江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2021届高三上学期期中考试数学试题
江苏省马坝高级中学2021届高三数学上学期期中试题 理.doc
江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅰ卷）一、填空题（共14小题，每题5分，共70分）1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则B A ⋂=______． 2．设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 3．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．4．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．5.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.6．已知实数x ，y 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为______.7．已知函数()xx axf x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____． 8．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）． 9．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 10．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___． 11．已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_______. 12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．13．已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____． 14．已知函数.若，且，则的取值范围是__________．二、解答题：（共6小题，15、16、17各14分，18、19、20各16分，共90分） 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a b 且sin sin B C =.（1）求角A 的大小；（2）若23a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥； （2）求证：//BF 平面CDE ．17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-． （1）求实数,m n值；（2）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a (0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．（1）若3a =，求h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19. 已知奇函数f （x ）＝a （a 为常数）．（1）求a 的值；（2）若函数g （x ）＝|（2x+1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围；（3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）4121x xm ⋅-≤+恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知函数（）.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上无极值点，求的值；（3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅱ卷）21.已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．22. 在极坐标系中，直线cos()24πρθ+与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．23. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.24. 如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD-中，侧棱PD ⊥底面ABCD，PD DC=，E是线段PC的中点．（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，且二面角F DE B--的平面角的正弦值为33，求PFPB的值．（第24题）高三数学期中考试答案一卷答案一、填空题1．{}1- 2．-2 3． 4．145．6 6．7/2 7．1 8．充分不必要 9． 3 10．511．()2,+∞ 12．4 13．2 14.二、解答题15．（1）由sin sin B C =及正弦定理知b c =，又3a b =，∴由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-= 22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，∴23A π=. （2）由（1）知6B C π==，∴在BCD ∆中知：34BDC π∠=，6BCD π∠=，又23BC = 故由正弦定理得33sin sin46BD ππ=.∴6BD =16．证明：（1）因为矩形ABCD ，所以AD ⊥CD 又因为DE ⊥AD ，且CDDE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥CE（2）因为AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以AB ∥平面CDE 又因为AF ∥DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE ，所以AF ∥平面CDE 又因为ABAF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面CDE又因为BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面CDE 18．（1）3,a =又sin cos 3cos 2sin()6h a πθθθθθ=+=+=+02πθ<<2663πππθ∴<+<,当且仅当62ππθ+=,即3πθ=时max 2h =（2）12()h h h +21(sin cos )(cos sin )sin 22a a a a θθθθθ+=++=+当且仅当22=πθ,即4πθ= 时, 12()h h h +的最大值为2142a a ++=0,221a a >=-,19．【解析】（1）f （x ）是定义在R 上的奇函数， 可得f （0）＝a ﹣1＝0，即a ＝1， 可得f （x ）＝1，由f （﹣x ）+f （x ）0，即f （x ）为R 上的奇函数，故a ＝1；（2）函数g （x ）＝|（2x+1）f （x ）|﹣k 有2个零点 ⇔方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解， 即k ＝|2x﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k ∈（0，1）； （3）x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ），即1，即m ≥2﹣x 在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立， 由g （x ）＝2﹣x在R 上单调递减，x ∈[﹣2，﹣1]时，g （x ）的最大值为g （﹣2）＝4，则m ≥4，即m 的取值范围是[4，+∞）．20.（I ）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为.（II），，依题意有，即，，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. （2）时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.Ⅱ卷答案21.解：矩阵M的特征多项式为，令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，………4分将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为 ………10分22.解23.解：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l 的普通方程为3y x =，又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x 的范围应舍去236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0) ………10分24.解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{},,DA DC DP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 因为PD DC =，所以DA DC DP ==．不妨设2DA DC DP ===， 则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点， 所以E （0，1，1），故AP ＝（－2，0，2），BE ＝（－2，－1，1） 所以cos ,AP BE 〈〉＝AP BE AP BE⋅⋅＝， 从而,AP BE 〈〉＝π6． 因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6．………………………………………………4分 （2）由（1）可知DE ＝（0，1，1），DB ＝（2，2，0），PB ＝（2，2，－2）． 设PF ＝PB λ，则PF ＝（2λ，2λ，－2λ）， 从而DF ＝DP ＋PF ＝（2λ，2λ，2－2λ）． 设m ＝（1x ，1y ，1z ）为平面DEF 的一个法向量，则00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩．取1z ＝λ，则1y ＝－λ，1x ＝2λ－1，所以m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量． (6)分设n ＝（2x ，2y ，2z ）为平面DEB 的一个法向量，则00DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩．取2x ＝1，则2y ＝－1，2z ＝1，所以n ＝（1，－1，1）为平面DEB 的一个法向量．………………………………………8分 因为二面角F DEB -- 所以二面角F DE B--即cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n， 化简得241λ=．因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，优质资料\word 可编辑- 11 - / 11 故λ＝12，即PF PB ＝12．……………………………………………………………………10分。
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高三(上)期中数学试卷-附答案详解
