特征函数与极限定理
随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理
02
大数定律
切比雪夫大数定律
定义
设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，若存在常 数$M$，使得$P( |X_n| > M ) leq frac{1}{n^2}$， 则对任意的$varepsilon > 0$，有$P( left| frac{X_1 + X_2 + cdots + X_n}{n} - E(X_1) right| < varepsilon ) to 1$，当$n to infty$。
相应的概率。
性质
03
数学期望具有可加性和线性性质，即E(aX+b)=a*E(X)+b。
方差
定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值，表示随机变 量取值与其数学期望的偏离程度。
计算方法
D(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]。
性质
方差具有可加性和线性性质，即D(aX+b)=a^2*D(X)。
矩与偏态
定义
矩是描述随机变量取值分布形状的数字特征，包括原点矩和中心矩。偏态是描述随机变量取值分布偏斜程度的数字特 征。
计算方法
原点矩包括原点均方、原点方差等；中心矩包括中心均方、中心方差等。偏态的计算公式为S=Σ[(x-μ)^n*p(x)]/n!，其中 μ为数学期望，n为正整数。
性质
偏态具有可加性和线性性质，即S(aX+b)=a^n*S(X)。
李雅普诺夫定理指出，对于任何正整数 n，如果一个随机变量的所有n阶矩都存 在，则其分布函数可以由其n阶原点矩 确定。
该定理是关于随机变量的数字特征的重要定 理，它表明随机变量的数字特征可以完全描 述其分布。
它对于研究随机变量的性质和分布 具有重要意义。
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
第五章 极限定理 (3)
二项分布B(n, p ) : 设Y ~ B(n, p ), Y X i , 且
i 1Βιβλιοθήκη nX i ~ B(1, p )相互独立, 则 X i (t ) pe q
it
所以Y ~ B(n, p)的其特征函数为
Y (t ) [ pe q]
it
n
29 June 2016
中国石油大学（华东）
(t )
eitx f ( x )dx
这是 f(x) 的傅里叶变换
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第五章 特征函数与极限定理
第7页
计算公式(2)： (t ) E (cos(tX )) iE (sin(tX )) cos(txk ) pk i sin(txk ) pk ; k k cos(tx ) f ( x )dx i sin(tx ) f ( x )dx t .
第五章 特征函数与极限定理
第1页
第五章 特征函数与极限定理 (The law of large number and the central limit theorem)
§5.1 特征函数 §5.2 * 多维正态分布及其性质 §5.3 随机变量序列的收敛性 §5.4 大数定律 §5.5 中心极限定理
e
itx
dF ( x )
e
itx
dF ( x ) (t ).
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第五章 特征函数与极限定理
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性质5.1.4
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y ( t)
Pr oof : E (e
特征函数证明中心极限定理
特征函数证明中心极限定理中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它给出了在大样本条件下，随机变量的和服从正态分布的性质。
在证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数这一重要工具。
本文将详细介绍特征函数的定义，性质及其在证明中心极限定理中的应用。
一、特征函数的定义及性质1. 定义特征函数指的是一个随机变量的复数函数，定义为：φ(t) =E(e^(itX))，其中X为随机变量，i为虚数单位。
特征函数是一个对随机变量的完全描述，可以唯一地确定随机变量的分布函数。
2. 性质特征函数具有以下性质：（1）φ(0) = 1，即特征函数在t=0时等于1；（2）φ(t)是连续的，且具有线性性，即对任意实数a、b，有φ(at+b) = e^(ibt)φ(t)；（3）若随机变量X和Y相互独立，则它们的特征函数之积等于它们的和的特征函数之积，即φX+Y(t) = φX(t)φY(t)。
二、特征函数在证明中心极限定理中的应用中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的和Sn = X1 + X2 + ... + Xn在n很大时，服从正态分布。
