高等流体力学第2讲
高等流体力学：02-第2讲-高等流体力学基础
z y x z
y x
而右边相乘的结果仍为一微分算子，可对其它函数作微分运算
F
Fx
x
Fy
y
Fz
z
F
(Fy
z
Fz
)i y
(Fz
x
Fx
) z
j
(Fx
y
Fy
)k x
(u) 0
1.2 雷诺输运定理
欧拉法需要对控制体进行分析，而拉格朗日法需要对系统或流体微粒进行分析。但质量 守恒、动量守恒和能量守恒等物理定律是直接应用于系统的。所以我们将物理定律从系统转
Sxy Syy S zy
Sxz Syz S zz
x 1( 2 1(
v x u
u ) y w )
2 z x
1 (v u ) 2 x y
v y 1 (w v ) 2 y z
1 2
( u z
wx )
1 2
(
w y
v z
)
.
w
z
(1-4-4)
由此可以把流场中任何邻近两点速度的变化关系用微团基本运动的组合来表达。
(1-3-1)
或写为
D
Dt
V (t)
dD
V (t)
t
(u)dV
0.
(1-3-2)
dV u nˆdA，
V (t) t
A(t )
(1-3-3)
为积分形式的欧拉型连续性方程。式中 u nˆ dA 为通过微团控制体表面积的物质通量。
A(t )
由于 V(t)是任取的，因此得，
(u) 0 ，
1.3.2 任意物理量的输运
若把 (Q) 看作某一物理量， Q 是单位质量流体的某种动力学物理量，有
流体力学 第二章 水静力学 (2)
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
高等流体力学笔记第2讲
第二章 流体运动学§2.1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法（Lagrange methord ）从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。
也叫质点系法。
在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）式中x,y,z 为流体质点的轨迹座标值。
a,b,c 称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c 的值不同t 为时间变量。
式（2—1），当a,b,c 为一组常数时t 为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t 运动的运动轨迹座标值轨迹线。
当t 为固定值，a,b,c 为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。
流体质点的轨迹也可用向径表示：),,,(t c b a r k z j y i x r =++= 对于某个确定的流体质点，其速度向量V 可用向径随时间的变化率表示：dt dF V =对于不同质点的流体质点，a,b,c 为变数所以速度向量应表示为r 对时间的偏导数形式：),,,(t c b a V tr V =∂∂= 在直角正交坐标系中速度向量的表达为：k w j v i u V ++=其中 t x u ∂∂=，t y v ∂∂=，tz w ∂∂= 质点的加速度：),,,(22t c b a a tF t V a =∂∂=∂∂= k a j a i a a z y x ++=22t x t u a x ∂∂=∂∂=,22t y t v a y ∂∂=∂∂=,22t z t w a z ∂∂=∂∂= 同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：密度：),,,(t c b a ρρ=压力：),,,(t c b a p p =温度：),,,(t c b a T T =一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：),,,(t c b a B B =B 可以是标量，如T p ,,ρ,也可以是矢量如a V r ,,可统一称为流体质点的物理量。
高等计算流体力学讲义(2)
高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。
其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。
所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。
在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。
Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。
下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。
1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。
T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。
守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。
如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。
即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。
多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。
守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。
高等流体力学课件 高等流体力学(2)
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
ijk ek
a j xi
kijek
a j xi
ijkei
ak x j
旋度
a
ei
xi
(a jej ) ei
ej
a j xi
ijkek
a j xi
ijkei
ak x j
e1 123
a3 x2
132
a2 x3
e2
231
a1 x3
213
25