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高三（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知A={x|x+1≥0}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B=()A. {−2,−1}B. {−2}C. {−1,0,1}D. {0,1}2.在△ABC中，“cosA<cosB”是“A>B”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.若命题p：∃x>0，x2+x−1>0，则p的否定形式为()A. ∀x>0，x2+x−1≤0B. ∃x≤0，x2+x−1>0C. ∀x≤0，x2+x−1>0D. ∃x>0，x2+x−1≤04.函数f(x)=x2−cosx2x+2−x的部分图象可能为()A. B.C. D.5.函数f(x)=sin2x+cosx在(0,π)内的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 36.已知角θ的终边经过点P(−12,√32)，则角θ可以为()A. 5π6B. 2π3C. 11π6D. 5π37.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是()A. −3是f(x)的极小值点B. −1是f(x)的极小值点C. f(x)在区间(−∞,3)上单调递减D. 曲线y =f(x)在x =2处的切线斜率小于零8. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥111−x,x <1，则不等式f(x)<1的解集为( )A. (−∞,2]B. (−∞,0)∪[1，2)C. [0,2]D. (−∞,0]∪[1,2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若6b =3，6a =2，则( )A. ba >1B. ab <14C. a 2+b 2<12D. b −a >11010. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6)，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是( )A. 函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x −π6) B. 函数f(x)的周期为4πC. 函数g(x)在区间[π,4π3]上单调递增 D. 函数f(x)图象的一条对称轴是直线x =−π311. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是( )A. 若cosA >cosB ，则sinA <sinBB. 若sinAcosA =sinBcosB ，则△ABC 一定是等腰三角形C. 若△ABC 是锐角三角形，则sinA +sinB +sinC >cosA +cosB +cosCD. 已知△ABC 不是直角三角形，则tanAtanBtanC =tanA +tanB +tanC12. 设函数f(x)=e x −ax +1(a ∈N +)，若f(x)>0恒成立，则实数a 的可能取值是( )A. 1B. 2C. eD. 3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若∀x∈(0,+∞)，4x2+1x≥m，则实数m的取值范围为______．14.在锐角三角形△ABC中，S△ABC=4，AB=5，AC=2，则BC=______．15.设a∈R，关于x的方程7x2−(a+13)x+a2+a−2=0有两实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，则实数a的取值范围是______．16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)、给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若f(x)=13x3−12x2+3x+512，请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)的对称中心为______，(2)计算f(12022)+f(22022)+f(32022)+⋯+f(20212022)=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2−x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}．(1)若m=2，求A∩(∁R B)；(2)x∈A是x∈B的_____条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图：(1)求其解析式；(2)写出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[0,π2]上的单调递减区间．19.已知函数f(x)=lnx−ax(a是正常数)．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值；(2)若∀x>0，f(x)<0，求a的取值范围．20.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b1，在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b2，其中k<0，b1，b2>0且k，b1，b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(1)写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式．(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？21.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．22.已知函数f(x)=e x−2−a(x−1)(a∈R)．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若f(x)有两个零点，证明：a2−alna−1>0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x+1≥0}={x|x≥−1}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B={x|x<−1}∩{−2,−1,0,1}={−2}．故选：B．先求出集合A，然后结合集合补集及交集定义即可求解．本题主要考查了集合补集及交集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：函数y=cosx在区间(0,π)上为单调递减函数，在△ABC中，A∈(0,π)，B∈(0,π)，所以在△ABC中，“cosA<cosB”是“A>B”的充要条件．故选：B．利用余弦函数的单调性以及充分条件与必要条件的定义，判断即可．本题考查了余弦函数单调性的应用，充分条件与必要条件定义的理解与应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：∃x>0，x2+x−1>0，则p的否定形式为：∀x>0，x2+x−1≤0．故选：A．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为R ，f(−x)=(−x)2−cos(−x)2x +2−x=x 2−cosx 2x +2−x=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除BC ， 又f(0)=0−cos020+2−0=−12<0， 故只有选项A 符合， 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的正负即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的正负，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：令f(x)=sin2x +cosx =0， 即cosx(2sinx +1)=0， 即cosx =0或sinx =−12， 又∵x ∈(0,π)， ∴x =π2，故函数f(x)=sin2x +cosx 在(0,π)内有1个零点， 故选：B ．函数的零点可转化为方程f(x)=sin2x +cosx =0的解，利用恒等变换化简解方程即可． 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，运用了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵角θ的终边经过点P(−12,√32)，∴θ是第二象限角，且cosθ=−12，sinθ=√32，则θ=2π3．故选：B ．由已知可得θ是第二象限角，且cosθ=−12，sinθ=√32，结合选项得结论．本题考查象限角与轴线角，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知，当x <−3或x >3时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当−3<x <3时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以函数f(x)在区间(−∞,−3)，(3,+∞)上单调递增，在区间(−3,3)上单调递减， 则当x =−3时，f(x)取得极大值，当x =3时，f(x)取得极小值， 所以x =−3是f(x)的极大值点，3是f(x)的极小值点， 故选项A ，B ，C 错误，因为f′(x)<0，则曲线y =f(x)在x =2处切线的斜率小于零， 故选项D 正确． 故选：D ．利用导函数的图象，结合导函数的正负与函数单调性的关系，求出函数f(x)的单调区间，即可判断选项C ，由极值的定义确定函数f(x)的极值点，即可判断选项A ，B ，利用导数的几何意义，即可判断选项D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了导数的综合应用，考查了导数的正负与函数单调性关系的应用，极值点定义的理解与应用，导数几何意义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)={log 2x,x ≥111−x,x <1，不等式f(x)<1，可知{x ≥1log 2x <1或{x <111−x <1，解得：1≤x <2或x <0．不等式f(x)<1的解集为(−∞,0]∪[1,2)． 故选：D ．利用分段函数，列出不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：∵6b=3，6a=2，∴b=log63，a=log62，∴ba =log63log62=log23>log22=1，故选项A正确，∵a+b=log63+log62=log66=1，且a>0，b>0，∴ab<(a+b)24=14，故选项B正确，∵a2+b2=(a+b)2−2ab=1−2ab>1−2×14=12，故选项C错误，∵b−a=log63−log62=log632>log66110=110，故选项D正确，故选：ABD．把指数式化为对数式，由对数的运算性质可判断选项A，D的正误，再结合基本不等式可判断选项B，C的正误．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】ABC【解析】解：易知g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，故A正确；对于B，T=2π12=4π，故B正确；由π≤x≤4π3得11π6≤2x−π6≤15π6，因为y=sinx在[11π6,15π6]上单调递增，故g(x)在区间[π,4π3]上单调递增，故C正确；因为f(−π3)=2sin(−2π3−π6)=−1≠−2，不是最值，故D错误．故选：ABC．先根据象像变换的知识求出函数g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质以及换元思想求解．本题考查三角函数的图象与性质以及图像变换的知识方法，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为A，B∈(0,π)，且y=cosx在(0,π)上单调递减，故由cosA>cosB得A<B，故a<b，结合正弦定理得sinA<sinB，故A正确；sinAcosA =sinBcosB ⇒sin2A =sin2B ，故2A =2B ，或2A +2B =π，即A =B ，或A +B =π2，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；若三角形ABC 为锐角三角形，则A +B >π2⇒A >π2−B >0，故sinA >sin(π2−B)=cosB ，同理可得sinB >cosC ，sinC >cosA ，三式相加得sinA +sinB +sinC >cosA +cosB +cosC ，故C 正确；△ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tanC =−tan(A +B)=tanA+tanBtanAtanB−1， 整理得tanAtanBtanC =tanA +tanB +tanC ，故D 正确． 故选：ACD ．结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．本题考查三角恒等变换以及正弦定理等知识与方法，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：原式可化为ax <e x +1， ①当x <0时，上式可化为a >e x +1x(x <0)恒成立，令g(x)=e x +1x(x <0)，g′(x)=e x (x−1)x 2<0恒成立，故g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x →−∞时，g(x)→0−，故当x <0时，只需a ≥0，a ∈N +即a ∈N +满足题意； ②当x =0时，原式化为0<2显然恒成立，故此时a ∈N +； ③当x >0时，原式可化为a <e x +1x恒成立，令ℎ(x)=e x +1x(x >0)，令ℎ′(x)=e x (x−1)x 2=0，得x =1，当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)此时在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)此时在(1,+∞)上单调递增； 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e +1，故此时0<a <e +1，综上所述，a 的取值为0<a <e +1，a ∈N +，故a 的取值为1，2，3． 故选：ABD ．