材料力学11-第十一章静不定结构解析

第十一章静不定结构目录第十一章静不定结构 (3)§11.1 静不定结构概述 (3)一、基本构件 (3)二、静不定结构 (3)§11.2 用力法解静不定结构 (4)一、只有一个多余约束的情况 (4)二、有多个多余约束情况 (5)§11.3 对称及反对称性质的利用 (7)§11.4 连续梁及三弯矩方程 (8)第十一章 静不定结构§11.1 静不定结构概述一、 基本构件1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。

2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。

3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。

二、 静不定结构1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。

分外力静不定结构和内力静不定结构。

2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。

3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。

桁架（内力静不定结构）刚架1（内力静不定结构）连续梁（外力静不定结构）维持结构几何不几何可变多余约束多余约束用4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。

多余约束RR解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。

6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。

§11.2 用力法解静不定结构一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力解：1. 将约束解除得到基本静定系B1XF R2F R22. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EIPa P －3621-=∆3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移EIl 311＝δ4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ解之得： ()a l lPa X -=32321二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力将B 端约束解除：变形协变条件⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ对于n 次静不定结构⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。

方程称为正则方程或典型方程。

方程系数为⎰=∆=∆lj i ji ij dx EIM M例题：求图示刚架中杆DE 中点C 的水平位移。

3X2X解：1. 选取相当系统该刚架是三次超静定结构，解除固定端B 的三个多余约束，并以单个多余约束力代替。

2. 计算力法正则方程中的系数和常数项。

EIFa adx EI Fx 23a 033P 1-=-=∆⎰ EIFa dx a EI Fx 6)x (3a 0333P 2-=--=∆⎰ EIFa adx EI Fx 22a 033P 3-=-=∆⎰ EIa adx EI a adx x EI x 343a 022a 022211=+=∆⎰⎰R2E1EIa dx EI x a adx EI a adx EI x 35)(3a 0a 032322a012122=-++=∆⎰⎰⎰ EIdx EI adx EI dx EI 3a 3111a 0a 032a 0133=++=∆⎰⎰⎰ EI a dx EI x a a adx EI x 3a 0a 033222112)(=-+∆=∆⎰⎰ EI a dx EI a dx EI x a 23303a 0223113=+=∆=∆⎰⎰ EIa dx EI x a dx EI a dx EI x 2a 0a 0332a 011222)(=-++=∆⎰⎰⎰ 3. 建立力法正则方程，求多余约束力 经化简得：⎪⎭⎪⎬⎫=-++=-++=-++064301210603968321321321Fa F aF aF Fa F aF aF Fa F aF aF R R R R R R R R R 解得： F 731=R F ,F 21-2=R F ,Fa 721=R F 4. 求C 点水平位移 可知刚架各杆弯矩为：BE 段： F )74(21x )M (x 12131ax F F R R --=+= ED 段： F )2(73x )M (x 212232ax F aF F R R R -=++= DA 段： F )73(21x )()M (x 3212333ax F aF F x a F R R R --=-+-+= 所以： EIFa dx F x M EI x M dx F x M EI x M a 845)()()()(30333D =∂∂=∂∂=∆⎰⎰ §11.3 对称及反对称性质的利用利用结构上何载的对称或反对称性质，可使正则方程得到一些简化。

1. 对称结构：结构几何形状、支撑条件和各杆的刚度都对称于某一轴线的结构。

2. 对称何载：何载的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴的荷载。

3. 反对称何载：何载的作用位置、大小是对称的，而方向是反对称的荷载。

一般说来：弯矩M 和轴力N 是对称的，而剪力Q 是反对称的。

对称结构在对称荷载作用下，其对称截面上只存在对称内力M 和N ，对称结构在对反称何载作用下，其对称截面上只存在反对称内力Q 。

有些对称结构，其何载即对称的也不是反对称的，但可以把它转化为对称的和反对称两种荷载的叠加。

例题: 图示等截面圆环，其横截面直径为d ，在水平位置受两F 力作用，沿铅垂方向有直径为d 的直杆CD ，其两端为刚性连接。

设F 、R 、d 及E 已知，求杆CD 的内力。

解：1. 利用对称性，选取相当系统当圆环中直杆CD 还未达到失稳阶段时，杆内只有轴向压力。

取圆环上半部分，因对称，圆环直径截面上的内力为弯矩M 和轴力N F ，载荷为2F ，由平衡条件有N N 2F F CD=，故为二次超静定。

2. 求相当系统的内力及其对约束力的偏导数 由1/4圆环，不计剪力和轴力的影响，截面θ处：)cos 1(Rsin 2FM )M(θθθ--+=R F N 1M)M(=∂∂θ, )cos --R(1M )M(θθ=∂∂3. 根据位移条件，建立补充方程（1）B 处角位移为零，由卡式定理得：0F )M(EI )M(M V l N=∂∂=∂∂⎰dl θθε 得： 0)12(22=--+ππR F FR M N （2）B 处垂直位移为零，即0F )M(EI )M(F V l NN =∂∂=∂∂⎰dl θθε 得：0)243(41)-2(=--+ππR F FR M N 由上面二式解得： F 842--=ππN F 4. 利用静力平衡条件，求得杆CD 的内力为F 8)4(222--==ππN N F F CD §11.4 连续梁及三弯矩方程在工程结构中，为了减少梁的变形和应力，经常采用给梁增加支座的办法。

设想将每个支座的上方，将梁切开采用铰链连接，并在铰链处作用弯矩，使其与原梁等效。

以弯矩作为多余约束反力，设n 支座截面的相对转角为n ∆，则 ()()nP n n n n nn n n n n X X X ∆+++∆++--1111δδδ＝则协变方程()()01111＝＝nP n n n n nn n n n n X X X ∆+++∆++--δδδ当基本静定系上只作用外何载时，跨度n l 中的弯矩记为nP M ，跨度1＋n l 中的弯矩记为P n M 1+。

当作用单位力偶1=n X 时，跨度n l 和1＋n l 内的弯矩分别为 n n n l x M ＝，111+++n n n l x M ＝由莫尔积分得()⎰⎰++++++∆11111n n l n n n P n l n nn nP nP EIl dx x M EIl dx x M ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰++++n n l l n n n n n nd x l d x l EI 1111111ωω＝上式中积分⎰nl n n d x ω是弯矩图面积n ω对n l 左端的静矩，设n a 表示跨度n l 内弯矩面积n ω形心到左端的距离，1+n b 表示跨度1+n l 内弯矩面积1+n ω形心到右端的距离，则上式可写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∆+++1111n n n n n n nP l b l a EI ωω＝ 上式中第一项可看作跨度n l 右端反时针方向的转角，第二项可看作跨度1＋n l 左端顺时针方向的转角。

采用莫尔积分可得1M 1-n M M 1+n M M n M M()131++=n n nn l l EI δ ()EI l n n n 61=-δ ()EIl n n n 611++=δ 将上式代入协变方程可得：()1111111662++++++---+++n n n n n n n n n n n n n l b l a l X l l X l X ωω＝ 这就是三弯矩方程。

例题1. 求支座反力。