复数级数及收敛的概念
ch4_05复变函数的级数(1)
n0
zn
1 2
n0
1 2n
z n
(1
n0
1 )zn. 2n1
y 1
x O1
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(2) 在圆环1<|z|<2内, |1/z|<1, |z/2|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 2 1 z / 2 z 11/ z
| z z0|<R时,
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
,
且展开式是唯一的.
(2) 解析函数的泰勒展开式
上述定理中的
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒展式.
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒级数.
(2) | zn | 收敛 zn收敛,此时称 zn为绝对收敛。
n1
n1
n1
二. 复函数项级数的基本概念
1. 设u1(z), u2(z), …, un(z), …是定义在区域D 上的复变函数序列, 则称
un (z) = u1(z) + u2(z) + …+ un(z) + …
n 1
为定义在区域D上的复函数项级数.
(1)n1(n 3n1
1)
(z
1)n
| z 1| 3
展开式的系数都是实数，为什么？
六 Laurent级数
1. 双边无穷级数
复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复数项级数
利用极限
lim
n
sn
s.
7
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2 zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
8
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
1.
n
所以 R 1 1.
42
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
说明:
如果
0
R R0
(与比值法相同)
43
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
说明 由
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
17
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
18
三、典型例题
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
n0
由收敛的必要条件,
有
lim
n
cn
z0n
0
因而存在正数M, 使对所有的n, 有 cnz0n M ,
复数项级数与幂级数
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
复数列的极限 级数的概念
bn
b.
“”
已
知 lim n
an
a
,
lim
n
bn
b
即，
0, N
0,
n
N ,恒有an
a
2
，bn
b
2
又n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列：{n } {an ibn }(n 1,2, , n),
j1 2 j
3i(1
1 2n
),
又
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
复变函数 复数项级数和序列
幂级数的形式
∑ c (z − z )
n =0 n 0
∞
n
= c0 + c1 ( z − z0 ) + c2 ( z − z0 ) +
2
作变量替换 w=z-z0，只需讨论幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
= c0 + c1 z + c2 z +
2
Abel定理： 若幂级数
∑c z
n =0 ∞ n
∞
n
在点 z0≠0 收敛，则它在
∑a z
n
n
=
n
f 在|z|<R可积， f ( z ) dz =
C
∫
∑∫
n =0
C
an z dz
习题：
P 87-88
T 2（1，2） T 4（1，3） T 7（1，3，6）
n →∞
性质2 Cauchy收敛准则 znöz0ñ任意ε
> 0，存在N，使得m，n>N时，
| zm − zn |< ε
对于复数列{zn}={z1，z2，…，zn，…}，称
∑z
n =1
∞
n
= z1 + z2 +
+ zn +
为复数项级数。 部分和记为 S n =
∑z
k =1
n
k
= z1 + z2 +
+ zn
复数列即有序的复数集 {zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
lim | zn − z0 |= 0
n →∞
记作
lim zn = z0
n →∞
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二） 复数的运算1。
加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。
乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。
乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。