上海第三女子初级中学数学圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

上海第三女子初级中学数学圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD

的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．

（1）分别求点E 、C 的坐标；

（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333

y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】

试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；

（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么

∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.

试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3

cot60232EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．

在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．

（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得

()()30103a =++，

∴3

3

a =． ∴()()3

13y x x =

++，即 2343333

y x x =

++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，

∴MED B ∠=∠．

∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．

∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．

2．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；

（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．

【答案】（1）CE ＝2；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610

r r

-= 解得即可；

（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，

GB GE

AB AC

=，即12108

GE =，解得即可.

【详解】

解：（1）如图①，连接OE，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∵AC＝8，⊙O的半径为2，

∴OC＝6，OE＝2，

∴CE＝2242

OC OE

-=；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC22

AB A C

-＝6，

∵AF＝BF，

∴AF＝CF＝BF，

∴∠ACF＝∠CAF，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴△OEC∽△BCA，

∴OE OC

BC BA

=，即

8

610

r r

-

=

解得r＝3，

∴⊙O的半径为3；

（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，

由对称性可知，CB＝CG，

∵CE＝CG，

∴∠EGC＝∠GEC，

∵CE切⊙O于E，

∴∠GEC+∠OEG＝90°，

∵∠EGC+∠GMC＝90°，

∴∠OEG＝∠GMC，

∵∠GMC＝∠OME，

∴∠OEG＝∠OME，

∴OM＝OE，

∴点M和点D重合，

∴G、D、E三点在同一直线上，

连接AE、BE，

∵AD是直径，

∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，

又CE＝CB＝CG，

∴∠BEG＝90°，

∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，

∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，

∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，

∴GB GE

AB AC

=，即

12

108

GE

=

∴GE＝9.6，

故G、E两点之间的距离为9.6．

【点睛】

本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关

3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴

的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（?4，0）处．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）

1

3

2

y x

=-+（2）d=5t （3）故当 t=

8

5

，或8

15

，时，QR=EF，N（-

6，6）或（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-

a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；

（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;

试题解析：

（1）∵C（0，8），D（-4，0），

∴OC=8，OD=4，

设OB=a，则BC=8-a，

由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

则（8-a）2=a2+42，

解得：a=3，

则OB=3，

则B（0，3），

tan∠ODB=

3

4 OB

OD

=，

在Rt

△AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=3

4

OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），

设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，

则60{3

k b b +== ，解得：1

{23

k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-1

2

x +3； （2）如图所示：

在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则2

2

135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠=

= ，255OA

cos BAO AB

∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=?=，

则AQ=

10cos AP

t BAO =∠ ,

∵PR ∥AC ，

∴∠APR=∠CAB ，

由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，

∴QR=

1

2 AQ=5t, 即d=5t;

（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，

∴四边形NTOS 是正方形，

则TQ=TR=

1522QR t = ， ∴111515

1022224

NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）

（） ， 分两种情况，

若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），

点N 在直线1

32

y x =-+ 上， 则1

32

n n -=-

+ ， 解得：n=-6，

故N （-6，6），NT=6， 即

15

64

t = ， 解得：85t =

; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：1

32

n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，

即

15

24

t =, 解得：t=8

15

∴当 t =85，或8

15

，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．

（1）求∠ADB的度数；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO 于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．

【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62

【解析】

【分析】

（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，

∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，

S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设

BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．

【详解】

解：（1）如图1，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：

如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

又∠ABC＝90°，

∴α+β＝45°，

过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，

∴∠FCN＝90°．

∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），

∴EF＝FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，

∴EA2+CF2＝EF2；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，

∴1

2

EA2+

1

2

CF2＝

1

2

EF2，

∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，

∴1

2

S△ABC＝

1

2

S矩形BGKH，

∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，

∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，

∴S△BMH：S△BGM＝8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG ：BH ＝9：8， 设BG ＝9k ，BH ＝8k ， ∴CH ＝3+k ， ∵AG ＝3， ∴AE ＝32，

∴CF ＝2（k+3），EF ＝2（8k ﹣3）， ∵EA 2+CF 2＝EF 2，

∴222(32)[2(3)][2(83)]k k ++=-， 整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0， 解得：k 1＝﹣1

7

（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12， ∴AO ＝

2

2

AB ＝62， ∴⊙O 的半径为62． 【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．

5．已知：ABC 内接于

O ，过点B 作O 的切线，交CA 的延长线于点D ，连接

OB ．

（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；

（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，

BM AM AD =+，求证：BN CN =；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为

O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点

P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连

接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=?，tan 2ECF ∠=，1

2

ON OQ =，610PQ OQ +=，求CF 的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF 【解析】 【分析】 （1）延长BO 交

O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后

根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；

（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；

（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据

610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．

【详解】

解：（1）延长BO 交

O 于G ，连接CG

∵BD 是

O 的切线

∴∠OBD=90° ∴∠DBC ＋∠CBG=90° ∵BG 为直径 ∴∠BCG=90° ∴∠CBG ＋∠G=90° ∴∠DBC=∠G ∵四边形ABGC 为O 的内接四边形