先根据x 的符号分离参数a ，然后研究分离参数后所得函数的最值，求出a 的范围后进行判断．本题考查利用导数研究函数的最值进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．13.【答案】(−∞,4]【解析】解：因为x >0，则4x 2+1x=4x +1x ≥2√4x ⋅1x =4，当且仅当4x =1x 即x =12时取等号， 因为4x 2+1x≥m ，所以4≥m ， 故答案为：(−∞,4]由已知不等式恒成立转化为求解最值，结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．14.【答案】√17【解析】解：S =12AB ⋅AC ⋅sinA =12×5×2×sinA =4， 所以sinA =45，由A 为锐角，故cosA =35， 所以BC 2=52+22−2×5×2×cosA =17， 故BC =√17． 故答案为：√17．根据面积公式求出A 的值，然后利用余弦定理求出BC 的长度． 本题考查余弦定理与面积公式的应用，属于基础题．15.【答案】(−2√2,−2)∪(1,2√2)【解析】解：设f(x)=7x 2−(a +13)x +a 2+a −2， 由x 1，x 2是f(x)的两个零点，且0<x 1<1<x 2<2， 可得{f(0)>0f(1)<0f(2)>0，即{a 2+a −2>0a 2−8<0a 2−a >0，即{a >1或a <−2−2√2<a <2√2a >1或a <0，所以−2√2<a <−2或1<a <2√2． 故答案为：(−2√2,−2)∪(1,2√2).设f(x)=7x 2−(a +13)x +a 2+a −2，根据一元二次方程根的分布关系，可得f(0)>0，且f(1)<0，且f(2)>0，即有a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围． 本题考查二次函数与二次方程的关系，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】(12,116)222316【解析】解：(1)f′(x)=x 2−x +3，f′′(x)=2x −1， 令f′′(x)=0，解得x =12， ∴f(12)=13×18−12×14+32+512=116，∴函数f(x)的对称中心为(12,116)； (2)∵f(x)的对称中心为(12,116)， ∴f(x)+f(1−x)=113，∴f(12022)+f(22022)+f(32022)+⋯…+f(20212022)=2021×1132=222316．故答案为：(1)(12,116)；(2)222316．(1)根据题意，对函数f(x)连续两次求导，即可得出对称中心； (2)由(1)可知f(x)+f(1−x)=113，再利用倒序相加求和的思维方式即可得解．本题是一道新定义问题，考查了函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)m =2时，A ={x|x 2−x −12≤0}={x|−3≤x ≤4}，B ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}，所以A ∩(∁R B)={x|−3≤x ≤4}∩{x|x <−1或x >3}={x|3<x ≤4或−3≤x <−1}；(2)A ={x|x 2−x −12≤0}={x|−3≤x ≤4}，B ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}={x|1−m ≤x ≤1+m}， 若选①充分不必要，则A ⊊B ， 所以{1−m ≤−31+m ≥4，解得m ≥4，所以m 的范围[4,+∞)； 若选②必要不充分，则B ⊊A ，所以{1−m ≥−31+m ≤4m >0，解得，0<m ≤3， 所以m 的范围(0,3】；若选③充要，则{1−m =−31+m =4，此时m 不存在．【解析】(1)把m =2代入，然后求出集合A ，B 结合集合的交并运算即可求解； (2)结合集合的包含关系与充分必要条件的相互转化关系进行求解即可．本题主要考查了集合的交并补的运算及充分必要条件与集合包含关系的相互转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．18.【答案】解：由图象可知，A =2，T =7π8−(−π8)=π，所以ω=2， 又因为过(−π8,0)，根据五点作图法有，−π8×2+φ=0， 所以φ=π4，所以y =2sin(2x +π4)； (2)因为x ∈[0,π2]， 所以2x +π4∈[π4,5π4]，令π2≤2x +π4≤5π4，解得π8≤x ≤π2所以f(x)在[0,π2]上的单调递减区间为[π8,π2].【解析】(1)由图象可知A ，T ，从而可求得ω，将(−π8,0)代入可求得φ值，从而得到函数解析式；(2)根据x 的取值范围，结合正弦函数单调递减区间求解．本题考查了三角函数由图象求解析式以及单调区间的问题，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx−ax，当a=1时，f(x)=lnx−x，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x −1=1−xx，令f′(x)>0，解得0<x<1，令f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)，当x=1时，函数f(x)取得极大值f(1)=−1，无极小值；(2)因为∀x>0，f(x)<0，即lnx−ax<0对于x>0恒成立，即a>lnxx对于x>0恒成立，故a>(lnxx)max，令g(x)=lnxx，则g′(x)=1−lnxx2，当0<x<e时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，所以当x=e时，函数g(x)取得最大值g(e)=1e，则a>1e，所以实数a的取值范围为(1e,+∞)．【解析】(1)先求出函数的定义域，求出f′(x)，由导数的正负确定函数的单调性，由极值的定义求解f(x)的极值即可；(2)利用参变量分离，将问题转化为a>lnxx 对于x>0恒成立，即a>(lnxx)max，构造函数g(x)=lnxx，利用导数研究g(x)的单调性，确定g(x)的最大值，即可得到答案．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值以及最值的应用，不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b1，在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b2，由销售总利润=销售量×标价−成本，则旺季y=kx2−(100k−b1)x−100b1，淡季y=kx2−(100k−b2)x−100b2；(2)在(1)中，旺季y=kx2−(100k−b1)x−100b1，由k<0可知，在销售旺季，当x=100k−b12k =50−b12k时，利润y取得最大值；在销售淡季，当x=100k−b22k =50−b22k时，利润y取得最大值，下面分销售旺季和淡季进行讨论：由②可知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润，因此在销售旺季，当标价x=50−b12k=140时，利润取得最大值，此时b1=−180k，销售量为r(x)=kx−180k，令kx−180k=0，解得x=180，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件，由③可知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件，可见在销售淡季，当标价x=120时，r(x)=kx+b2=0，所以120k+b2=0，所以b2=−120k，故在销售淡季，当x=50−b22k =50+120k2k=110时，利润y取得最大值，故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标记应定为110元/件．【解析】(1)由题意，列出函数关系式即可；(2)利用二次函数的性质，分销售旺季和销售淡季分别进行分析，即可得到答案．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA故cosA=−1，2∵A∈(0,π)∴A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．=(sinB+sinC)2−sinBsinC变形得34又sinB+sinC=1，得sinBsinC=14上述两式联立得sinB=sinC=12因为0°<B<60°，0°<C<60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．(Ⅱ)把(Ⅰ)中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．22.【答案】(1)解：由f(x)=e x−2−a(x−1)(a∈R)，得f′(x)=e x−2−a，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，没有极值点；当a>0时，令f′(x)=0，即e x−2−a=0，解得x=2+lna，当x∈(−∞,2+lna)时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,2+lna)上单调递减，当x∈(2+lna,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(2+lna,+∞)上单调递增，所以当a>0时，函数f(x)有且只有一个极小值点．综上所述，当a≤0时，函数f(x)没有极值点，当a>0时，有一个极值点．(2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)有一个极小值点，且极小值为f(2+lna)=e2+lna−2−a(2+lna−1)=e lna−a(1+lna)=−alna．当0<a<1时，f(2+lna)=−alna>0，函数f(x)没有零点；当a=1时，f(2+lna)=−alna=0，函数f(x)只有一个零点；当a>1时，f(2+lna)=−alna<0，又因为f(0)=e−2+a>0，所以存在x1∈(0,2+lna)，使f(x1)=0；又f(4+a)=e2+a−a(3+a)>(2+a)2−3a−a2=4+a>0，所以存在x2∈(2+lna,4+a)，使f(x2)=0，所以当a>1时，f(x)有两个零点．记g(a)=a2−alna−1(a>1)，则g′(a)=2a−lna−1，记ℎ(a)=2a−lna−1(a>1)，则ℎ′(a)=2−1a =2a−1a，因为a>1，所以ℎ′(a)>0，所以ℎ(a)>ℎ(1)=1，所以g(a)在(1,+∞)单调递增，从而g(a)>g(1)=0，即a2−alna−1>0恒成立，故原不等式得证．【解析】(1)对f(x)求导，再对a分类讨论，利用导数求出函数f(x)的单调性，从而判断极值点个数；(2)结合(1)中结论及f(x)有两个零点，可求得a的取值范围，令g(a)=a2−alna−1，利用导数求出g(a)的单调性，从而证明g(a)>0即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查零点个数问题，不等式的证明，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。
江苏省淮安市淮阴中学2021届高三数学期中测试数学试题及答案
淮阴中学2020/2021学年度高三第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。
江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）注意事项：本卷满分为150分。
