
N
(Alternating Stress)
(Alternating Stress)
应尽量减小应力集中，特别对于高强度材料构件 增大圆角半径 减小相连杆段的尺寸差别 将必要的孔与沟槽等备置在低应力区 采用凹槽与卸荷糟等
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把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡）
屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程；
屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移；
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
非线性稳定理论已经证明：对于细长压杆，临界平衡是稳定的。
压杆的极限承载能力 压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
5临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力； Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态：
即：屈曲位移ω =0的直线状态； 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为：
压杆保持直线形态平衡的最大载荷；
或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。
稳定平衡 当球受到微小干扰，偏离其平 衡位置后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
§11-2 支细长压杆的临界压力 欧拉公式 =Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
非圆对称
当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中的压杆
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等、在有 压力存在时，都可能发生失稳。
提升 油缸
3、稳定平衡、临界平衡（随遇平衡）、不稳定平衡
Fcr
2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
.
§11-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
狭长截面梁在横向力的作用下：
线弹性范围 铅锤面内的弯曲；
P Pcr
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环：
p pcr
圆对称的平衡
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此，对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr
2EI
l2
适用范围：
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
Fcr
(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
§11-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法：
根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。 对于其它约束情况的压杆，将挠曲线形状与两端铰支 压杆的挠曲线形状加以比较，用几何类比的方法，求 它们的临界力。
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2 EI(1.0 源自 )2利用杆的边界条件，x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形；
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr
n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即 n 1
长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
杆端的约束愈强，则µ值愈小，压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱，则值µ愈大，压杆的临界力愈低。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。