高考数学专题复习：三角函数与解三角形测试题及详解

高考数学专题复习：三角函数与解三角形

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(2011·宁夏银川一中检测)y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数

[答案] D

[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．

2．(2011·宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π

6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解

析式为y ＝sin x ，则( )

A ．ω＝2，φ＝π

6

B ．ω＝2，φ＝－π3

C ．ω＝12，φ＝π

6

D ．ω＝12，φ＝π

12

[答案] B

[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．

[解析] 把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的1

2倍得到的函数解析式是y ＝

sin2x ，再把这个函数图象向右平移π

6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2????x －π6＝sin ????2x －π3，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－π

3

. [点评] 本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性，本题也可以根据比较系数的方法求解，根据已知的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ????ωx 2＋ωπ6＋φ比较系数也可以得到问题的答案．

3．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )

A.???

?－π

8，0 B.????

π8，0

C ．(0,0) D.???

?－π

4，0 [答案] A

[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．

[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ????ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2π

ω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ????2x ＋π4，把选项代入检验知点????－π

8，0为其一个对称中心．

[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 4．(2011·江西南昌市调研)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π

3

是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是( )

A ．y ＝4sin ????4x ＋π6

B ．y ＝2sin ????2x ＋π

3＋2 C ．y ＝2sin ????4x ＋π

3＋2 D ．y ＝2sin ?

???4x ＋π

6＋2 [答案] D

[解析] 由最大值为4，最小值为0得

????? A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴?

???

?

A ＝2m ＝2， 又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π

3为其

对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π

6

，故选D.

5．(文)(2011·北京朝阳区期末)要得到函数y ＝sin ????2x －π

4的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )

A ．向左平移π

4个单位

B ．向右平移π

4个单位

C ．向右平移π

8个单位

D ．向左平移π

8

个单位

[答案] C

[解析] y ＝sin ????2x －π4＝sin2????x －π8，故只要将y ＝sin2x 的图象向右平移π8个单位即可．因此选C.

(理)(2011·东北育才期末)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图像，只需将函数y ＝f (x )的图像( )

A ．向左平移π

2

个单位长度

B ．向右平移π

2

个单位长度

C ．向左平移π

4个单位长度

D ．向右平移π

4

个单位长度

[答案] C

[解析] f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin ????π

2＋2x ＝sin2????x ＋π4，可将f (x )的图象向左平移π

4

个单位长度得到，故选C. 6．(文)(2011·北京西城区期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°

[答案] D

[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，

∵a

(理)(2011·福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，……，解得b ＝ 6.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知．．条件．．

( ) A ．A ＝30°，B ＝45° B ．c ＝1，cos C ＝1

3

C ．B ＝60°，c ＝3

D ．C ＝75°，A ＝45° [答案] D

[分析] 可将选项的条件逐个代入验证． [解析] ∵2sin30°≠6

sin45°，∴A 错；

∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋6－146≠1

3，∴B 错；

∵a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋9－612＝7

12≠cos60°，

∴C 错，故选D.

7．(文)(2011·黄冈市期末)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一部分图象如图所示，如图A >0，ω>0，|φ|<π

2

，则( )

A ．φ＝－π

6

B ．φ＝－π

3

[答案] D

[解析] 由图可知????? A ＋b ＝4－A ＋b ＝0，∴?????

A ＝2b ＝2

， 又T 4＝5π12－π6＝π

4

，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，将????5π12，2代入得sin ???

?5π

6＋φ＝0，结合选项知选D. (理)(2011·蚌埠二中质检)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为( )

A ．x ＝2

π

B ．x ＝π2

C ．x ＝1

D ．x ＝2

[答案] C

[解析] ∵函数y ＝cos(ωx ＋φ)为奇函数，0<φ<π，∴φ＝π

2，∴函数为y ＝－sin ωx ，又ω>0，

相邻的最高点与最低点A 、B 之间距离为22，∴ω＝π2，∴y ＝－sin π2x ，其对称轴方程为π

2x

＝k π＋π

2

，即x ＝2k ＋1(k ∈Z )，令k ＝0得x ＝1，故选C.

