二次函数与相似三角形综合

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题
二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：
例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x
x 41
y 2+-=）
（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB
相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,△AOB ＝△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB ＝△BOA ＝△BPO
设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)
△直线OP 的解析式为x
21y -= 由
x x 41
x 212+-=-
,
得6x ,0x 21==
.△P(6,－3)
过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, △PB ＝13≠4.
△PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似.
例1题图 图1 O A
B
y
x
O A B y x 图2 E A'
O
A
B
P
y
x
图2
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例题2：如图所示，已知抛物线
2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP△CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2
10x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
△ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-
（2）△OA=OB=OC=1 △∠BAC=∠ACO=∠BCO=45 △AP△CB ， △∠PAB=45
过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则∆APE 为等腰直角三角形 令OE=a ，则PE=1a + △P (,1)a a +
△点P 在抛物线
2
1y x =-上 △211a a +=- 解得
12
a =，
21
a =-（不合题意，舍去）
△PE=3
△四边形ACBP 的面积S =12AB•OC+12AB•PE=11
21234
22⨯⨯+⨯⨯=
(3)． 假设存在
△∠PAB=∠BAC =45 △PA ⊥AC
△MG ⊥x 轴于点G ， △∠MGA=∠PAC =90 在Rt△AOC 中，OA=OC=1 △AC=2 在Rt△PAE 中，AE=PE=3 △AP= 32
设M 点的横坐标为m ，则M
2
(,1)m m - △点M 在y 轴左侧时，则1m <-
C
B
A
P
y
G
M 图2
C
B
y
P
A
(△) 当∆AMG ∽∆PCA 时，有AG PA =MG
CA △AG=1m --，MG=2
1m -即
211
322m m ---= 解得11
m =-（舍去）
22
3m =
（舍去）
(△) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MG
PA
即
2
11
232m m ---=解得：1m =-（舍去） 22m =- △M (2,3)-
△ 点M 在y 轴右侧时，则1m >
(△) 当∆AMG ∽∆PCA 时有AG PA =MG CA
△AG=1m +，MG=2
1m -
△ 211322m m +-= 解得11m =-（舍去）
243m = △M 47(,)39
(△) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MG
PA 即
211
232m m +-= 解得：
11
m =-（舍去）
24
m =
△M (4,15)
△存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似
M 点的坐标为(2,3)-，47
(,)
39，(4,15)
G
M
图3
C
B
y
P A
练习：如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，求出点Q点的坐标．
【随堂练】 ：_______班级：_________ 1．已知抛物线m x m x y 3)2(2--+-=的顶点在y 轴上，那么m
的值等于 ． 2.如图，已知二次函数y=42
3
412++-
x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．
(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ； (2) 线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 与△AOC 相似?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
3.抛物线
2
y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C (1,4)，
（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；（2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标； （3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.
C
x
y
o
A 1
1-4
B。