二阶反对称张量A
反偶矢量
0 a12 a31 0 3 2
A
aij
a12
0
a23
3
0
1
a31 a23 0 2 1 0
式中：aij＝- ijk k
ijl aij＝-ijl ijk k 2 lk k 2k
k
1 2
ijl
aij
A b b
26
（2）笛卡尔张量
张量的微分运算
x2
s x1
0
梯度场是无旋场
8
（1）指标表示法和符号约定
(
a)
ei
xi
jlm
am xl
ej
ij ,lmn 求导时当作常数对待。
jlm ij
xi
am xl
mjl
x j
am xl
123
x2
a1 x3
132
x3
a1 x2
231
x3
心态决定选择，选择决定人生 让激情成为你成功的动力
独立思考—真正科学家的标志
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
高等流体力学第2讲
第二讲 流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。
作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即0lim n A A∆→∆=∆Pp （2-1）式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。
p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。
因此，有(,,)n n M t =p p n需要特别指出，○1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向的分量p n τ。
只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有n n A A -∆=-∆p p可得p n =-p -n （2-2）n －或简写为x y z n n n =++n i j k （2-3）设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z表示为x x y y zz S Sn S Sn S Sn∆=∆⎧⎪∆=∆⎨⎪∆=∆⎩ （2-4）四面体的体积可表示为13V Sh ∆=∆式中h 为M 点到ΔABC 的距离。
根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为0x x y y z z n S S S S V ---∆+∆+∆+∆+∆=p p p p f当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得0x x y y z z n S S S S ---∆+∆+∆+∆=p p p p再考虑式（2-2）和（2-4）可得n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5）上式在直角坐标系中的投影可表示为nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++上式也可以用矩阵形式表示为xxxy xz nxnynz xyz yxyy yz zx zyzz p p p p p p =n n n p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-7） 也可以表示为n =⋅p n P式中 P =xxxy xz yxyy yz zx zyzz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-8）称为应力张量。
流体力学_lecture2_前言_流体性质(1次课)详解
E
1
p
lim (
V 0
p V
/V
) V
lim
V 0
p V
V
dp dV
20
§1-2 前言
1 流体的性质
• 压缩系数及弹性模量的密度表达方式
– 质量守恒
V C
– 微分
dV Vd 0
P
d dp
1
dV Vd
E dp d
dV d
V
E 的单位：bar或Pa，与压强的单位相同
物理意义：相对变化率；E大p小不易压缩；
l 原油的动力粘度 0.021Pa s
轻油的动力粘度 0.0021Pa s
18
§1-2 前言
1 流体的性质
• 粘性
– 流体粘性的应用 是一切动力装置中不可缺少的
润滑——机床导轨 空气轴承——牙钻（20万转） 水润滑——冰块在冰上滑行 油轴承 汽轮机滑动轴承
铁路车辆滑动轴承 汽车轮胎的沟纹
三种温度的换算
Air
28.96 287
摄氏温度 t ，C
CO2 CO
44.01 188.9 28.01 296.5 开氏温度 T=273+t ，K
H2
2.016 4124 华氏温度 F=t9/5+32 ，F
O2
32.00 259.8
22
§1-2 前言
1 流体的性质
气体的弹性模量或体积压缩系数
等温压缩过程:T=c
上盘下表面切应力为 r
B点微元摩擦面积为
dA 2rdr
流体对微元表面的摩擦力
dF dA 2
r2dr
流体对微元表面的摩擦力矩 dT dF r 2 r3dr
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I 对于时间的变化率称为系统导数
DI D Dt Dt
0
fd 0
如何将系统导数转换成适合于控制体的形式？
A01
A02 A01
A02
0 (t t)
在 t 时刻取系统体积0 ，
0 (t)
同时以它所占的空间作为控制体 。
02
03 A A0 (t) 01
02 01
由图中可知，时间间隔 t内， 经过此微元面积流出的流体体积，
必定近似充满在以d A0为基底
而其棱边为向量
vt
的柱形体积内，
此微元体积为
(v
n)tdA0
A02
方程（1）右端的第二个积分：
f (x,t t) d0
dA0 n
02
f (x,t t)(v n)tdA0
I 01
t
f t
t t
d 0
f (x,t t)(v n)tdA0 f (x,t)(v n)tdA0
A0 1
A0 2
由系统导数的定义 DI lim I Dt t0 t
A01
A02
0 (t t)
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡面 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的曲面。