8．(文)(2011·安徽百校联考)已知cos ????3π2－φ＝32，且|φ|<π

2，则tan φ等于( ) A ．－33

B.

33

C. 3 D ．－ 3

[答案] D

[解析] 由cos ????3π2－φ＝32得，sin φ＝－3

2， 又|φ|<π2，∴cos φ＝1

2

，∴tan φ＝－ 3.

(理)(2011·山东日照调研)已知cos α＝－4

5

且α∈????π2，π，则tan ????α＋π4等于( )

C.17 D ．7

[答案] C

[解析] ∵cos α＝－45，π

2≤α≤π，

∴sin α＝35，∴tan α＝－3

4

，

∴tan ????α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－3

4＋1

1－???

?－34×1

＝1

7

，故选C. 9．(2011·巢湖质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →

的值为( )

A.1

2π B.1

9π2＋1 C.1

9π2－1 D.1

3

π2－1 [答案] C

[解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π

4，∴T ＝π，

∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，

将点????－π12，0的坐标代入得sin ????－π

6＋φ＝0， ∴φ＝π6

，

∴A ????π6，1，B ????2π3，－1，∴OA →·OB →＝π2

9

－1，故选C. 10．(2011·潍坊一中期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最大值是2，

则ω的最小值等于( )

A.23

B.32 C ．2 D ．3

[答案] C

[解析] 由条件知f ????π4＝2sin π

4ω＝2，∴ω＝8k ＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2. 11．(文)(2011·烟台调研)已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( )

A.53 B ．－13

4

C.135

D.134

[答案] D

[解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝13

4.

(理)(2011·四川广元诊断)tan10°＋tan50°＋tan120°

tan10°·tan50°的值应是( )

A ．－1

B ．1

C ．－ 3 D. 3 [答案] C [解析]

原式＝tan (10°＋50°)(1－tan10°tan50°)－tan60°

tan10°tan50°

＝

3－3tan10°tan50°－3

tan10°tan50°

＝－ 3.

12．(2011·温州八校期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设命题p ：

a sin B ＝

b sin C ＝c

sin A

，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] ∵a sin B ＝b sin C ＝c

sin A ，

∴由正弦定理得sin A sin B ＝sin B sin C ＝sin C

sin A

，

∴sin A ＝sin B ＝sin C ，即a ＝b ＝c ，∴p ?q ，故选C.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·山东日照调研)在△ABC 中，若a ＝b ＝1，c ＝3，则∠C ＝________. [答案]

2π

3

[解析] cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32＝－12，∴C ＝2π

3

.

(理)(2011·四川资阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝π

3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝________.

[答案] π

4

[解析] 由正弦定理得3sin π3

＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB

4.

14．(2011·山东潍坊一中期末)若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 17

[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝

tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝1

7

.

15．(2011·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ????2x －π6－m 在x ∈[0，π

2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．

[答案] [－1,2]

[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π

2]上有两个不同实数解，

∴y ＝2sin ????2x －π6，x ∈[0，π

2]与y ＝m 有两个不同交点， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π

6

，

∴－12≤sin(2x －π

6

)≤1，∴－1≤y ≤2，∴－1≤m ≤2.

16．(2011·四川广元诊断)对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出下列命题：①f (x )的最小正周期为2π；②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π

8是f (x )的图像的一条对

称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π

4而得到．其中正确命题的序号

是________(把你认为正确的都填上)．

[答案] ②③

[解析] f (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ????2x ＋π4，最小正周期T ＝π；由2k π＋π2≤2x ＋π

4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，故f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π

2，∴x ＝π8是f (x )的图象的一条对轴称；y ＝2sin2x 的图象向左平移π

4个单位得到的图象对应函

数为y ＝2sin2????x ＋π4，即y ＝2sin ?