考试时间为120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为( )A. 2-B. 1-C. 1-或2-D. 2-或3- 【答案】C【解析】【分析】分2a =-、12a -=-两种情况讨论即可得出实数a 的值.【详解】因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，所以实数a 的值为1-或2-.故选：C.【点睛】本题主要考查根据元素与集合的关系求参数的值及集合中元素的互异性，属基础题.2.已知全集=U R ，集合{}{}=1,2,3,4,5=3A B x Rx ∈≥，，图中阴影部分所表示集合为（ ）A. {}1,2B. {}4,5C. {}1,2,3D. {}3,4,5【答案】A【解析】【分析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B ，结合所给的集合求解()R B A 即可确定阴影部分所表示的集合. 【详解】由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B （属于B 的补集），即(){}1,2R B A ⋂=.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，Venn 图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数()12f x x =-的定义域是（ ） A. [)1,-+∞B. [)()1,22,-⋃+∞C. (),-∞+∞D. [)1,2-【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的性质以及分母不是0，得到关于x 的不等式组，解出即可．【详解】解：由题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得：1x ≥-且2x ≠，故函数的定义域是[1,2)(2,)-+∞， 故选B ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．4.幂函数()f x 的图像过点(4,2)，且()f x =( )A . 12x - B. 2x C. 2x - D. 12x 【答案】D【解析】【分析】设幂函数()f x x α=，将点(4,2)代入即可求解.【详解】设幂函数()f x x α=，将点(4,2)代入可得22,22,4αα=∴=12α=，所以()12f x x =. 故选：D.【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，属基础题.5.三个数20.2a =，2log 0.2b =，0.12c =之间的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】因为200.21<<，2log 0.20<，0.121>，所以b a c <<.故选：C.【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属常规考题.6.若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: 2 )1.250.984=-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为（ ）A. 1.275B. 1.375C. 1.415D. 1.5【答案】C【解析】【分析】由函数零点存在定理确定。
江苏省高级中学2021_2022学年第一学期高三数学期中考试卷及答案与解析
江苏省高级中学2021-2022学年第一学期高三期中考试(数学)一、单选题1.已知集合，集合，则等于( )A. B. C. D.2.设复数z满足，则z等于( )A. B. C. D.3.“”是“，”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和.则最小的一份为( )A. B. C. D.5.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则( )A. B. C. D.6.已知，且，则等于( )A. B. C. D.7.已知向量，向量，，则，等于( )A. B. C. D.8.已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为( )A. 4B. 2C.D.二、多选题9.已知实数x，y满足，则下列关系式恒成立的有( )A. B.C. D.10.已知函数满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是( )A. B. C. D.11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈。
这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得。
则下列命题正确的有( )A. 若，则m只能是4；B. 当时，；C. 随着m的增大，n也增大；D. 若，则m的取值集合12.已知函数，下列叙述正确的有( )A. 函数的周期为B. 函数是偶函数C. 函数在区间上单调递减D. ，，三、填空题13.已知等比数列的前n项和为，且，则__________.14.已知函数满足，则__________.15.已知是腰长为1的等腰直角三角形，角A为直角，点P为平面ABC上的一点，则的最小值为__________.16.函数的零点个数为__________；当时，恒成立，则实数a的取值范围为__________.四、解答题17.在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数，且满足_____.求的值；将函数的图象向右平移个单位得到函数的图像，求在上的单调递减区间．18.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式；利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心．19.在锐角三角形ABC中，已知求角A的值；若，求的取值范围．20.在中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O，设若，求的值；求的最小值．21.已知正项数列的前n项积为，且满足求证：数列为等比数列；若…，求n的最小值．22.已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若函数的最小值为，求实数m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，集合，故选2.【答案】B【解析】解：设，a，，，，，解得，，故选3.【答案】A【解析】解：若对，，则²，解得，因为，所以“”是“，”充分不必要条件，故选：4.【答案】A【解析】解：设每个人由少到多的顺序得到面包分别为，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d，则有，①，又最大的三份之和的是较小的两份之和，，即，②，联立①②，解得故选5.【答案】D【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，，当时，，所以，又函数是奇函数，所以故选：6.【答案】C【解析】解：因为，可得，可得，解得或，又，所以，可得，所以故选7.【答案】B【解析】解：，所以，解得，所以，所以，又，所以故选8.【答案】C【解析】解：设，，所以，即，所以关于直线对称，又当时，，而是的一条对称轴，所以是的一条对称轴，故的对称轴为，若有且只有一个零点，则，所以有，即，所以，故选：9.【答案】AC【解析】解：实数x，y满足，，对于选项A：函数在R上单调递增，所以，故A恒成立，对于选项B：取，，则，故B不是恒成立，对于选项C：，恒成立，恒成立，故C恒成立，对于选项D：取，，则，故D不是恒成立，故选：10.【答案】ABC【解析】解：函数满足对任意的，恒成立，当时，恒成立，即恒成立，令，，则，当且仅当，即时取等号，所以；当时，，有恒成立，故当时，恒成立，即恒成立，令，，则，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，所以综上所述，实数a的取值范围为故选：11.【答案】ABD【解析】：对于A，若，可逆向思考：，所以m只能是4，A正确；对于B，因为，所以，B正确；对于C，因为当时，，而当时，，所以不是随着m的增大，n也增大，C错误；对于D，若，由已知，可以有，此外同A中思考方法，还有：，这时；，这时；，这时从上述法则可知：最后四步相同，第2步的数有两种情况，若为5，则，若为32，则第1步均为64，则m只能是21或故当时，m的取值集合为，D正确.故选：12.【答案】BC【解析】解：易知，，所以，即A错误;因为函数定义域为R，且，即B正确;当时，，则，所以在该区间上单调递减，即C正确;由A所举例可知，D错误.故选13.【答案】2【解析】解：等比数列中，，则，，两式相减得，即该等比数列公比，又等比数列中，，所以故答案为：14.【答案】【解析】解：，，，解得故答案为15.【答案】【解析】解：以A为原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为故答案为：16.【答案】2【解析】解：函数，令，因为，所以方程有两个不相等的实数根，则的零点个数为2；当时，恒成立，则，即，解得，又函数的对称轴为，所以，即，解得，综上所述，实数a的取值范围为故答案为2；17.【答案】解：选①，因为，当时，，令，所以，，因为函数在上有且仅有4个零点，所以在有且仅有4个零点，所以，所以，即，因为，所以；选②，当时，，令，所以，，若在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，则，在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，所以，所以，即，因为，所以；由知，，所以，令，，所以，，因为，所以时，，时，，所以在上的单调递减区间为，18.【答案】解：，因为是奇函数，所以图象关于点对称．答案不唯一根据题意，设，则，又由为奇函数，则，即，解得，即函数图象的对称中心坐标为19.【答案】解：在锐角三角形ABC中，已知，整理得：，化简得：，由于，所以；由于，所以，所以，，故，在锐角三角形ABC中，，所以，故；即的取值范围为：20.【答案】解：当时，，因为D是BC中点，所以，设，，所以，所以，即，因为A，O，D共线，所以，解得，即由题知，当时，，则，当时，，设，则，所以，因为C，O，E共线，所以，解得，所以，，所以，因为，，，所以，设，则，当且仅当，即时，上述等号成立，所以，综上可得的最小值为21.【答案】解：证明：当时，，所以，即，所以，即，而，所以，所以，因此数列为等比数列且首项为，公比为；由可知，，所以，所以，而，，记的前n项和为，因此，所以，，所以，n的最小值为22.【答案】解：当时，，其定义域为，则，根据函数导数的几何意义即得函数在点处的切线斜率为，又因为，所以可得切线的点斜式方程即为，化简即得切线方程为：；根据题意，的定义域为，，令，所以，所以在上单调递增.当时，，，当时，，，当时，，所以总存在一个，使得，且当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以时，，即第11页，共11页。
江苏省淮安市盱眙县马坝中学2021年高三数学理月考试卷含解析
江苏省淮安市盱眙县马坝中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （2016郑州一测）设（是虚数单位），则（）A．B．C．D．0参考答案：C．2. 若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：A3. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 已知且f（0）=2，f（﹣1）=4，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣3参考答案：A【考点】3T：函数的值．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由f（0）=2，f（﹣1）=4，列出方程组，求得a=，b=1，从而，进而f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10），由此能求出结果．【解答】解：∵且f（0）=2，f（﹣1）=4，∴，解得a=，b=1，∴，∴f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10）=﹣lg10=﹣1．故选：A．5. 等差数列的前n项和为，且9，3，成等比数列. 若=3，则=( )A. 6B. 4C. 3D. 5参考答案：C6. 设集合则（）A． B． C． D．参考答案：C略7. 已知集合A={x|x2+3x+2≤0}，B={y|y=2x-1,x∈R}，则A∩C R B=( )A．B．{-1} C．[-2，-1] D．[-2,-1)参考答案：CA={x|x2+3x+2≤0}，B={y|y=2x-1,x∈R}，所以A∩C R B=[-2，-1]。
8. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①② ③④其中是一阶整点函数的是（）A．①②③④B．①③④C．④D．①④参考答案：B略9. 已知均为锐角，则（）A． B． C． D．参考答案：C【知识点】两角和与差的三角函数【试题解析】由题知：所以所以故答案为：C【答案】【解析】10. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2+D．3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；所以该几何体的体积为V=V三棱柱+V长方体=×1×1×3+1×1×2=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知α∈R，则函数f（x）=1﹣sin2（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值为．参考答案：【考点】HW ：三角函数的最值．【分析】化简f （x ）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f （x ）的最大值． 【解答】解：函数f （x ）=1﹣sin 2（x+α）+cos （x+α）sin （x+α） =1﹣+sin2（x+α）=+sin2（x+α）+cos2（x+α） =+sin=+sin （2x+2α+）；当2x+2α+=+2kπ，k∈Z，即x=﹣α++kπ，k∈Z 时；f （x ）取得最大值为．故答案为：．12. 在区间内随机取两个实数分别为，，则使函数存在极值点的概率为.参考答案：13. 已知直线l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，则l 1∥l 2的充要条件是a= ．参考答案：﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题．【分析】由已知中，两条直线的方程，l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．【解答】解：∵直线l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，∴k 1=，k 2=若l 1∥l 2，则k 1=k 2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合 故答案为﹣1【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3． 14. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：；根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.参考答案：1115. 已知向量a =（2,6），b =(－1，λ) ，若a ∥b ，则λ=参考答案：－316. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6 门学科中选择3门学科参加等级考试．小王同学对理科学科比较感兴趣，决定至少选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有 种．参考答案：10【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；分类讨论；定义法；排列组合．【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有C32C31=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sin C=2sin B，则角A为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校2021届高三数学上学期期中联考试题 文(含解析).doc
