半导体物理第三章
半导体物理第三章半导体中的载流子统计分布
电子浓度：单位体积内导带中的电子数(单位：1/cm3)
20
导带中电子都聚集在 导带底 价带中空穴都聚集在 价带顶
21
计算电子：
单位体积中
dN = f (E)gc (E)dE
( ) =
V 2π
2
2me* h3
3/ 2
(E
−
EC
)1/ 2
exp⎜⎜⎝⎛ −
E − EF kBT
⎟⎟⎠⎞dE
( ) dn =
m
3 2
pl
+
3
m
2 ph
⎤ ⎥⎦
3
3
gv(E) =
V
2π 2
(2mdp ) h3
2
(Ev
1
− E) 2
mph 和mpl分别是重空穴和轻空穴的有效质量。由于mph>>mpl, 重空穴带的态 密度显著大于轻空穴带的态密度。所以空穴主要分布在重空穴带中。
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数 玻尔兹曼分布函数 导体中的电子浓度和价带中的空穴浓度
gv (E)
=
V
2π 2
(
2
m
* p
)
3
2
h3
(Ev
1
− E) 2
实际情况：在价带顶有两种空穴
gv (E ) = gvl (E ) + gvh (E )
3
3
=
V
2π 2
⋅ (2m pl ) h3
2
1
(Ev − E) 2
+
V
2π 2
⋅ (2m ph ) h3
2
(Ev
1
− E) 2
《半导体物理》胡礼中第三章 半导体中的电子状态
第三章半导体中的电子状态半导体独特的物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。
本章扼要介绍一些有关的基本概念。
§3-1 电子的运动状态和能带§3-1-1孤立原子和自由空间中的电子状态为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子状态和能级﹑自由空间中的电子状态和能谱的概念。
一．原子中的电子状态和能级。
原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。
因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动的。
电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。
在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。
处于确定状态的电子在空间的几率分布是一定的。
在讨论原子中的电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。
按“轨道”概念，对于原子中的电子，能级由低到高可分为E1﹑E2﹑E3﹑E4..等，分别对应于1s﹑2s﹑2p﹑3s…等一系列量子态。
如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的库仑束缚作用强，能级低。
越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。
总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。
二．自由空间中的电子状态和能谱。
根据量子力学理论，在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定谔方程)(）（)(222r k E r mψψ=∇- （3-1） 该方程的解为平面波：r k i ke V r ⋅=1)(ψ )(22)(222222z y x k k k mm k k E ++== （3-2） 其中，)(r k ψ称波函数，)(k E 称能量谱值或本征值，V 为空间体积，k 为平面波的波矢，其大小为波长倒数的2π倍，即k=2π/λ。
这里k 也起着量子数的作用，用来标志自由电子的运动状态。
半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布
当 E-EF>>k0T时,
fB E e x E p k E F T e x E kF p T e x k E p T
费米和玻耳兹曼分布函数
三、空穴的分布函数
空穴的费米分布函数和波尔兹曼分布函数
当 EF-E>>k0T时,
1 fE e x E F p E e x E F p e x E
整个价带的空穴浓度为
p0 NVexpEFk 0TEV NV称为价带的有效状态密度.
价带空穴浓度可理解为:全部空穴集中在价带 顶EV上，其上空穴占据的状态数为NV个.
对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)状 况下,它们的有效状态密度的数值列于下表中.
