四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)

2016年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1≤x＜3} D．{x|1≤x＜3}2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．104．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=loga则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设实数x ，y 满足约束条件，已知z=2x+y 的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．﹣1D ．110．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，它的准线与对称轴的交点为H ，过点H 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，过点A 作直线AF 与抛物线C 交于另一点B 1，过点A 、B 、B 1的圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，则下列各式成立的是（ ）A ．a 2=r 2﹣B ．a=rC ．a 2=r 2+D ．a 2=r 2+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=________．12．已知等腰三角形ABC 的底边AB 的长为4，则=________．13．已知α，β，，，则=________． 14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．15．若存在实数x 0和正实数△x ，使得函数f （x ）满足f （x 0+△x ）=f （x 0）+4△x ，则称函数f （x ）为“可翻倍函数”，则下列四个函数 ①；②f （x ）=x 2﹣2x ，x ∈[0，3]；③f （x ）=4sinx ；④f （x ）=e x ﹣lnx ．其中为“可翻倍函数”的有________（填出所有正确结论的番号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+6a 2=1，a 32=9a 1a 7．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和S n ．17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f（x）=me x﹣x﹣2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f （x ）的两个零点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，求的值域．2016年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1≤x＜3} D．{x|1≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x≤1}，故选：A．2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可判断对应点所在象限．【解答】解：复数z==（1﹣i）﹣i=﹣i，复数对应点为（，﹣）在第四象限．故选：D．3．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．10【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据样本容量即可计算中青年职工抽取的人数．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为350：500：150=7：10：3，根据分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数=7，故选：C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由于y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，它的图象的关于原点对称，故排除A；由于y=|sinx|的最小正周期为π，且它是偶函数，图象关于y轴对称，故满足条件；由于y===﹣sin2x为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除C；由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除D，故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=loga则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（5）•g（﹣3）＞0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log|x|是对数型的且是一个偶函数，a由f（5）•g（﹣3）＞0，可得出g（﹣3）＞0，则g（3）＞0因为a＞0且a≠1，所以必有log3＞0，解得a＞1．a所以函数f（x）=a x﹣2，在定义域上为增函数且过点（2，1），g（x）=log|x|在x＞0时，为增函数，在x＜0时为减函数．a所以对应的图象为C故选：C．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得直线2x+y﹣10=0与x轴的交点，可得c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=2b，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：直线2x+y﹣10=0经过x轴的交点为（﹣5，0），由题意可得c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程y=±x，由直线2x+y﹣10=0和一条渐近线垂直，可得：=，解得a=2，b=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：B．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判定函数f（x）的奇偶性与单调性，即可得出．【解答】解：∵，x∈R．∴f（﹣x）+f（x）=（﹣x）5++x5+ln=ln（﹣x2+x2+1）=0，∴函数f（x）是R上的奇函数，又函数f（x）在R上单调递增．则对任意实数a，b，“a+b≥0”⇔a≥﹣b⇔f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）⇔“f（a）+f（b）≥0”．∴对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件．故选：C．9．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z分别经过A，B时，直线y=﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a=1．故选：D．10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B1，过点A、B、B1的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（）A．a2=r2﹣ B．a=r C．a2=r2+D．a2=r2+1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），求出B的坐标，进一步求出B1的坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B（，1），直线AF的方程为y﹣0=（x﹣1）代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B1（，﹣1），AB的中点为（，），线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得x=，∴a=，r2=（﹣4）2+（0﹣4）2=，∴r2+1==a2，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=2﹣2+=．故答案为：．12．已知等腰三角形ABC的底边AB的长为4，则=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，进行数量积的运算便可得到，而，从而便可得出的值．【解答】解：如图，=．故答案为：8．13．已知α，β，，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可求角α+β，的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sin（），由=sin[（α+β）﹣（）]利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β，，，∴α+β∈（，2π），=（，），可得：sin（α+β）=﹣=﹣，sin（）==，∴=sin[（α+β）﹣（）]=sin（α+β）cos（）﹣cos（α+β）sin（）=（﹣）×（﹣）﹣=．