初中数学分形课件
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《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
《分形几何学实践》课件
分形几何学实践
汇报人：
目录
添加目录标题
分形几何学概述
分形几何学的基 本概念
分形几何学的常 见类型
分形几何学在实 践中的应用
分形几何学的未 来发展
添加章节标题
分形几何学概述
分形几何学是 一种研究不规 则、复杂形状
的数学方法
分形几何学中 的形状具有自 相似性，即局 部与整体相似
分形几何学中 的形状具有尺 度不变性，即 无论放大或缩 小，形状保持
应用领域：分形几何在生物、医学、工程等领域的应用研究
理论研究：分形几何的理论基础、性质和定理的研究
计算方法：分形几何的计算方法和算法的研究
交叉学科：分形几何与其他学科的交叉研究，如分形几何与混沌理论、分形几何与量 子力学等
数学：分形几何学与数学中的拓扑 学、微分几何等学科有密切联系， 可以应用于解决数学问题。
生物学：描述生 物形态和生长过
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学：描述物 理现象和过程
计算机科学：用 于图像处理、动
画制作等领域
数学：用于研究 几何学、拓扑学
等领域
艺术：用于创作 分形艺术作品
建筑学：用于设 计建筑和城市规
划
分形几何学的基本 概念
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
形状或结构
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
之一
应用：在自然 界、数学、物 理学等领域都
有广泛应用
例子：雪花、 海岸线、山脉 等自然现象都 具有自相似性
定义：通过重复应用同一种操 作或规则，生成复杂结构的方 法
特点：自相似性、精细结构、 无限复杂性
应用：分形几何学、计算机图 形学、图像处理等领域
例子：曼德布罗特集合、谢尔 宾斯基三角形等
汇报人：
目录
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分形几何学概述
分形几何学的基 本概念
分形几何学的常 见类型
分形几何学在实 践中的应用
分形几何学的未 来发展
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分形几何学概述
分形几何学是 一种研究不规 则、复杂形状
的数学方法
分形几何学中 的形状具有自 相似性，即局 部与整体相似
分形几何学中 的形状具有尺 度不变性，即 无论放大或缩 小，形状保持
应用领域：分形几何在生物、医学、工程等领域的应用研究
理论研究：分形几何的理论基础、性质和定理的研究
计算方法：分形几何的计算方法和算法的研究
交叉学科：分形几何与其他学科的交叉研究，如分形几何与混沌理论、分形几何与量 子力学等
数学：分形几何学与数学中的拓扑 学、微分几何等学科有密切联系， 可以应用于解决数学问题。
生物学：描述生 物形态和生长过
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学：描述物 理现象和过程
计算机科学：用 于图像处理、动
画制作等领域
数学：用于研究 几何学、拓扑学
等领域
艺术：用于创作 分形艺术作品
建筑学：用于设 计建筑和城市规
划
分形几何学的基本 概念
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
形状或结构
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
之一
应用：在自然 界、数学、物 理学等领域都
有广泛应用
例子：雪花、 海岸线、山脉 等自然现象都 具有自相似性
定义：通过重复应用同一种操 作或规则，生成复杂结构的方 法
特点：自相似性、精细结构、 无限复杂性
应用：分形几何学、计算机图 形学、图像处理等领域
例子：曼德布罗特集合、谢尔 宾斯基三角形等
分形理论简介ppt
进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。
由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数
盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r
自仿射性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）
N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14
线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r
相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为
分形课件02
第讲/microwave/《分形》课件下载地址：注：从电子工程学院主页登陆欢迎同学们提出宝贵意见。
第讲西安电子科技大学2009年3月17日非线性科学与孤子(II)梁昌洪教授第讲现在，我们再转移一个课题，即来讨论Soliton和它的产生背景。
如果说，对大多数人来说，孤子还是一个陌生而新鲜的概念，那么可以形象地比喻这个陌生人已叩开了很多新领域的大门，甚至径自闯入，大胆地与众多不同学科结合。
现在研究非线性物理世界，将无法回避孤子的概念和方法。
1987年12月28日《光明日报》以显著标题《孤波将成为美国超导机理研究的焦点》报道了美国科学家对高温超导体的研究，正在逐步把注意力集中在孤子，不可毁灭的独特电波中。
在长距离光纤通讯中采用孤波传输业已成为事实。
1990年底Bell实验室报道，孤波传输可以作6000公里的信号光纤通讯。
这一突破更使人们对孤子刮目相看。
四、孤立子的产生背景第讲现在大家都在议论神经系统之间的讯号有孤子或类孤子特性。