证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数。
设X1，X2，...，Xn为独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，则它们的和Sn的特征函数为：φS(t) =φX1(t)φX2(t)...φXn(t) = [φ(t)]^n，其中φ(t)为每个随机变量的特征函数。
将特征函数经过复数域上的变换可以得到一个新的特征函数：φ((t-nμ)/σ√n)，即将Sn与其期望nμ和标准差σ√n标准化。
这个函数在n很大时趋近于e^(-t^2/2)，也就是标准正态分布的特征函数。
因此，Sn在n很大时近似于正态分布，其期望为μn，方差为σ^2n。
三、总结特征函数是描述随机变量的重要工具，它唯一地确定了随机变量的分布函数。
在证明中心极限定理中，我们将随机变量的特征函数相乘后通过变换得到新的特征函数，并以此证明了Sn在n很大时服从正态分布的性质。
概率分布的特征函数
概率分布的特征函数概率分布的特征函数（characteristic function）是一个重要的数学工具，它在概率论和统计学中被广泛应用。
概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为概率分布的随机变量的期望值的指数函数的复合函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨概率分布的特征函数的各种特性和应用。
一、定义和性质概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为：$$\varphi_X(t) = E(e^{itX}),\quad t\in \mathbb{R},$$其中$X$是一个随机变量，$i$是虚数单位，$t$也是一个实数。
注意到上式中的$e^{itX}$是一个复数，其模长为1，因此特征函数是一个复合函数，其在实数轴（$t\in \mathbb{R}$）上的定义域是唯一的。
接下来，我们将探讨概率分布的特征函数的若干重要性质：1.特征函数的连续性。
如果随机变量$X$有一个概率密度函数$f_X(x)$，那么$\varphi_X(t)$对于所有的$t\in \mathbb{R}$都是连续的函数。
2.特征函数的对称性。
对于任意的$t\in \mathbb{R}$，都有$\varphi_X(-t) =\overline{\varphi_X(t)}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数。
3.特征函数的独特性。
一个概率分布的特征函数唯一地决定了这个概率分布，换句话说，没有两个不同的概率分布可以具有相同的特征函数。
4.特征函数的归一性。
对于任意的$t = 0$，都有$\varphi_X(0) = E(e^{i0X}) = E(1) = 1$。
5.特征函数的反演公式。
如果特征函数$\varphi_X(t)$存在一个连续导函数$\varphi_X'(t)$，并且对于所有的$t\in \mathbb{R}$，都有$$ \lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u {\varphi_X(t+iy) - \varphi_X(t-iy) \over 2iy} e^{-ity} dy = f_X(t), $$那么随机变量$X$的概率密度函数$f_X(x)$可以表示为：其中$-\infty < x < \infty$。
(完整版)特征函数在极限理论中的应用
1. 集合列的特征函数1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作E X =⎩⎨⎧∉∈E x E x ,0,1称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。
由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有①n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim， ②n A n X ∞→lim=n n A X→∞lim ，③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}n A X 收敛，且n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。
集列{}n A 收敛性与数列{}n A X 收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，n A n X ∞→lim =1或0，x ∀，设n A n X ∞→lim =1⇔有无限个k n ，使得knA X =1，⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞→∈lim ，⇔n A n X∞→lim =1 （*1）x ∀，设n A n X ∞→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞→∉lim ，⇔nn A X →∞lim =0 （*2）由（1）（2）式，得证。
2迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。
随机变量特征函数
随机变量特征函数一、随机变量的概念及特征函数的引入随机变量是概率论中的重要概念，在概率论与数理统计领域得到广泛的应用。
一般地，我们可以把随机变量看作是一个函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数上。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
而随机变量的特征函数是描述随机变量性质的一种重要工具。
特征函数是随机变量的概率分布的一种表达方式，通过特征函数可以完整地描述随机变量的分布情况。
特征函数的定义如下：对于随机变量X，其特征函数定义为：ϕ(t)=E[e itX]其中，t是一个实数，i是虚数单位。
二、特征函数的性质特征函数具有一些重要的性质，这些性质使得特征函数成为研究随机变量分布的有力工具。
下面是特征函数的一些性质：1. 特征函数的存在性对于任意的随机变量X，其特征函数总是存在的。
2. 特征函数的连续性对于任意的t，特征函数ϕ(t)在整个实数轴上都是连续的。
3. 特征函数的唯一性对于一个随机变量X，它的特征函数是唯一确定的，即不同的随机变量具有不同的特征函数。
4. 特征函数的对称性对于任意的随机变量X，有ϕ(−t)=ϕ(t)，其中ϕ(t)表示特征函数的复共轭。
5. 泛函关系对于任意的实数a和b，有ϕ(at+b)=e itbϕ(at)。
6. 分布函数与特征函数的关系如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们的分布函数也是相同的。
三、特征函数的应用特征函数在概率论与数理统计中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 随机变量的矩生成函数对于一个随机变量X，它的k阶矩定义为E[X k]。
特征函数在研究随机变量的矩时起到了重要的作用，特别是在计算高阶矩时，通过对特征函数进行求导可以得到各阶矩的值。
2. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出当随机变量的样本数足够多时，它们的和或平均值会趋向于一个服从正态分布的随机变量。
特征函数在中心极限定理的证明中扮演了重要的角色。
3. 随机过程的特征函数随机过程是一组随机变量的集合，它可以用于描述一系列随机事件按照一定规律的变化情况。
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第 十二 次课 2学时本次课教学重点： 特征函数的定义与性质 本次课教学难点：常见分布的特征函数的计算 本次课教学内容： 第四章 特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。
第一节特征函数定义与性质 一、定义本章中1-=i定义4.1.1设ξ是定义在概率空间),,(P F Ω一个随机变量，分布函数为)(x F ，称()ξϕit Ee t =，∞<<∞-t （4.1）为ξ的特征函数。
有时也称为分布函数)(x F 的特征函数。
由定义()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰∑∞∞-∞=dxx f e p e t itx k k ita k1ϕ（4.2） 由1=itxe，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即ξ,,v r 的特征函数总存在。
由（4.2）看出，ξ..v r 的f c .是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。
作积分时有时会用到复变函数中的残数理当ξ～f （x ） 当论，但有时也可由欧拉公式ξξξt i t e it sin cos +=得()()()ξξϕξξt iE t E Ee t it sin cos +==即把求()t ϕ变成求两个实随机变量函数的期望。
注：因为对任意的，总是有界连续函数，故皆为有限数。
因此任意随机变量的特征函数总是存在的。
例1 求下列随机变量的特征函数（1）()1~==a P ξξ；（2）()kn k q P k n k P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξξ~，n k ≤≤0（3）()()λλξλξ-==e k k P P k!,~，k =0，1，…解：（1）()iat e t =ϕ （2）()()nit Pe q t +=ϕ（3）()()1-=ite e t λϕ例2 求下列随机变量的特征函数。