故答案为：．14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是三棱锥，根据三视图数据计算表面积．【解答】解：由三视图得到几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，高为1，它的四个面分别是边长为2的等边三角形，两个直角边分别为1，2的直角三角形，腰长为，底边为2的等腰三角形，如图：所以其表面积为=4+；故答案为：15．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x+△x）=f（x）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数①；②f（x）=x2﹣2x，x∈[0，3]；③f（x）=4sinx；④f（x）=e x﹣lnx．其中为“可翻倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．【考点】函数的值．【分析】假设是可翻倍函数，从而可得f （x 0+△x ）=，f （x 0）+4△x=4△x+，从而化简可得4（+）=1，存在即可；从而依次判断即可．【解答】解：假设是可翻倍函数， 而f （x 0+△x ）=，f （x 0）+4△x=4△x+，故﹣=4△x ，故=4△x ，故4（+）=1，故x 0=，△x=3•时，成立，故①正确；而f （x 0+△x ）=（x 0+△x ）2﹣2（x 0+△x ），f （x 0）+4△x=（x 0）2﹣2x 0+4△x ， 故2x 0△x+△x 2﹣6△x=0， 故x 0==3﹣，故x 0+△x=3﹣+△x=3+＞3，故②不成立；同理可得，③不正确，④正确； 故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+6a 2=1，a 32=9a 1a 7． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】解：（Ⅰ）由等比数列的关系可得到a 1、q ，即可写出通项公式，（Ⅱ）根据对数函数性质，b n =，=，再累计求前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列公比为为q ，因各项为正，有q ＞0由∴（n∈N*）（Ⅱ）bn =log3a1+log3a2+log3a3+…+log3an=log3（a1•a2…an）==∴∴的前n项和=17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）一一列举即可，（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，根据概率公式计算即可，（Ⅲ）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，1，0，0），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0），（0，1，1，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，1，0，0），（0，0，1，1），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，0，0，0）（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，∴每局获奖的概率P（A）=，（III）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，∴P（B）=法2：a+b+c+d≤2⇔所掷4次中至多2次正面向上，为（Ⅱ）中A的对立事件，∴18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）整理已知等式可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理可得，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）由m与n共线可得，由正弦定理可得，结合sinB=sin（A+C），由三角函数恒等变换的应用即可求值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc，∴a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴b2+c2﹣a2=bc…由余弦定理知：∵b2+c2﹣a2=2bccosA，…∴，∵0＜A＜π，∴…（Ⅱ）∵m与n共线∴，…由正弦定理知：，…又∵在△ABC中，sinB=sin（A+C），∴，…即：，∴…19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取OC的中点H，连接FH，BH，根据中位线定理和平行公理可知四边形BEFH 是平行四边形，故EF∥BH，于是EF∥平面BOC；（II）连结DE，OE，DG，OG，通过勾股定理计算可知DE=OE=D=OG=，由三线合一得出OD ⊥EF，OD⊥FG，于是OD⊥平面EFG；（III）根据中位线定理计算EG，得出△EFG是边长为的正三角形，以△EFG为棱锥的底面，则OF为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取OC的中点H，连接FH，BH，∵F，H分别是OD，OC的中点，∴FH，又∵在正方形ABCD中，E是AB的中点，∴EB，∴EB FH，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，又∵EF⊄平面BOC，BH⊂平面BOC，∴EF∥平面BOC．（Ⅱ）证明：连结DE，OE，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，∴∵侧棱OB⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，∴OB⊥AB又∵OB=2，EB=1，∴，∴，∴△ODE是等腰三角形，∵F是OD的中点，∴EF⊥OD．同理DG=OG=，∴△ODG是等腰三角形，∵F是OD的中点，∴FG⊥OD．又∵EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂面EFG，∴OD⊥平面EFG．（Ⅲ）解：∵侧棱OB⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴OB⊥BD，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴BD=2，∴OD==2．∵F分别是OD的中点，∴，∵，EF⊥OD，，FH⊥OD，∴，，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E，G是AB，BC的中点，∴EG==，∴三角形EFG是等边三角形，∴，∴VG﹣OEF =VO﹣EFG===．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入，得（1+2k2）x2+16kx+24=0，由此利用韦达定理、椭圆对称性，结合已知条件能证明AD恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，∴由已知，解得，∴椭圆Γ的方程为证明：（Ⅱ）由已知可设AB 方程为y=kx+4（k ＞0）， 代入，得（1+2k 2）x 2+16kx+24=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由对称性知D （﹣x 2，y 2），∴AD 方程为，∵y 1=kx 1+4，y 2=kx 2+4， ∴AD 方程可化为===∴AD 恒过定点，定点为（0，1）21．已知函数f （x ）=me x ﹣x ﹣2．（其中e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线y=f （x ）过点P （0，1），求曲线f （x ）在点P （0，1）处的切线方程； （Ⅱ）若f （x ）＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若f （x ）的两个零点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，求的值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出m 的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）问题转化为，令，根据函数的单调性求出u （x ）的最大值，从而求出m 的范围即可；（Ⅲ）令x2﹣x1=t（t＞0），构造函数，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=m﹣2=1⇒m=3，f′（x）=3e x﹣1，f′（0）=3﹣1=2，∴所求切线方程y=2x+1，即2x﹣y+1=0（Ⅱ）由f（x）＞0，得：me x﹣x﹣2＞0，即有，令，则，令u′（x）＞0⇒x＜﹣1，u′（x）＜0⇒x＞﹣1，∴u（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，∴u（x）max=u（﹣1）=e，∴m＞e（III）由题意，，，==，令x2﹣x1=t（t＞0），又，∴g（t）在（0，+∞）上单调递减∴g（t）＜g（0）=0∴g（t）∈（﹣∞，0）∴的值域为（﹣∞，0）2016年9月7日。