采用孤子信号作成的Radar或许会带来本质的变化。
总之，孤子的研究又成了当前世界前沿科学的一股热潮。
对于孤子的产生背景大多数文献都是从1834年John Scott Russell在英国河边观察开始的：“我认为，介绍孤立波的最合适的方法是描述我第一次认识这一现象时的情景。
我正在观察由两匹马拉着的一只航船在狭窄河道中疾速行驶时的运动。
船突然停止前进，但被船所推动的河水并不停止。
它积聚在船头，汹涌翻腾，然后呈圆滑的、轮廊分明的孤立突起波形，突然以巨大的速度滚滚向前，离船而去。
这个波沿着河道继续前进，显然，并不改变其形状也不减少其速度。
我骑马跟踪并且追上了它，它仍然以每小时大约8至9英里的速度滚滚向前，并保持它原来1—1.5英尺高、30英尺长的外形。
第讲Fig.-5 Union运河边的Russell观察者水波高度渐渐减小。
追逐了1—2英里之后，它消失在河道的拐角处。
这就是在1834年8月间我第一次偶然见到的奇妙而又美丽的景象。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
浙教版九年级数学上册分形理论及其应用课件
X1 ： (x1，x2，，xm )
X X
2 3
： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 )
X
4
： (x4，x5，，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
D2
lim
r 0
ln C(r) ln r
标度律与多重分形
(1)标度律
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
C(r) 1
N
(r
N2 i, j1
Xi X j
)
i j
(
x)
1，x 0，x
0 0
为Heaviside阶跃函数
分形几何课件
稳定的固态型或象树枝状。
21
分形几何
22
分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
23
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
56
分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果，它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
57
分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i ， 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。
21
分形几何
22
分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
23
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
56
分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果，它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
57
分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i ， 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。
分形理论ppt课件
X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
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混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统）的一个例子
一些分形图片:
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是复数）
蝴蝶函数： 花函数：
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线
Koch曲线的生成过程 —第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步
Koch曲线的生成过程 —第3步
Koch曲线的生成过程 —第4步
Koch曲线与雪花曲线
一个分形的人， 走过分形的一英里， 歪歪斜斜地检到了一枚分形的六便士。 买了一只分形的猫， 抓到了一只分形的老鼠。 分形的人， 分形的猫， 分形的老鼠， 都挤在分形的小屋里。 （分形韵律诗）
夜深人静， 灯火更明。 符号空间中， 光滑流形上， 循着奇异轨道， 攀缘魔鬼阶梯， 求索系统复杂性。 乐道安贫， 只问耕耘。 一阵康托尘埃后， 越过临界点， 数理科学迎新春。
春：浸泡了奶油的光，涂上酣酣的花瓣，细腻而精致，芳香四溢， 空气在叮当作响，有一种色彩醒了。
夏：越来越明白，越来越明了，朦胧在消退，就这样不留余 地怒放枝头，浅黄嫣紫挂一树，我行我素。
秋：艳了，红了，空气在膨胀，天晴得晃晃，黄色打底， 殷红在作秀，血犹在烧，永恒抵不过一刹。
冬：累了，要睡了，隔着一砂玻璃，最后一扇绿门已经关上， 雪花在唱得很无奈，天气好冷，我说晚安，我要睡了……
分形赏析
开 启 数 学 之 美 丽
分形的来历
经典几何的研究对象:
规则的图形，如圆，三角形等． 问题： 对于不规则的图形：如海岸线，云的边界， 我们如何研究？如何用计算机去生成？ 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。 晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。 如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形 态的学科---分形(Fractal