涡管 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的闭合曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的管状曲面。
在 t 时刻， = 0 ，相应的表面A = A0
0( t )内的各流体质点，经过时间 t 后，
已处在 A0 (t t) 面所包围的体积 0 (t t) 之内。
01 0 0 02 0 01 03 0 01
A01表示 01与02的交接面，A02 A0 A01 A'02表示 01与03的交接面，A01 A0 A02
的涡通量为常数，可以表征涡管内旋涡的强弱，
称之为涡管强度。
速度环量 ---- 速度沿封闭曲线的积分。
其方向的正负按右手法则确定。
在流场中，涡量是位置和时间的函数
(x, y, z,t)
如同流速场描述流体质点的运动情况， 涡量场则描述流体微团的旋转情况。
涡线 ---- 在同一时刻，该曲线上任一点的切线方向与 流体在该点的涡矢量方向一致。
涡线一般不与流线重合，但相交
流线 涡线
涡线的微分方程与流线的微分方程类似
v
u y z z y v z x x z x w x y y x
对上式针对x， y ， z 求解得：
x
1 2
w y
v z
y
1Leabharlann 2 u z
w x
z
1 2
v x
u y
四、输运定理（transport theorem）
---- 系统导数
A0 (t)
0 (t)
任取一个体积为 0 (t) ，表面为 A0 (t) 的系统。
定义系统的某种物理量 I (t) f (x,t) d 0
0
其中 f (x, t) 可以是空间坐标及时间的标量或向量函数。
I 表示 t 时刻该系统物理量 f 的总和。
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
v y
1 2
v z
w y
1 2
u z
w x
1 2
v z
w y
式中的时间 t 是作为常数来处理的参数
流管 ---- 在流场中任取一条非流线的闭合曲线， 在同一时刻经过该曲线上每一点的流线所组成的曲面 称为流面，这个流面包围的体积称为流管。
流管是处理管流问题时常常采用的流体力学模型。
七、 涡量与环量
根据 Cauchy-Helmholtz 速度分解定理 ， 我们可以把自然界和工程实际中的流动分为两大类型：
线性尺度效应的微小的流体团。
设流体微团的中心的速度为 v ，则与其相距为d s点的速度差为：
u u u
du
x
y
z
dx
dv
dv
dw
v x w
v y w
v z w
dy dz
f
(
x,
t
)
d
0
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
（1）
02
03
对方程（1）右端进行改造，由微分中值定理知：
f
(x,t
t)
f
(x,t)
t
f
, 0 1
t tt
方程（1）右端的第一个积分：
这正是转动张量Rij中各元素的表达式。
旋转角速度的二倍， 2 叫作涡量。
柯西—海姆霍兹速度分解定理： 流体微团运动是由平动、变形（包括线变形和 角变形）和旋转三种运动构成的。
六、 迹线与流线
迹线 ---- 流体质点运动的轨迹。 Lagrange法描述
x x(a,b, c,t) y y(a,b, c,t) z z(a,b, c,t)
adA
A
式中
n
为微元曲面
d
A
的外法向单位向量。
散度定理 梯度定理 旋度定理
五、 柯西—海姆霍兹（Cauchy-Helmholtz）速度分解定理
流体与刚体不一样，它在运动中是可以变形的。 现在来追随一个流体微团来看它在运动过程中的情况。 流体微团与流体质点是两个不同的概念。 • 在连续介质中流体质点是可以忽略线性尺度效应 （如膨胀、变形、转动等）的最小单元； • 流体微团则是由大量流体质点所组成的具有
表示式右端的面积分表示物理量 f 在控制面上的输运量，
故此表达式称为输运定理。
第一项表示单位时间内，控制体 中所含物理量 fd 的增量， 它是由于流场的不定常性引起的；
第二项表示单位时间内，通过控制面A流出的相应物理量，
它是由于流场的不均匀性引起的。
利用散度定理，输运定理可表示成
DI Dt
[ f t
( f
v )]
d
广义高斯公式
如果
A
是空间体积
的封闭曲线，物理量
a
或
在
和 A 上一阶偏导数连续，则有以下体积分和面积分
的等式：
a
d
n
adA
A
d ndA
A
a
d
n
A0 1
A01
dA0 vt
vt n
03
02 01
A01
方程（1）右端的第三个积分：
A02
vt
f
(x,t)
d 0
03
f (x,t)(v n)tdA0
dA0
n
vt
dA0 n
03
02 01
A0 2
I 在时间间隔示 t 内 的增量可改写为
流体力学中多采用涡量（vorticity）来描述流体微团的旋转。
涡量 —— 旋转角速度的二倍。
2
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
v rot v
涡量是矢量，它与旋转的平面垂直，
----
代表角变形率
变形张量 Dij 中其它非对角元素也具有类似的意义。
Rij中的元素代表质点象刚体一样运动时的旋转角速度分量。
一个刚体绕坐标原点作角速度为x， y ， z 的旋转运动时， 则刚体上的坐标为 x， y ， z的任一点的速度分量为：
y
u
y o
2 1
x
0 (t t)
I 在时间间隔示 t 内 的增量为
0 (t)
02
I I (t t) I (t)
03
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
01 02
01 03
f
(x,t
t)
当 t 0,01 0 ，
0 (t)
且在t 时刻 = 0 ( t ) , A = A0 ( t )
A A0 (t) 01
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
系统导数的欧拉法表示式
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
w
z
D 变形张量 ij
0