导带和价带有效状态密度(300K)〔见课本P77〕
一、费米〔Fermi〕分布函数与费米能级
1.费米分布函数
电子遵循费米-狄拉克〔Fermi-Dirac〕 统计分布规律。能量为E的一个独立的电 子态被一个电子占据的几率为
K0玻尔兹曼常数，T确定温度，EF费米能级
费米能级的物理意义：化学势
EF (N F)T
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的状 况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自 由能的变化等于系统的化学势也即为系统的费 米能级
在导带中，E-EF>>k0T，则导带中的电 子听从波尔兹曼分布，且随着E的增大， 概率快速削减，所以导带中绝大多数电子 分布在导带底四周
在价带中，EF-E>>k0T，则空穴听从波 尔兹曼分布，且随着E的增大，概率快速 增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价 带顶四周。
听从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统
§3.1 状 态 密 度
假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间 隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g 〔E〕为：
半导体物理第三章1
第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。
这就是本章要讨论的主要问题。
§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。
一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。
同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。
于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。
处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。
热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。
因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。
2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。
如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。
二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。
半导体物理 刘恩科 第三章答案
第三章习题讲解7.Ec − E F 解： Q n0 = N c exp(− ) k0T∴ ∴ Q ∴ EF Nc = E c − k 0 T ln = E c − 0 . 017 eV n0E F − E c = − 0 . 017 eV E c − E D = 0 . 01 eV E F − E D = − 0 . 007 eVND n0 = 1 + 2 exp[( E F − ED ) / k0T ] ⇒ N D = 1.7 ×1017 cm −3ND 9. E F = Ec + k 0T ln Nc N D1 E F 1 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.206eV Nc EF 2 EF 3 N D2 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.087eV Nc N D3 = Ec + k 0T ln = Ec − 0.027eV NcEc − E D = 0.05eVEF1远在ED之下，故此时全电离方法1 方法2(Ec-EF2) /k0T=1.4,故此时不能全电离 EF3在ED之上，故此时全电离+ nD 1 = N D 1 + 2 exp[−( ED − EF ) / k 0T ]1 = 是否大于90％ 1 + 2 exp[−( Ec − ΔED − EF ) / k 0T ]算出电离度分别为1，67％，55％。
所以第二、三种 不能认为全电离。