（1）[]1,0~U ξ；（2）()λξE ~；（3）()1,0~N ξ解：（1）()ite dx e t it itx110-==⎰ϕ（2）()()()⎰⎰⎰∞--∞+--∞===0dx e dx e dx e e t x it x it x itx λλλλλϕ为了易求出上面的积分，我们用如下结论： 对复数ib a z +=，只要0>a ，就有()rx r rzxr z r d e t zt dx ex Γ==⎰⎰∞--∞--t 1zx 0t 101，（0>r ） 故()()111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-Γ=λλλϕit it t（3）()()⎰⎰∞∞---∞∞--==dxeeee t it x t x itx 22212222121ππϕ积分()⎰∞∞---dx e it x 22是复变函数22z e-，在复平面上，沿平行于实轴的直线t y -=（或it z -=）的积分，由闭路积分理论知，此积分等于同一函数沿实轴的积分⎰∞∞--=π222dx e x故()∞<<-∞=-t et t ,22ϕ同样可得，服从()2,~σξa N 时，则其特征函数为()∞<<-∞=-t et t iat ,222σϕ二、特征函数的性质性质1 ()t ϕ在()∞∞-∈,t 上一致连续，且()()10=≤ϕϕt ，()()t t ϕϕ=-，()t ϕ表示()t ϕ 的共轭。
性质2特征函数()t ϕ具有非负定性。
到此我们已看到特征函数较分布函数具有更加优良的分析性质：一致连续，非负定性及有界性。
可以证明：若实变元复值函数()t ϕ非负定，且()10=ϕ，则()t ϕ是某随机变量的特征函数。
性质3 设)(t ϕ是ξ的特征函数，则b a +=ξη的特征函数为()()at e t ibtξηϕϕ=证明略。
例3. ()2,~σμηN ，求()t ηϕ。
记22t e -=-=σμηξ，故()()22222t t i t ti eee t σμσμηϕ--==性质4设21,ξξ的f c .分别为()()t t 21,ϕϕ，又21,ξξ相互独立，则21ξξη+=的f c .为()()()t t t 21ϕϕϕη=证：()()()()()()t t Ee Ee e Ee Ee Eet t i t i t i t i t i ti 21212121ϕϕϕξξξξξξηη=====+用归纳法可证，若n ϕϕ,,1 分别为相互独立的n v r ξξ,,,.1 的f c .为()t k ϕ，则n ξξζ++= 1的f c .为()()∏==nk k t t 1ϕϕζ该性质之逆不真。
三、特征函数与矩的关系性质5设ξ..v r 的n 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ的k 阶导数)()(t k ϕ存在，且对任意n k ≤，有()()k k k E i ξϕ=0即()()kk kiE 0ϕξ=证：k xi k k itx k k x e x i e dt d ==+，而()⎰∞∞-∞<dx x P x k ，对n k ≤∴ ()()()dx x P e dtd itx kkk ⎰∞∞-=0ϕ0=t=⎰∞∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛itx kk e dt d ()dx x P t 0=()kk k k i dx x P x i ξE ==⎰∞∞- 性质5说明，可利用v r .的f c .的各阶微分来计算，v r .的各阶矩，这显然比用分布密度的积分来求矩阵方便得多。
例4 ()2,~σμξN ，求ξξD E ,解：已知()222t t i et σμξϕ-= ∴()()22212t t i et i t σμσμϕ--='()()[]2221222t t i et i t σμσσμϕ---=''得()μϕi ='0，()()220μσϕ+-=''∴()μϕξiE 0'=，()22220μσϕξ+=''=i E ，2σξ=D作业布置： P290 T1，2，3第 十三 次课 2学时本次课教学重点：反演公式及唯一定理内容的理解 本次课教学难点：反演公式及唯一定理的证明 本次课教学内容：第一节 一维特征函数的定义及其性质 四、反演公式及唯一定理由特征函数的定义看出，随机变量的特征函数由其分布函数完全确定，反之也能证明分布函数可由其特征函数完全确定。
即f d .与f c .是一一对应的，由f c .求f d .的式子叫“逆转公式”。
定理4.2.1(反演公式)设随机变量ξ的分布函数和特征函数分别为)(x F 和()t ϕ，对于)(x F 得任意连续点1x 和2x （∞<<<∞-21x x ），有 dt t ite e x F x F TTitx itx T )(21lim)()(2121ϕπ⎰---∞→-=- （4.2.1） 令02,22121>-=+=x x h x x a ，则（4.2.1）可改为 dt t e tth h a F h a F TT itaT )(sin 1lim)()(ϕπ⎰--∞→=--+推论1（唯一性定理）任意一个随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。
由上可知()x F ξ ()x ξϕ，因而f c .也可用来描述随机变量的统计规律。