江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校2021届高三数学上学期期中联考试题文（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知R为实数集，集合A={-1，0，1}，集合B={x|x≤0}，则A∩∁R B=______．2.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是______．3.已知向量，若，则=______．4.已知函数，则函数的最小正周期为______．5.已知函数，则f（f（0）-3）=______．6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c=______．7.已知，，则tanα=______．8.将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则φ=______．9.若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+1+c，则c=______．10.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．11.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=______．12.已知函数f（x）=x lnx-x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是______．13.已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为______．14.已知关于x的不等式（x-3）ln x≤2λ有解，则整数λ的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α-）的值．16.在△ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量=（cos A，sin A），=（cos A，-sin A），且•=（I）求角A的大小及向量与的夹角；（II）若a=，求△ABC面积的最大值．17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18.函数f（x）=log a（2-ax）（a＞0，a≠1）．（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）-log a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20.已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[-2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|＜|g（x1）-g （x2）|均成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】{1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B={x|x≤0}，∴∁R B={x|x＞0}，A∩∁R B={1}．故答案为：{1}．进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】∃x0∈R，x02+2x0+1≤0【解析】解：命题为全称命题，则“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】【解析】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4.【答案】π【解析】解：函数的最小正周期为：=π．故答案为：π．直接利用三角函数的周期公式求解即可．本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题．5.【答案】-1【解析】解：∵函数，∴f（0）=e0=1，f（0）-3=1-3=-2＜0，∴f（-2）=-2+1=-1，所以f（f（0）-3）=f（-2）=-1，故答案为-1；已知f（x）是分段函数，代入分段函数求出f（0），再把f（0）-3看为一个整体，再进行代入进行求解；此题主要考查分段函数的性质，注意分段函数的定义域，此题是一道基础题；6.【答案】4【解析】解：∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cos C=-，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．由3sin A=2sin B即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵，∴∈（，），又，∴sin（）==．∴sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin==，则cosα=，∴tan．故答案为：．由已知求得sin（），再由sinα=sin[（）-]，运用两角差的正弦展开求得sinα，然后利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与两角差的三角函数，是基础题．8.【答案】【解析】解：将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=cos（2x+φ），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=cos[2（x+）+φ]=cos（2x++φ），∵所得函数图象关于原点对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，故答案为：．根据函数平移变换关系求出函数解析式，结合函数奇偶性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键．9.【答案】-2【解析】【解答】解：依题意，该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，∴c==-2，故填：-2．【分析】显然该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，c=-2，本题考查了等比数列的前n项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题．10.【答案】6【解析】【分析】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键．设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】解：设肉价是每两x文，由题意得16x-30=8x+18，解得x=6，即肉价是每两6文．故答案为：6．11.【答案】-16【解析】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ．又=-，=-，∴=（-）•（-）=•-•-•+，=-25-5×3cosθ-3×5cos（π-θ）+9=-16，故答案为-16．设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ，再由=（-）•（-）以及两个向量的数量积的定义求出结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．12.【答案】（0，）【解析】解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，ln x0），故k=y′=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．故答案为：（0，）．由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，通过函数的导数利用曲线的斜率，从而求解a的范围；本题考查了导数的综合应用，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．13.【答案】5+2【解析】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3-时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．14.【答案】0【解析】h（x）=（x-3）ln x，h′（x）=ln x-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即ln x0=-1，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（-，-），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解；故答案为：0令函数h（x）=（x-3）ln x，求出h（x）的最小值，根据函数的单调性判断即可；本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=-或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=-（2）∵α∈（，π）．cosα=-∴sinα=，那么：cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α-）=sin2αcos-cos2αsin=．【解析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α-）的值．本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．16.【答案】解：（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得．再根据=cos＜，＞，求得cos＜，＞=，可得向量与的夹角＜，＞=．（II）∵a=，A=，由余弦定理可得a2=5=b2+c2-2bc•cos A≥2bc-bc，求得bc≤10+5，当且仅当b=c时取等号，故△ABC面积bc•sin A=的最大值为．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得A的值．再根据两个向量的数量积的定义求得向量与的夹角．（II）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sin A 的最大值.17.【答案】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30-x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，答：当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（-x3+30x2），V′=6x（20-x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；答：当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【解析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意得：f（x）=log3（2-3x），∴2-3x＞0，即x＜，所以函数f（x）的定义域为（-∞，）；（2）易知g（x）=log a（2-ax）-log a（2+ax），∵2-ax＞0且2+ax＞0，∴关于原点对称，又∵，∴，∴g（x）为奇函数．