第2章 矩阵和数组及其运算

2.3 矩阵的运算

矩阵运算是MATLAB的核心，从运算的角度来看， 数组和矩阵代表完全不同的两种变量，数组运算 是针对数组元素之间进行运算；矩阵运算是从矩 阵的整体出发，是按照线性代数法则进行运算。


2.3.1 矩阵的加法和减法
同阶（行、列数分别相等）的两个矩阵之间可以 进行加法或减法运算，是指它们对应元素之间的 运算。 例2-3 有两个2行3列的矩阵A=[1,2,3;4,5,6]和 B=[7,8,9;10,11,12]，试进行加法和减法运算。 A=[1,2,3;4,5,6],B=[7,8,9;10,11,12]




3、函数find(c)查找符合条件的矩阵元素的行和列 函数find(c)的使用格式：[row,col] = find(c) 其中，c一般为逻辑表达式；row返回满足条件的元 素的行号，col返回满足条件的元素的列号。 例2-1 查找矩阵a=[12 34 26 17 21;61 50 89 12 08;25 62 91 23 47]中大于等于20、小于等于60的 矩阵元素。 a=[12 34 26 17 21;61 50 89 12 08;25 62 91 23 47] [r,c]=find(a>=20 & a<=60);、 b=find(a>=20 & a<=60); disp ('符合条件的矩阵元素的行号和列号： '),[r,c] disp (' 符合条件的矩阵元素的序号：'),b'


2.3.3 矩阵的求逆
根据线性代数理论，矩阵可逆的充分与必要条件 是矩阵的行列式不为零。求矩阵的逆矩阵，可以 使用函数inv()来实现。例如 >> H=[2,1,2;1,2,1;3,2,1] H = 2 1 2 1 2 1 3 2 1 >> nh=inv(H) % 计算方阵H的逆矩阵 nh = -0.0000 -0.5000 0.5000 -0.3333 0.6667 0 0.6667 0.1667 -0.5000
2.2 矩阵元素和子矩阵的提取


2.2.1 矩阵元素的提取
1、通过下标提取矩阵元素 A(i,j)表示A矩阵第i 行第j列的元素。例如，提 取A矩阵第3行第3列元素A(3,1) >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9],A(3,1) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ans = 7










2、矩阵的旋转 使用函数rot90(A,K)可以将A矩阵逆时针方向旋转 90°的K倍，K=1时可以省略。例如 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B=rot90(A) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B = 3 6 9 2 5 8 1 4 7



2.3.4 向量的模和矩阵行列式的值
1、向量的模 一个n维向量的模表示为
X

x
i 1
n
2 i
x x
2 1 2 2
x
2 n

使用MATLAB中的函数norm(X)可以计算维向量的模。 例如 >> X=[12 23 41 96 82 34 87]; norm(X) ans = 164.3746







3、矩阵的翻转 使用函数flipud(A) 可以将A矩阵上下翻转，即第1 行与最后1行调换，第2行与倒数第2行调换，以此 类推。例如 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12] B=flipud(A) 运算结果： A = B = 1 2 3 10 11 12 4 5 6 7 8 9 7 8 9 4 5 6 10 11 12 1 2 3








2、通过元素序号提取矩阵元素 在MATLAB中，矩阵元素按列存储，首先是第1列， 其次是第2列，以此类推，一直到矩阵的最后1列 元素。例如，通过元素序号提取A矩阵第6个元素 >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12] A(6) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ans = 10 可见，矩阵元素序号与它的存储顺序是一一对应
矩阵乘（*）是指两个内维相同（前矩阵的列数与 后矩阵行数相等，称为两个矩阵的维数相容）的 矩阵进行乘法运算。 例2-4 有一个2行3列的矩阵A=[1,2,3;4,5,6]和一 个3行4列的矩阵 B=[7,8,9,10;11,12,13,14;15,16,17,18]，试对 它们进行乘法运算。 A=[1,2,3;4,5,6] B=[7,8,9,10;11,12,13,14;15,16,17,18] C=A*B