∴∠DAB=∠G

∴∠DAB=∠DBC

（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH

∴DM 垂直平分AH ∴DH=AD ∴∠DHA=∠DAH ∵BM

AM AD =+，=+BM MH BH

∴AD=BH ∴DH=BH ∴∠HDB=∠HBD

∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD 由（1）知∠DAB=∠DBC ∴∠DHA=∠DAB=∠DBC ∴∠DBC =2∠HBD ∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC ∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC ∴∠DAB=2∠ABC ∵∠DAB=∠ABC ＋∠C ∴∠ABC=∠C ∴AB=AC

∴点A 在BC 的垂直平分线上 ∵点O 也在BC 的垂直平分线上 ∴AO 垂直平分BC ∴BN CN =

（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，

∵90DCF CDB ∠+∠=? ∴∠DMC=90° ∵∠OBD=90° ∴∠DMC=∠OBD ∴CF ∥OB

∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ， ∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2 由（2）知OA 垂直平分BC ∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN ∴△CFN ≌△BON

∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵

1

2

ON OQ = ∴OQ=2a ∵CF ∥OB ∴△QGO ∽△QCF

∴=OG QO

CF QF

即

21

22==++OG a r a a a ∴OG=12

r

过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′ ∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE ∴点E ′与点E 重合 ∴∠EOG=90° ∴∠BOE=90°

∵PB 和PE 是圆O 的切线

∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r ∴四边形OBPE 为正方形

∴∠BOE=90°，PE=OB=r

∴∠BCE=1

2

∠BOE==45

°

∴△NQC为等腰直角三角形

∴NC=NQ=3a，

∴BC=2NC=6a

在Rt△CFN中，CF=2210

+=

NC FN a

∵PQ OQ

⊥

∴PQ∥BC

∴∠PQE=∠BCG

∵PE∥BG

∴∠PEQ=∠BGC

∴△PQE∽△BCG

∴=

PQ PE

BC BG

即1

2

6

=

+

PQ r

r

a r

解得：PQ=4a

∵610

PQ OQ

+=，

∴4a＋2a=610

解得：a=10

∴CF=1010

?=10

【点睛】

此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．

6．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE

=，BE与CD交于点F．

（1）如图1，求证：BH ＝FH ；

（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】

（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明

Rt CGQ Rt CBS ???，CBE CGE ???即可得解；

（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明

()CMG CNG AAS ???，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.

【详解】

解：（1）如下图，连接AE

∵AB 为直径 ∴90AEB =?∠

∵

AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=? 又∵CD AB ⊥于H

∴45HFB ∠=? ∴HF HB =；

（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、

AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=? ∴GCQ BCS ∠=∠

∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ??? ∴CG CB =

同理()CBE CGE SAS ??? ∴EG EB =；

（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN

设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =

∴45HBF HFB ∠=∠=? ∵GF BE ⊥

∴45NFH NH BH CN BC ∠=?∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=

902AEG α∠=?-

∴45EAG EGA α∠=∠=?+ ∴45M MGC α∠=∠=?+ ∴()CMG CNG AAS ??? ∵CMG ?面积为6 ∴6CAN

GAN

S

S

-=

设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，， 则()CGT BCH AAS ??? ∴C BH x ==

∴6AN CH AN TH ?-?= ∴

1

(22)62

x CT +?= 解得：2x = ∵2BC BH BA =?

∴2210BC =?，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝ 【点睛】

本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.

7．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一

动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1

3

，试探究四边形

ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是

81313

+

，最小值是81313

-

．

【解析】

【分析】

（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；

（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】

解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．

理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，

由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '， ∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '， 又∵CQ ＝CQ '，

∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，11

22

ABC S AC BC AB CP ?=

?=?， ∴68

4.810

AC BC CP AB ??=

==， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2， ∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．

当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2． （3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ． ∵∠EAF ＝90°，1

tan 3

AEF ∠=， ∴

1

3

AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ， ∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9， ∴31

93AG AD ==， ∴

D

AF AE AG

A = ∵∠BAD ＝∠

B ＝∠EAF ＝90°， ∴∠FAG ＝∠EAD ， ∴△FAG ～△EAD ， ∴

1

3

FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3， ∴FG ＝1，

∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，

连接AC ，则△ACD 的面积＝6

92722

CD AD ?

=?=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，

①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值， 在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=

==

在Rt △ACH 中，313913

sin 3GH AG BAC =?∠==

∴11913

1F H GH GF =-=

-， ∴△ACF 面积有最小值是：

11191327313

313(1)22AC F H -?=?-=

； ∴四边形ADCF 面积最小值是：2731381313

2722

--+

=

； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形， ∴GH ＝MN ，

在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°， ∴PG ＞PN ， 又∵F 2G ＝PG ，

∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ， ∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高， ∴面积有最大值， ∵22913

1F H GH GF =+=

+， ∴△ACF 面积有最大值是

21191327313

313(1)22AC F H +?=?+=

； ∴四边形ADCF 面积最大值是2731381313

2722

+++

=

综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313

2

+，最小值是813132-．

【点睛】

本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

8．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，30CAB ∠=?，10AB =，点D 在线段AB 上，

2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时

停止运动，设DP m =．

（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示） （2）当m 为何值时，

O 与ABC ?的一边相切？

（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作

O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP

绕点E 顺时针旋转60?得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．

①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；

②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号） 【答案】（1）22

m

AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①

112115

3762【解析】 【分析】

（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22

DP

AO =+

，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.

（2）O 与ABC ?的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的

解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ?中根据三角函数可得