（3）令μ=2-ax，∵a＞0，a≠1，∴μ=2-ax在[2，3]上单调递减，又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3）=1，即f（3）=log a（2-3a）=1，∴，∵0＜a＜1，∴符合题意．即存在实数，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1．【解析】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性、最值问题，是一道中档题．（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）令μ=2-ax，根据复合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出对应的a的值即可．19.【答案】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（Ⅰ）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．20.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞-1或x＜-2，令y′＜0，解得：-2＜x＜-1，∴函数y=f（x）•g（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，而x=-2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[-2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→-∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）-g（x2）＜f（x1）-f（x2）＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，因为-（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以-（e x+2x）的最大值为-1，所以a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，因为e x-2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x-2x的最小值为2-2ln2，所以a≤2-2ln2，综上：-1≤a≤2-2ln2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．。
江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
江苏省马坝高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分一､单选题(每小题5分，共计40分)1. 已知集合{}1,1,2A =-，集合{}1,2,3,4B =，则集合A B =（ ） A. {}1,2 B. {}1,1,2- C. {}1,2,3 D. {}1,1,2,3,4-A根据交集的概念直接写出A B 的结果. 因为{}1,1,2A =-，{}1,2,3,4B =， 所以{}1,2A B =，故选：A.本题考查集合的交集运算，主要考查学生对交集概念的理解，难度容易.2. 函数()()lg 31f x x =-的定义域为（ ）A. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭A要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解出即可.要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解得113x <≤所以函数()()lg 31f x x =-的定义域为1,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A本题考查的是函数定义域的求法，较简单.3. 若向量 (2,3)a =-，(1,2)b =-，则2a b -=（ ） A. (3,4)- B. (5,8)-C. (5,8)-D. ()3,4-B根据向量的坐标运算，先由(2,3)a =-，求得2(4,6)=-a ，再求2a b -的坐标． 因为(2,3)a =-，所以2(4,6)=-a ，所以2(5,8)-=-a b ．故选：B本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 在()61x -的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A. -15 B. 15 C. -20 D. 20B利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为4,求出展开式中4x 的系数. 设二项式()61x -的展开式的通项为1r T +，则()()6616611rrr r r rr T C x C x --+=-=-.令64,2r r -=∴=.4x ∴的系数为()226115C -=.故选：B .本题考查二项式定理，属于基础题.5. ()322f x ax x =++，若()15f '=，则a的值等于（ ）A. 1B. 2C.115D. 3A求出导函数()'f x ，由(1)5f '=可求得a ．由题意2()32f x ax x '=+，∴(1)325f a '=+=，解得1a =．故选：A ． 本题考查导数的运算，掌握导数的运算法则是解题基础．6. 已知()0,απ∈且满足7cos cos 4418ππαα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α=（ ）A. 3B. 23C. 23-D. 13A利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值.cos cos 44ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222117cos sin 12sin 2218ααα=-=-=-， 又()0,a π∈， ∴22sin 3α=.故选：A . 本题考查两角和与差的三角公式，二倍角公式，属于基础题.7. 设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12C由()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，可将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可计算. ()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当01x ≤≤时，()2f x x x =-，51112224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.本题考查周期性和奇偶性的应用，属于基础题.8. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）．A. 65米B. 74米C. 83米D. 92米B设AC 的高度为x ，在直角三角形中用x 表示出,BE BD ，由79ED =可求得x 得楼高． 设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，33tan ABBD x ADB==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）．故选：B ． 本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．二､多选题(每小题5分，每题全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分，共20分) 9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A. ::::A B C a b c = B.sin sin sin sin a a b cA AB C++=++ C. 若sin sin A B <，则A B < D. 若sin 2sin 2A B =，则a b =BC根据正弦定理以及诱导公式逐一判断，即可选择.根据正弦定理得sin :sin :sin ::A B C a b c =，所以A 错误； 根据正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆半径, 2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C aR A B C A B C A++++∴===++++,所以B 正确； sin sin 22a bA B a b A B R R<∴<∴<<，，所以C 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=∴a b =或2C π=，故D错误；故选：BC本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析论证与求解能力，属基础题. 10. 下列命题中正确命题的是（ ）A. 已知a ，b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充要条件； B. (),0x ∃∈-∞，使23x x <；C. 若x θ=是函数()3sin cos f x x x =-的一个极值点，则22sin 22cos 5θθ+=-；D. 若角α的终边在第一象限，则sincos 22sincos22αααα+的取值集合为{}2,2-.CD由指数函数和对数函数的性质，结合充分、必要条件，可判定A 不正确；由指数函数的图象与性质，可判定B 不正确；由极值点的概念和三角函数的基本关系式，可判定C 是正确. 三角函数象限角的符号，可得判定D 是正确的.对于A 中，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数的性质，可得a b >，例如：1,3a b =-=-时，满足a b >，此时3log a 和3log b 无意义，所以充分性不成立；反之：由33log log a b >，可得a b >，可得1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立，所以A 不正确；对于B 中，由指数函数的图象与性质，可得不存在(),0x ∈-∞，使得23x x <成立， 所以B 不正确；对于C 中，函数()3sin cos f x x x =-，可得()3cos sin f x x x '=+，因为x θ=是函数()f x 的一个极值点，可得3cos sin 0θθ+=，即tan 3θ=-，又由222222sin cos 2cos 2tan 22sin 22cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===-++，所以C 是正确. 对于D 中，由角α的终边在第一象限，可得22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈，当k 为偶数时，可得sin0,cos022αα>>，此时sincos 222sincos22αααα+=； 当k 为奇数时，可得sin0,cos022αα<<，此时sincos 222sincos22αααα+=-. 所以D 是正确的.故选：CD三角函数基本关系式的化简求值的方法及策略：1、公式的直接应用：已知sin ,cos ,tan θθθ的一个求另外两个的值，解答时可直接套用公式求解，但要注意θ的范围，确定三角函数值的符号；2、齐次式法：分式中分子分母时关于sin ,cos θθ的齐次式，往往转化为关于tan θ的式子求解；3、利用sin cos ,sin cos θθθθ±的关系：对于sin cos θθ±和sin cos θθ这三个式子，利用2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±，可以知一求二.11. 已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()g x 的图象关于直线3x π=对称B. ()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D. ()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点CD求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质. 12. 关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是（ ） A. 当1a =时，()ln 21f x ≥+；B. 当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C. 当a e >时，函数()f x 有两个零点；D. 当()f x 的最小值为2时，2a =． ABD 【分析】由导数确定函数的单调性和最值，即可判断A 、B 、D ；举出反例可判断C ，即可得解.