自主招生 静力学练习

第二章 静力学
【专题训练】
※基础巩固※
1、（2009•清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m ，一端搁在地上，另一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为︒=30θ，现使方形木块很缓慢地向正左方运动，则细棒受到木块的作用力 （ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
2、（2009•同济）如图（a ）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a ，小
球质量为m 、2m 和3m ，棒的质量分布均匀，总长为4a ，质量
为4m ，求整个体系的重心位置。

3．（2005•上海交大）如图（a ）所示，一均匀细杆长1m ，重量为W ，在距其上端25cm 处
用一钉子将其钉在铅直墙面上，使细杆可绕此钉子无摩擦地旋转。

今施一
水平力于其上端，使细杆偏离铅垂线θ角（θ<90°）而平衡，则钉子作用
在细杆上的力的量值为。

4、（北大保送生考试）如图所示，P 为一个水闸的剖面图，闸门质量为m ，宽度为b ，水闸两侧水面高分别为h 1、h 2，水与闸门间、闸门与轨道间的动摩擦因数分别为
21μμ、，求拉起闸门至少需要多大的力？
5．（2004上海交大）半径为R 的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心O 正下方C 点处。

OC=3R /8。

半球质量为m 。

在半球的平面上放一质量为m /8的物体，它与
半球平面间的动摩擦系数为0.2，如图（a ）所示，则物体刚要开始滑动时
离球心的最大距离为____________。

6、（上海交大自主）如图所示，一试管倒插在一水银槽内，封闭一部分气体，使试管在水面保持静止，此时试管露出水面部分长度b =1cm ，玻璃管质量
m =40g ，横截面积S=2cm 2，大气压强p 0=105Pa ，玻璃管壁
厚度不计，管内空气质量不计，g 取10m/s 2。

（1）求玻璃管内外水面的高度差。

（2）用手拿住玻璃管并缓慢把它压入水中，当管的A 端在
水面下超过某一深度时，放手后玻璃管不浮起，求这个深度。

（3）上一问中放手后玻璃管的位置是否变化？如何变动？
※能力提升※
7、（2008•西安交大）重为80kg 的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg ，顶角为30°。

已知AC 和CE 都为5m 长且用铰链在C 点处相连。

BD 为一
段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。

设梯子与地面的摩擦可以忽略，求
在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律（g 取10m/s 2）。

8、（2010•北大）如图，质量为m 的正方体放在水平面上，现在图示顶角A 处加一个力F ，
要求物体能被推倒但不滑动，动摩擦因数μ至少多大？此种情况下F 的
大小又如何？
9、如图所示，一个半径为R 的4
1光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A ，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度
软绳的质量为 ．求软绳A 端所受的水平拉力及软绳所受球面
的支持力．
第三章 静力学
答案及解析
【专题训练】
※基础巩固※
1、【答案】C
【解析】方形木块很缓慢地向正左方运动的过程中，细棒处于转动平衡。

设木块高为a ，细棒长为L ，重为G ，则有：cos
2sin L a G N θθ⨯
=⨯ 解得：sin 24GL N a θ=
，分析可知，答案为C 。

2、【解一】以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式：
112233123i i c m x m x m x m x x m m m m
+++∑==+++∑ ， 解得：a m m m m a m a m a m ma x c 2.2432243322=+++⨯+⨯+⨯+=
， 即重心在距棒的左端2.2a 处。

【解二】由力矩平衡求解，设重心在距棒的左端x c 处，如图（b ）所示。

在重心处加一竖起向上的力F 使棒平衡，由mg mg mg mg mg F F 10432,0=+++==∑得。

取左侧为转动轴，物体平衡，由0=∑M ，
a mg a mg a mg mga Fx c 243322⨯+⨯+⨯+=，
解得：a x c 2.2=。

3． 【解析】由三力共点知识可知N 的方向如图（b ）所示。

以钉为轴，有θθcos sin Fl Wl =，其中l =0.25m 。

得水平力F =W tan θ。

因而，θcos /22W F W N =+=。

4、【解析】左侧和右侧水对闸门向右和向左的压力分别为：
22
211
12,2bh gh F bh gh F ⋅=⋅=ρρ
由水平方向合力为零可知，轨道与闸门之间的弹力N 满足：N F F +=21，
即2/)(2
22121h h gb F F N -=-=ρ。

提起闸门时在一开始所需的拉力最大，
其值为： 22222121121212()()()22gb gb F mg N F F mg h h h h μρμρμμ=+++=+
-++。

5．【答案】0.6R 【解析】设临界情况下直径与水平面夹θ角，如图（b ）所示。

对整体有：
,cos )8/(sin )8/3(θθx mg R mg =⋅
解得：θtan 3R x =。

而对物体有：,cos )8/(sin )8/(θμθmg mg =
解得：μθ=tan ，
所以，R R x 6.03==μ。

6、【解析】（1）由m h mg ghS 2.0,==得ρ。

（2）玻璃管不浮起时，即处于悬浮状态，故封闭气体长仍为0.2m 。

由：00)()()p gh b h S p gy gy hS ρρρ++=++（
得： y = 0.51m 。

（3）设想玻璃管下沉一点，水进入后会进一步下沉，直到沉入水底为止，故这个位置是不
稳定平衡状态。

※能力提升※
7、【答案】T =（125+160x ）tan150(N)
【解析】设梯、人的质量分别为M 、m ，人离A 点的距离为x ，A 、E 两
点的支持力为N 1、N 2，则N 1＋N 2=（M ＋m ）g
整个梯子处于转动平衡，以A 为转动轴有：
020075cos 275cos 75cos AC N AC Mg mgx ∙=∙+
AC 处于转动平衡，以C 为转动轴有：
0100015sin 15cos 2
115sin 215.015sin )5(AC N AC T AC Mg x mg ∙=∙+∙+- 解得：T =（125+160x ）tan150(N)
8、【解析】正方体翻转至AC 连线与水平方向成θ角时，设此时A 处拉力F 与竖直方向成α角，并设AC = L ，则由转动平
,sin sin cos cos cos 2θαθαθL F L F L mg ⋅+⋅=⋅
正方体不动须满足：,sin )cos (ααμF F mg ≥-
即：sin sin 2cos cos 2sin sin cos cos cos mg F ααμαθαθααθ
≥==⋅+--显然，θ增大时，)tan 2(cot θα+也增大，α减小时，（θαtan 2cot +）也减小。

故极端情况取θ为最小值，α取最大值，即取 90,45→=αθ， 故得5.0≥μ，此种情况下，F m =mg /2。

9、【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为θ∆）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有i i i T G T 下上+∆=θcos ，即i i i gR T T θρcos ∆=-下上
其中i i h R ∆=∆θcos ，即该弧段在竖直方向上的投影，将上
式累加后易得最上端A 处所受的拉力gR T ρ=（最下端处
所受的拉力为0）
另由222G T N +=，得：412
πρ+=gR N ．
（2）设想在A 处将软绳缓慢拉过)0(→x x ，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有A 端拉力T 和软绳重力做功．同时软绳重力势能的变化情况等同于软绳最下端一段x 段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当成不变，故mgR Tx ∆=，其中ρx m =∆得：gR T ρ=．。