运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 B = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C = 74 80 86 92 173 188 203 218 可见，矩阵A和B相乘法到的的矩阵C，其行数等于 矩阵A行数（2行），其列数等于矩阵B列数（4列）



运算结果： a = 12 34 26 17 21 61 50 89 12 8 25 62 91 23 47 符合条件的矩阵元素的行号和列号： ans = 3 1 1 2 2 2 1 3 3 4 1 5 3 5 符合条件的矩阵元素的序号： ans = 3 4 5 7 12 13 15
5 9
A4 = 3 7 11 A5 = 6 10
6 10
4 8 12 7 11
% 第2行所有列的元素 7 8 % 第2～3行所有列的元素 7 8 11 12 % 第1～3行、第3～4列的元素
% 第2～3行、第2～4列的元素 8 12



说明：可以利用end运算符表示矩阵的下标。例如， 对于上述A矩阵，提取最后1行所有列的元素 >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20] A6=A(end,:) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A6 = 17 18 19 20




2、矩阵行列式的值 如果某个矩阵是一个方阵（行数与列数相同）， 可以使用函数det()来计算矩阵行列式的值。例如 >> H=[2,1,2;1,2,1;3,2,1] det(H) 运算结果： H= 2 1 2 1 2 1 3 2 1 ans = -6


2.3.5 矩阵的除法 如果A和B是維数相同的两个方阵，而且B是 1 可逆方阵，則它的逆矩阵 B 是另一个同 維和 AB 一般而言並不相等。因此MATLAB 提供两种除法（左除运算符号“\”和右除 运算符号“/”）。凡是按矩阵規則可以和 1 逆矩阵 相乘的矩阵（两个矩阵的内 B 维相同），都可以根据左乘或右乘而做除 “\”或除以“/”的计算。





3、利用函数来建立某些特定矩阵 ⑴函数zeros(m，n)可以创建m 行n列各个元素全 为零的零矩阵。例如 >> zeros(2,3) ans = 0 0 0 0 0 0 ⑵函数ones(m，n)可以创建m 行n列各个元素全为 1的幺矩阵。例如 >> ones(3,2) ans = 1 1 1 1 1 1






1、直接输入法 ⑴矩阵可在方括号“[ ]”中以直接列出元素的方 式建立，列元素之间用空格或逗号“,”隔开，行 与行之间用分号“;”或回车键隔开。 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] >> A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] 以上3种方式建立矩阵A的显示结果是： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9


2.2.2 子矩阵的提取
利用冒号表达式提取子矩阵的方法： 1、A(:,j)表示A矩阵第j列的全部元素；A(i,:)表 示A矩阵第i行的全部元素。 2、A(i:i+m,:)表示A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m)表示A矩阵第k～k+m列的全部元素； A(i:i+m,k:k+m)表示A矩阵第i～i+m行内、并且 是第k～k+m列中的全部元素。 例2-2 已知5行4列矩阵A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20]，提取子矩阵 A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20] A1=A(:,3),A2=A(2,:),A3=A(2:3,:) A4=A(1:3,3:4),A5=A(2:3,2:4)



C=A+B D=A-B 运算结果： A = 1 2 4 5 B = 7 8 10 11 C = 8 10 14 16 D = -6 -6 -6 -6
% 矩阵C存储A+B的数据 % 矩阵D存储A-B的数据 3 6 9 12 12 18 -6 -6


2.3.2 矩阵的乘法





1、矩阵的左除（运算符号“\”） 1 1 在矩阵A的左边乘 B ，即 B A ，称为矩阵B 除矩阵A，运算符号是B\A。如果矩阵A是一个非奇 异方阵，矩阵的左除A\B等于矩阵A的逆与B的左乘 inv(A) B。应当指出： ⑴如果矩阵A是一个方阵，表示矩阵方程AX=B的解 是X=A\B，或X=inv(A)B，这里的X具有与矩阵B相 同的维数。 ⑵如果矩阵B是一个列向量b时，则X=A\B是线性系 统AX=b的解。 ⑶如果矩阵A是一个m×n矩阵（m>n），X=A\B得到 矩阵方程AX =B的最小二乘解inv(A)B。