10. 解：Ge 在300K时的本征载流子浓度ni = 2.4 × 10 cm13−3要以杂质电离为主，其杂质浓度最低应 高于ni一个数量级，即：N D ,min = 1014 cm −3最高浓度为：⎛ ΔE D ⎞ ⎛D N ⎞ N D = ⎜ − C ⎟ exp⎜ − ⎜ k T ⎟= ⎟ ⎝ 2 ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎛ 0.1 × 1.05 × 1019 ⎞ 0.0127 ⎞ 17 −3 ⎜ ⎟ exp⎛ − ⎟ = 3.22 × 10 cm ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 0.026 ⎠ ⎝ ⎠11. 根据未电离杂质占总掺杂比例的定义：ΔE D 2N D ⇒ D− = exp Nc k 0T ⎡⎛ D ΔE D 1 3 = ln T + ln ⎢⎜ − ⎜ k0 T 2 ⎢⎝ N D ⎣∗ 3/ 2 k 0 mn 3⎞ 2π ⎟ ⎟ h ⎠(∗ 3/ 2 k 0 mn 3)(2π 其中)⎤ ⎥ ⎥ ⎦h＝1015ΔE D ＝116 k0将上两个常数代入，得 ： ⎛ D− 116 3 = ln T + ln ⎜ ⎜N T 2 ⎝ D ⎞ ⎟＋15 ln 10 ⎟ ⎠(1) 将N D＝1014 cm −3D−＝1 ％代入116 3 ⎛ 0.01 ⎞ = ln T + ln⎜ 14 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ＝ ln T－2.3 2 ⇒ T = 37.1K 将N D＝1017 cm −3 D−＝1 ％代入 116 3 ⎛ 0.01 ⎞ = ln T + ln⎜ 17 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ln T－9.2 2 ⇒ 533K(1) 将N D＝1014 cm −3D−＝10％代入116 3 3 ⎛ 0.1 ⎞ = ln T + ln⎜ 14 ⎟＋15 ln 10＝ ln T T 2 2 ⎝ 10 ⎠ ⇒ T = 24.3 将N D＝1017 cm −3 D−＝10％代入 116 3 ⎛ 0.1 ⎞ = ln T + ln⎜ 17 ⎟＋15 ln 10 T 2 ⎝ 10 ⎠ 3 ln T－6.9 2 ⇒ T = 160.5 K50%电离时，不能再用上方法，须用：ND ⎛ ED − EF 1 1 + exp⎜ ⎜ kT 2 0 ⎝⎞ ⎟ ⎟ ⎠ND = ⎛ EF − ED ⎞ 1 + 2 exp⎜ ⎜ kT ⎟ ⎟ 0 ⎝ ⎠⎛ EF − ED ⎞ ⎛ ED − EF ⎞ ⎟ ⎟ = 4 exp⎜ ⇒ exp⎜ ⎜ kT ⎟ ⎜ kT ⎟ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ED − EF EF − ED ⇒ = ln 4 + k 0T k 0T ⇒ E F = E D − k 0T ln 2 (1)⎛ E F − Ec ⎞ ND n0 = = N c exp⎜ ⎟ ⎜ kT ⎟ 2 0 ⎠ ⎝ ⎛ ND ⎞ ⇒ E F = Ec + k 0T ln⎜ ⎟ ⎜ 2N ⎟ c ⎠ ⎝ ( 2)联立（1）、（2）两式可得：⎛ ND ⎞ ⎟ E D − k 0T ln 2 = Ec + k 0T ln⎜ ⎜ 2N ⎟ c ⎠ ⎝ ⎛ N c ⎞ 116 ⎛ Nc ⎞ ⎟⇒ ⎟ ⇒ ΔE D = k 0T ln⎜ = ln⎜ ⎜N ⎟ ⎜N ⎟ T ⎝ D⎠ ⎝ D⎠ 116 = ln 2 × 1015 × T 3 / 2 − ln N D T[()]分别将 N D＝1014 cm −3 ，N D＝1017 cm −3代入116 15 3/ 2 = ln 2 × 10 × T − ln N D T[()]可得其分别对应得温度为16K和55K。
半导体物理学第三章习题和答案
时 Eg=0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K 时，锗的电子浓度为 1017cm-3 ，假定受主浓度为零，而 Ec-ED=0.01eV，求锗中施主浓度 ED 为多少？
3 k 0Tmn ) 2 2 2
7 （ .1 ）根据N c 2( N v 2( k 0Tm p 2
' ' N（ C 77 K） 3 T N（ T C 300 K） ' NC NC （
77 3 77 3 ） 1.05 1019 （ ） 1.37 1018 / cm 3 300 300
' NV NV （
77 3 77 3 ） 3.9 1018 （ ） 5.08 1017 / cm 3 300 300
5. 利用表 3-2 中的 m*n，m*p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的 NC , NV 以及本征载
流子的浓度。
3 2koTmn 2 N 2 ( ) C 2 h 2koTm p 32 5 N v 2( ) h2 Eg 1 2 koT 2 n i ( N c N v ) e Ge : mn 0.56m0 ; m p o.37 m0 ; E g 0.67ev si : mn 1.08m0 ; m p o.59m0 ; E g 1.12ev Ga As : mn 0.068m0 ; m p o.47 m0 ; E g 1.428ev
0.037
nD ND
30%不成立
80%10%不成立 0.023 1 0.026 1 e 2 ' （2） 求出硅中施主在室温下全部电离的上限 2N E D ( D )e D (未电离施主占总电离杂质数的百分比） NC koT 10% 0.1N C 0.026 2 N D 0.05 e , ND e 2.5 1017 / cm 3 N C 0.026 2