???2x ＋π

2，因此只有②③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π

6))，设函

数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a 为常数)．

(1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；

(2)若g (x )在[0，π

3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．

[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π

6)

＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1 ＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π

6

)＋a

(1)g (x )＝2sin(2x ＋π

6)＋a ，T ＝π.

(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π

6

当2x ＋π6＝π2，即x ＝π

6时，y max ＝2＋a .

当2x ＋π6＝π

6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，

故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.

18．(本小题满分12分)(2011·四川资阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)在x ＝π

6

取得最大值2，方程f (x )＝0的两个根为x 1、x 2，且|x 1－x 2|的最小值为π.

(1)求f (x )；

(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标压缩到原来的1

2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )

的图象，求函数g (x )在[－π4，π

4

]上的值域．

[解析] (1)由题意A ＝2，函数f (x )最小正周期为2π，即2π

ω＝2π，∴ω＝1.

从而f (x )＝2sin(x ＋φ)，∵f ????

π6＝2，

∴sin ????π6＋φ＝1，则π6＋φ＝π2＋2k π，即φ＝π

3＋2k π， ∵0<φ<π，∴φ＝π

3.故f (x )＝2sin ????x ＋π3. (2)可知g (x )＝2sin ?

???2x ＋π

3， 当x ∈[－π4，π4]时，2x ＋π3∈[－π6，5π

6]，则

sin ????2x ＋π3∈[－1

2

，1]，

故函数g (x )的值域是[－1,2]．

19．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72

.

(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．

[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝7

2，

∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝7

2

，

∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝1

2，

∵0°

.

20．(本小题满分12分)(2011·辽宁大连联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2)

的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若f ????α2＝45，0<α<π

3，求cos α的值． [解析] (1)由图象知A ＝1

f (x )的最小正周期T ＝4×????5π12－π6＝π，故ω＝2π

T ＝2 将点????π6，1代入f (x )的解析式得sin ????π

3＋φ＝1， 又|φ|<π2，∴φ＝π6

故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ????2x ＋π

6 (2)f ????α2＝45，即sin ????α＋π6＝45，又0<α<π3

，

∴π6<α＋π6<π

2，∴cos ????α＋π6＝35. 又cos α＝[(α＋π6)－π

6

]

＝cos ????α＋π6cos π6＋sin ????α＋π6sin π6＝33＋410

. 21．(本小题满分12分)(文)(2011·浙江宁波八校联考)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O

与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等腰直角三角形．记∠AOC ＝α.

(1)若A 点的坐标为????35，45，求sin 2

α＋sin2α

cos 2α＋cos2α的值； (2)求|BC |2的取值范围． [解析] (1)∵tan α＝4535＝4

3，

∴原式＝tan 2α＋2tan α

2－tan 2α

＝20.

(2)A (cos α，sin α)，B (cos(α＋π2)，sin(α＋π

2))，且C (1,0)

|BC |2＝[cos(α＋π2)－1]2＋sin 2(α＋π

2)＝2＋2sin α

而A ，B 分别在第一、二象限，α∈????0，π

2， ∴|BC |2的取值范围是(2,4)．

(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若m ＝????－cos A 2，sin A 2，n ＝????cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12

. (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值． [解析] (1)m ·n ＝－cos 2A 2＋sin 2A 2＝－cos A ＝1

2，

∴cos A ＝－1

2，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.

(2)S △ABC ＝1

2

bc sin120°＝ 3

∴bc ＝4，

又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos120° ＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝12， ∴b ＋c ＝4.

22．(本小题满分12分)(2011·黑龙江哈六中期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3

.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．

[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，

所以1

2ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组?

????

a 2＋

b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.

(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233

，

当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组?

????

a 2＋

b 2

－ab ＝4，

b ＝2a ，

解得a ＝233，b ＝43

3

.

所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23

3.