流体力学-第一讲 场论与张量分析初步共82页
合集下载
1_场论与张量基础
2.张量表示法
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
流体力学 1章讲稿
第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
高等流体与气体动力学
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
流体力学讲义第一讲-1
0
s
旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场， 叫旋度场
在直角坐标系中表达式：
rotv i(vz vy ) j(vz vx ) k(vy vx ) y z x z x y
引进哈密顿算子：
i jk v
x y z vx vy vz
B 张量
一、张量的阶
与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。 n=0称为零阶张量（标量） n=1称为一阶张量（向量） n=2称为二阶张量
二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。 2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。
三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该
s
w
nQ
P
l
n
p
nPP
wlnQ
n
p
wl
grad
Vgrad
所以：
lim 1 nds grad vs
v0
若定义一个向量场 F x, y, z ，则向量微分算子与它作用后分别
的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理
场为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca) c a （ c 常数）
M
S
（2) (a b) a b （3) (a) a a
曲面积分
a
S
n
Q adS an d S an d S
流体力学讲义第一讲
张量场
称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中
向量场的通量和散度
物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分
图0.4.1 通量
l
有源场和无源场： 散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。 |diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。
4、坐标线的切线方向的单位向量 的正交性 式中 为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。 5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即
4）拉普拉斯算子
5）算子
柱坐标及球坐标下的拉梅系数及常用微分算式
球坐标系
柱坐标系
柱坐标的微分算子
球坐标下的微分算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
如何确定Hi？ 象在笛卡儿坐标中一样，在空间某 一点A，沿三个坐标轴为棱边作一 微分六面体，由于其边长分别为 ， ， , 设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是 由于dq1的变化而引起的数，故 所以
四、几个重要公式 1、 2、 3、 4、
拉普拉斯算子
总乘
叉乘
五、几个积分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的证明：对 应用散度定理：
旋度经过S的通量
环量
（体积分与面积分之关系)
称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中
向量场的通量和散度
物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分
图0.4.1 通量
l
有源场和无源场： 散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。 |diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。
4、坐标线的切线方向的单位向量 的正交性 式中 为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。 5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即
4）拉普拉斯算子
5）算子
柱坐标及球坐标下的拉梅系数及常用微分算式
球坐标系
柱坐标系
柱坐标的微分算子
球坐标下的微分算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
如何确定Hi？ 象在笛卡儿坐标中一样，在空间某 一点A，沿三个坐标轴为棱边作一 微分六面体，由于其边长分别为 ， ， , 设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是 由于dq1的变化而引起的数，故 所以
四、几个重要公式 1、 2、 3、 4、
拉普拉斯算子
总乘
叉乘
五、几个积分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的证明：对 应用散度定理：
旋度经过S的通量
环量
（体积分与面积分之关系)
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
10.01.2021
26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
流体力学讲义第一章绪论
流体⼒学讲义第⼀章绪论第⼀章绪论本章主要阐述了流体⼒学的概念与发展简史；流体⼒学的概述与应⽤；流体⼒学课程的性质、⽬的、基本要求；流体⼒学的研究⽅法及流体的主要物理性质。
流体的连续介质模型是流体⼒学的基础，在此假设的基础上引出了理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、⽜顿流体与⾮⽜顿流体概念。
第⼀节流体⼒学的概念与发展简史⼀、流体⼒学概念流体⼒学是⼒学的⼀个独⽴分⽀，是⼀门研究流体的平衡和流体机械运动规律及其实际应⽤的技术科学。
流体⼒学所研究的基本规律，有两⼤组成部分。
⼀是关于流体平衡的规律，它研究流体处于静⽌（或相对平衡）状态时，作⽤于流体上的各种⼒之间的关系，这⼀部分称为流体静⼒学；⼆是关于流体运动的规律，它研究流体在运动状态时，作⽤于流体上的⼒与运动要素之间的关系，以及流体的运动特征与能量转换等，这⼀部分称为流体动⼒学。
流体⼒学在研究流体平衡和机械运动规律时，要应⽤物理学及理论⼒学中有关物理平衡及运动规律的原理，如⼒系平衡定理、动量定理、动能定理，等等。
因为流体在平衡或运动状态下，也同样遵循这些普遍的原理。
所以物理学和理论⼒学的知识是学习流体⼒学课程必要的基础。
⽬前，根据流体⼒学在各个⼯程领域的应⽤，流体⼒学可分为以下⼏类：能源动⼒类：⽔利类流体⼒学：⾯向⽔⼯、⽔动、海洋等；机械类流体⼒学：⾯向机械、冶⾦、化⼯、⽔机等；⼟⽊类流体⼒学：⾯向市政、⼯民建、道桥、城市防洪等。
⼆、流体⼒学的发展历史流体⼒学的萌芽，是⾃距今约2200年以前，西西⾥岛的希腊学者阿基⽶德写的“论浮体”⼀⽂开始的。
他对静⽌时的液体⼒学性质作了第⼀次科学总结。
流体⼒学的主要发展是从⽜顿时代开始的，1687年⽜顿在名著《⾃然哲学的数学原理》中讨论了流体的阻⼒、波浪运动，等内容，使流体⼒学开始成为⼒学中的⼀个独⽴分⽀。
此后，流体⼒学的发展主要经历了三个阶段：1.伯努利所提出的液体运动的能量估计及欧拉所提出的液体运动的解析⽅法，为研究液体运动的规律奠定了理论基础，从⽽在此基础上形成了⼀门属于数学的古典“⽔动⼒学”（或古典“流体⼒学”）。
流体力学-第一讲,场论与张量分析初步
x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学 动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章 场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
张量分析及场论
示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82