半导体物理第三章
p0 = ∫
价带底能量
Ev
/ Ev
gv (E) [1 − f ( E )] dE V ( 2m ) h
* 3/ 2 p 3
= 4π
∫
Ev
/ Ev
e
E − EF kT 0
( Ev − E ) dE
1/ 2
令x = ( Ev − E ) /(k0T ) ( Ev − E )1/ 2 = (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( Ev − E ) = −(k0T )dx x' = ( Ev − Ev' ) /(k0T )
导带中大多数电子是在导带底附近，而价带中大多数空穴 则在价带顶附近。 1. 导带中电子浓度 在能量E～(E+dE)之间有： 量子态：dZ=gc(E)dE 电子占据能量为E的量子态的概率： 则电子数为：
29
f B (E) = e
E − EF − kT 0
dN = dZ ⋅ f B ( E ) ( 2m ) = 4πV h
利用前述方法可得：
k12 + k 2 2 k3 2 h E ( k ) = Ec + + 2 mt ml
2
电子态 密度有 15 效质量
2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是极值相重合的 两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和 重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两个 能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效质量 价带顶空穴的状态密度有效质量 (空穴态密度有效质量 空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面情 空穴态密度有效质量 况下的价带状态密度式(5)有相同的形式，
半导体物理第三章03
Ev EF p0 NV exp( ) k0T
都是由费米能级EF和温度T表示出来的，通 常把温度T作为已知数，因此这两个方程式 中还含有 n0, p0, EF三个未知数。
第三章03
2/56
为了求得它们，还应再增加一个方程 式。从3.3节(本征半导体的载流子浓度) 及3.4节(杂质半导体的载流子浓度)中 看到这第三个方程式就是在具体情况 下的电中性条件 (或称为电荷中性方程 式)。 无论是在本征情况还是只含一种杂质 的情况下，都是利用电中性条件求得 费米能级EF，然后确定本征的或只含 一种杂质的情况下的载流子统计分布 。
第三章03
19/56
式(3-85)就是施主杂质未完全电离情况下载流子浓 度的普遍公式。对此式再讨论如下两种情况: ①极低温时，N’c很小，而NA很大， N’C <<NA。 则得 (N N ) 4N (N N ) N N
n0
' ' 2 ' c A
2
c
A
c
D
A
2 4 Nc' 1 (ND N A ) N A2 2
这就是同时含有一种施主杂质和一种受主 杂质情况下的电中性条件。
第三章03
8/56
它的意义是半导体中单位体积内 的正电荷数 (价带中的空穴浓度与 电离施主杂质浓度之和)等于单位 体积中的负电荷数 (导带中的电子 浓度与电离受主杂质浓度之和)。
第三章03
9/56
当半导体中存在着若干种施主杂质和若干 种受主杂质时，电中性条件显然是:
上式表明在低温弱电离区内，导带中电子浓度与 (ND-NA)以及导带底有效状态密度Nc都成正比关系， 并随温度升高而指数增大。
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在热平衡状态下，电子按能量 大小具有一定的统计分布规律
电子在不同能量的量子态 上统计分布概率是一定的
16
量子统计理论 服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。
对于能量为E的一个量子态 被电子占据的概率为f(E)为:
f E
1
1exp(EEF )
k0T
k0 :玻耳兹曼常数 T : 绝对温度
f ( E )：电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下，电子 在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。
gc(E)2V 2(2m n * 3)32(EEc)12
对硅、锗等半导体，其中的
m n *m dns23(m lm t2)13
❖ mdn称为导带底电子状态密度有效质量。 对于Si，导带底有六个对称状态，s=6，mdn =1.08m0 对于Ge，s=4，mdn =0.56m0
12
❖ 同理可得价带顶附近的情况 价带顶附近E(k)与k关系
❖ 在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ❖ 电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.