推理2 若随机变量ξ的特征函数()t ϕ于R 上绝对可积，则ξ为具有密度函数)(x f 的连续型随机变量，且⎰∞∞--=dt t e x f itx )(21)(ϕπ对取值整数的随机变量，有类似结论定理4.2.2 设ξ为取整数值及0的随机变量，其概率函数为{} ,3,2,1,0,1,2,3,---===k k P p k ξ，其特征函数为itkk kep t -∞-∞=∑=)(ϕ，则⎰--=ππϕπdt t ep itkk )(21证明略第 十四 次课 3学时本次课教学重点：相互独立的随机变量和的特征函数 本次课教学难点：多维随机变量特征函数及其性质 本次课教学内容：第二节 多维随机变量的特征函数 一、定义及例定义4.4.1设是()21,ξξ二维随机变量，其分布函数为),(21x x F ，21,t t 为任意实数，记⎰⎰∞∞-∞∞-++==),(][),(21)()(2122112211x x dF eeE t t x t x t i t t i ξξϕ),(21t t ϕ称为()21,ξξ的特征函数。
当()21,ξξ为离散型变量时：∑∑+=rst t i s r p et t ),(),()(212211ξξϕ，其中{},),(2211s r x x P s r p ===ξξ 当()21,ξξ为连续型变量时2121)(21),(),(2211dx dx x x f et t x t x t i ⎰⎰∞∞-∞∞-+=ϕ例1 设二维随机变量()21,ξξ的分布列为{}{}{}{}611,1,611,1,311,1,311,121212121=-=-===-==-=====ξξξξξξξξP P P P 计算()21,ξξ的特征函数 解：)sin cos 3(cos 3161613131),(112)()()()(2121212121t i t t e e e e t t t t i t t i t t i t t i +=+++=--+--+ϕ 例2二维随机变量()21,ξξ服从二维正态分布，它的密度函数为则它的特征函数为)2(21)(212222212121212211),(t t t t t t i eet t σρσσσμμϕ++-+=。
特别当1,02121====σσμμ时)2(2121222121),(t t t t et t ++-=ρϕ二、二维随机变量特征函数的性质2112221)[()1(21exp{121),(σμρρσπσ----=x y x f ]})())((22222211σμσμσμρ-+---y y x性质1随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则()()()()()()()()2211212121212121,00,4,)3;,,)2;1)0,0(,,,1)0,0()1t t t t t t t t t t t t R t t ξξϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===--=≤∈=；）于实平面上一致连续；且对于任意例3：如例2中，得222222221211112121)t ,0()(,)0,()(t it t it et e t t σμξσμξϕϕϕϕ--====由唯一性定理得，)(),(21t t ξξϕϕ分别为正态分布),(211σμN 及),(222σμN 的特征函数，又一次证明了二维正态分布的边缘分布也是正态分布的结论性质2：设2121,,,b b a a 皆为常数，二维随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则随机变量),(222111b a b a ++ξξ的特征函数为),(2211)(2211t a t a eb t b t i ϕ+性质 3 两个二元分布函数),(),,(211211x x F x x F 恒等的充分必要条件是他们对应的特征函数),(211t t ϕ和),(212t t ϕ恒等性质4 随机变量1ξ与2ξ相互独立的充分必要条件为()21,ξξ的特征函数)()(),(212121t t t t ξξϕϕϕ⋅=性质5 设随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，b a a ,,21为任意常数，则b a a ++=2211ξξη的特征函数为()),(21t a t a e t itb ϕϕη=特别（1）1ξ与2ξ相互独立时，有())()(2121t a t a et itbξξηϕϕϕ⋅=（2）对于0,121===b a a ，则21ξξη+=的特征函数()),(t t t ϕϕη= 定理4.2.2 设()21,ξξ为二维随机变量，()2121,k kE ξξ存在，则其特征函数),(21t t ϕ的偏导数21212121)(),(k k k k t t t t ∂∂∂+ϕ存在且()2121,k k E ξξ=02121)()(21212121),(==++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂t t k k k k k k t t t t iϕ第三节 相互独立的随机变量和的特征函数定理4.3.1设n ξξξ ,,21为n 个独立随机变量，令∑==ni i1ξη，则∏==ni t t i1)()(ξηϕϕ例1 设n ξξξ ,,21为n 个独立且同为服从两点分布的随机变量，求∑==ni i1ξη的特征函数。