对函数()2ln ,0f x a x x x=+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=， 当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=，当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确；当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln 20f x f e e e e ⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误； 当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值； 当0a >时，由()22ax f x x -'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()min22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确.故选：ABD. 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.三､填空题(每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共计20分) 13. 已知复数z 满足(2)1i z i -=+，i 为虚数单位，则复数z =_________1355i + 根据复数的除法运算计算即可得解.(2)1i z i -=+，1(1)(2)(1)(2)13132(2)(2)5555i i i i i i z i i i i ++++++=====+--+. 故答案为：1355i +．本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．14. 已知x ，y 取值如表：x13 5 6y1 m3m5.67.4画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________． 32分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3，y =15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+）， 又y 与x 的线性回归方程y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1， 解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．15. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14P -,，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为___________．840x y ++=试题分析：由可知，，所以，所以切线方程为，即840x y ++=.考点：导数的几何意义．16. 已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______.(1).34(2). 211-由已知可求tan θ，根据诱导公式求出()tan πθ-；利用()ααθθ=-+，再由两角和正切公式即可求解.依题意得33tan ,tan()tan 44θπθθ=--=-=，1tan()tan 24tan tan[()]111tan()tan 118αθθααθθαθθ--+=-+===---⋅.故答案为：34，211-. 本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题. 四､解答题(共计70分)17. 设两个非零向量12,e e 不共线，2211128,2,3()A e B e BC e e e e CD ==-=++. （1）求证:A 、B 、D 共线；（2）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线．（1）证明见解析；（2）1k =±（1）求出BD ，只需证明,AB BD 共线即可；（2）根据共线向量的充要条件，建立k 的方程关系，即可求解. （1）12555BD BC CD e e AB AB BD =+=+=⋅∴∥又有公共点B ,A ∴、B 、D 共线（2）设存在实数λ使1212()ke e e ke λ+=+，非零向量12,e e 不共线，1k k λλ=⎧∴⎨=⎩，1k ∴=±.本题考查共线向量定理，考查计算求解能力，属于基础题.18. 已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围．在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位． （1）2π；（2）若选①，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若选②，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）用正弦余弦的半角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，由()g x 的值域可得a 范围；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，同样由()g x 值域得a 的范围. （1）()11()1cos sin 1226f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π； （2）选①时，()3sin 211cos 2266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故1cos 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 选②时，()sin 211sin 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.19. 如图，在ABC ∆中，已知30B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长. （1153；（2）53 分析：（1）在ADC ∆中，根据余弦定理求得120ADC ∠=︒，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在ABD ∆中由正弦定理可得AB 的长． 详解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒， 3sin ADC ∴∠=， 113153sin 5322ADC S AD DC ADC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒， 由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∴512AB == 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用． 20. 为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关；（3）1415. （1）直接根据题干信息填表即可；（2）根据2K 的公式直接计算并结合参考数据概率下结论即可；（3）利用对立事件“都不能胜任翻译工作”概率计算即可. （1）2×2列联表如下：（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得2230(10866) 1.1575 2.70616141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． (3)喜欢运动的女志愿者有6人，从中抽取2人，有2615C =种取法． 其中两人都不会外语的只有一种取法．故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是11411515P =-=. 本题主要考查了独立性检验的应用及利用对立事件求解概率，属于基础题.21. 2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到2102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ （1）2001004402p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损． （1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解；（2）由题得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x=++，利用导数求出函数()f x 的最大值即可得解.（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦2001004402x x λλ=---+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x =-'，令0fx解得=±x所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ，解得0.9λ，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 已知函数()ln ()af x x a R x=+∈.（1）若1a =，求()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若()22()2a g x af x x x x=+--有两个极值点()1212,x x x x <，且不等式()12g x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.（1）极小值1，无极大值；（2）答案见解析；（3）3,ln 22⎛⎤-∞--⎥⎝⎦.（1）求出函数的导数，讨论其单调性即可求出极值；（2）求出函数导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得单调性；（3）根据导数可得()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，则可得出102a <<，进而得出121012x x <<<<，可得()12g x mx ≥恒成立，等价于()1111112ln 1m x x x x ≤--+-，构造函数11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭求出最小值即可.（1）若1a =，则1()ln f x x x=+，()0,x ∈+∞ ()22111x f x x x x-'∴=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时函数有极小值()11f =，无极大值；（2）()f x 的定义域是()0,∞+，221()a x af x x x x-'=-=， ①0a ≤时，0x a ->，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+递增，②0a >时，令()0f x '>，解得：x a >，令()0f x '<，解得：x a <， 故()f x 在()0,a 递减，在(),a +∞递增；（3）222()()2ln 2a g x af x x x a x x x x=+--=+-定义域为()0,∞+，()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，即222()220a x x ag x x x x'-+=+-==，则2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<， ∴480a ∆=->，0a >，102a ⇒<<.且121x x =+，21122a x x =-.从而121012x x <<<<.由不等式()12g x mx ≥恒成立，得()21111222ln g x x x a x m x x -+≤=()()221111*********ln 112ln 11x x x x x x x x x x -+-==--+--恒成立. 令11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， 当102t <<时，21()12ln 0(1)h t t t '=-+<-恒成立， 所以函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴13()ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭. 故实数m 的取值范围是3,ln 22⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，以此求出121012x x <<<<，再将不等式恒成立转化为求11()12ln 012h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭的最小值.。
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A. A : B : C a : b : c
B.