15
§3.2.1 费米分布函数
(1)费米分布函数的意义
电子跃迁
一定温度下： 低能量的量子态
高能量的量子态
单个电子
能量时大时小，经常变化
大量电子
❖ 单位体积k空间可包含的量子状态为V/83。考虑电子的自旋，则:单位 k空间包含的电子量子态数即单位k空间量子态密度为2V/83
8
§3.1.2 状态密度
❖ 计算不同半导体的状态密度
①考虑等能面为球面的情况，且假设极值位于k=0： 导带底E(k)与k的关系
2k2 E(k) Ec 2mn*
把能量函数看做是连续的,则能量E～E+dE之间包含的k空间体积 为4k2·dk,所以包含的量子态总数为
Kx
2 n x L
(nx
0 , 1, 2 ,
)
Ky
2n y L
(ny
0 , 1, 2 ,
)
Kz
2 n z L
(nz
0 , 1, 2 ,
)
(1-18)
❖ k空间中，由一组整数(nx,ny,nz)决定一个波矢k，代表电子的一个允许 能量状态。这些允许量子态在k空间构成一个点阵。
❖ k在空间分布是均匀的，每个代表点的坐标沿坐标轴方向都是2/L的 整数倍，对应着k空间中一个体积为83/V的立方体。
E(k)Ev2(kx22m k*py2kz2)
价带顶附近状态密度也可以写为：
gv(E)2V 2(2m * p 3)32(EvE)12
但对硅、锗这样的半导体，价带是多个能带简并的，相应的有 重和轻两种空穴有效质量，所以公式中的mp*需要变化为一种 新的形式。
13
❖ 对硅和锗，式中的
2
m* pmdp(mp)l32 (mp)h 323
(3-5)
❖ 价带顶附近状态密度
gv(E)2V 2(2m * p 3)32(EvE)12
(3-8)
10
表明： 导带底（价带顶）附近单位能 量间隔内的量子态数目，随着 电子（空穴）的能量增加按抛 物线关系增大。即电子（空穴） 的能量越大，状态密度越大。
状态密度与能量的关系
11
②对于各向异性，等能面为椭球面的情况 设导带底共有s个对称椭球，导带底附近状态密度为：
❖ 本章重点讨论：
1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分布情况 2、计算导带电子和价带空穴的数目，分析它们与半导体中杂质含 量和温度的关系．
3
晶格
热激发（本征） 载流子复合
导带电子 价带空穴
晶格
热激发（本征） 载流子复合
导带电子 价带空穴
热平衡状态T1
T
热平衡状态T2
热平衡载流子：一定温度下，处于热平衡状态下的导电电子和空穴
dZ 2V4k2dk 83
将k用能量E表示：
k(2m n *)1/2( EE c)1/2 kdm k n *d 2 E
9
代入式(3-3)得到：
dZ2V 3(2m n *3)32(EEc)12dE
❖ 根据公式，各向同性半导体导带底附近状态密度：
gc(E)d d E Z 2V2(2m n * 3)32(EE c)12
mdp称为价带顶空穴状态密度有效质量 对于Si，mdp=0.59m0 对于Ge，mdp=0.37m0
14
3.2 费米能级和载流子的统计分布
❖ 把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互作 用很微弱.
❖ 电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的运动状 态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据,不影 响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重简并 的,这对应于自旋的两个容许值.
计算状态密度的方法：
算出单位k空间中量子态（k空间状态密度）→算出k空间体积，并和k空间的状态密度相乘，求出
dZ→利用
g(E) dZ dE
求出。
dE dZ
k空间
k空间状态密度 k空间体积
7
§3.1.1 k空间中量子态的分布
❖先计算单位k空间的量子态密度
晶体中K的允许值为：
4
温度T
半导体的导电性
nnq n(ppq p)
n、p与T有关
❖ 载流子浓度随温度的变化规律 ❖ 计算一定温度下热平衡载流子浓度
电子如何按照能量分布
5
允许量子态按能量的分布 电子在允许量子态中的分布
❖ 载流子浓度n、p随温度的变化规律 ❖ 计算一定温度下热平衡载流子n、p浓度
电子如何按照能量分布
允许量子态按能量的分布
半导体物理学
第三章 半导体中载流子的统计分布
1 状态密度 2 费米能级和载流子的统计分布 3 本征半导体的载流子浓度 4 杂质半导体的载流子浓度 5 一般情况下的载流子统计分布 6 简并半导体
2
❖ 完整的半导体中电子的能级构成能带，有杂质和缺陷的半导体在 禁带中存在局部化的能级．
❖ 实践证明：半导体的导电性强烈地随着温度及其内部杂质含量变 化，主要是由于半导体中载流子数目随着温度和杂质含量变化．
状态密度g(E)
电子在允许量子态中的分布
费米和玻耳兹曼分布f(E)
g(E)
f(E)
能量
量子态分布
电子在量子态中分布
E到E+dE之间被电子占据的量子态f(E)g(E)dE
6
3.1 状态密度
量子态：晶体中电子允许存在的能量状态。
gE dZ
dE
dZ是E到E+dE之间无限小的 能量间隔内的量子态个数
意义：g(E)就是在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。