a
abc
sin A sin A sin B sin C
C. 若 sin A sin B ，则 A B
D. 若 sin 2A sin 2B ，则 a b
10. 下列命题中正确命题的是（ ）
A.
已知
a
，
b
是实数，则“
1 3
a
1 3
b
”是“
A. 当 a 1时， f (x) ln 2 1；
B.
当a1时，不等式f源自2x 1 f(x)
0
的解集为
1 2
,1
；
C. 当 a e 时，函数 f (x) 有两个零点；
2
D. 当 f (x) 的最小值为 2 时， a 2 .
三、填空题（每小题 5 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共计 20 分）
江苏省马坝高级中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试
高三数学试题
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
一、单选题（每小题 5 分，共计 40 分）
1. 已知集合 A 1,1, 2 ，集合 B 1, 2,3, 4 ，则集合 A B （ ）
A. 1, 2
B. 1,1, 2
C. 1, 2,3
A. -15
B. 15
C. -20
D. 20
5. f (x) ax3 x2 2 ，若 f '1 5 ，则 a 的值等于（ ）
11
A. 1
B. 2
C.
D. 3
5
6.
已知
0,
且满足
cos
4
cos
4
7 18
，则 sin
（
）
22
A.
3
2
B.
3
C. 2 3
1
D.
3
7.
设
f
(x) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0
x 1时，
f (x)
x2
x ，则
f
5 2
（
）
A. 1 4
B. 1 2
C. 1 4
D. 1 2
8. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三
层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客
（身高忽略不计）从地面 D 点看楼顶点 A 的仰角为 30 ，沿直线前进 79 米到达 E 点，此时看点 C 的仰角
为 45 ，若 BC 2AC ，则楼高 AB 约为（ ）
1
A. 65 米
B. 74 米
C. 83 米
D. 92 米
二、多选题（每小题 5 分，每题全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，选错得 0 分，共 20 分）
9. 在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下列说法正确的有（ ）
3
（1）求 △ADC 的面积； （2）求边 AB 的长.
20. 为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者，调查发现，男、女志愿
者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余人不喜爱运动.
（1）根据以上数据完成以下 2 2 列联表：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
D. 1,1, 2,3, 4
2. 函数 f (x) 1 x lg(3x 1) 的定义域为（ ）
A.
1 3
,1
B. 0,1
C.
,
1 3
3.
若向量 a
2,
3
，
b
1,
2
，则
2a
b
（
）
D.
0,
1 3
A. 3, 4
B. 5, 8
C. 5,8
D. 3, 4
4. 在 x 16 的展开式中，含 x4 项的系数是（ ）
11.
已知函数 g(x)
sin
2x
3
，则（
）
A. g(x) 的图象关于直线 x 对称 3
B.
g
(
x)
的图象关于点
6
,
0
对称
C.
g(x)
在区间
5 12
,
6
上单调递增
D.
g(x)
在区间
0,
7 6
上有两个零点
12. 关于函数 f (x) a ln x 2 ，下列判断正确的是（ ） x
女
6
14
总计
30
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有 4 人会外语），抽取 2 名负责翻译工作，那么抽出的志愿者
中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少？
y
g(x) 的图象，当
x
6
,
4
时，方程
g(x) a 有解，求实数 a 的取值范围.
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.
3
①向左平移 个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
2
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 个单位.
4
19. 如图，在 △ABC 中，已知 B 30 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， AC 7 ， DC 3 .
log3
a
log3
b
”的充要条件；
B. x , 0 ，使 2x 3x ；
C. 若 x 是函数 f (x) 3sin x cos x 的一个极值点，则 sin 2 2 cos2 2 ； 5
sin cos
D.
若角 的终边在第一象限，则
2 sin
2 cos
的取值集合为2, 2 .
2
2
16.
已知角
的顶点与原
O
重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，它的终边经过点
P
4 5
,
3 5
，则
tan _________，若角 满足 tan 1 ，则 tan _________.
2
四、解答题（共计 70 分）
17. 设两个非零向量 e1 ， e2 不共线， AB e1 e2 ， BC 2e1 8e2 ， CD 3 e1 e2 .
13. 已知复数 z 满足 2 i z 1 i ， i 为虚数单位，则复数 z ________.
14. 已知 x ， y 取值如表：
x
0
1
3
5
6
y
1
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 y x 1，则 m ________.
15. 已知函数 f (x) ax3 2x 的图象过点 P 1, 4 ，则曲线 y f (x) 在点 P 处的切线方程为_________.
（1）求证： A 、 B 、 D 共线；
（2）试确定实数 k ，使 ke1 e2 和 e1 ke2 共线.
18. 已知函数 f (x) 3 sin x cos x cos2 x 1 .
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（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
（2）将函数
y
f
(x)
的图象上的各点_________；得到函数