人教版八年级上册数学讲义
初中数学人教版八年级上册：第3讲 全等三角形(一)预习讲义
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有等边三角形都是全等三角形
⑶如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝
D 度．
【例 2】⑴如图：△ABC≌△DBF，∠B 的对应角是
，∠C 的对应角是
，∠BAC 的对应
角是
；AB 的对应边是
，AC 的对应边是
A
B
C
知识点
典型范例
三边分别相等的两个三角形全等（可以简 写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC 和△DEF 中，
AB＝DE BC＝EF
E
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
典例精练
【例 3】如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D 是 BC 的中点，
ALeabharlann ∴．在△ABD 与△ACD 中，
_______ ∵ _______
AB = AC
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）
3
【例 4】如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【例 5】如图，已知 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝DC，AC＝DB，能得到∠A＝∠D 吗？为什么？
，BC 的对应边是
．
⑵如图，△ABC≌△CDA，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边及对应角．
⑶如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点．写出这两个三角形中相等的
边和角．
A
C B
B O
D
人教版八年级上册数学讲义
【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边〞或“ SAS 〞，几何表示如图，在ABC 和 DEF 中，ADAB DE B E ABC ≌ DEF (SAS)BCEFBCEF【典型例题】【例 1】 ：如图， AB=AC ，AD=AE ，求证： 【例 4】如图，点 A 、F 、 C 、 D 在同一直线上，BE=CD.点B 和点E 分别在直线 AD 的两侧， AB ∥ DE证明： 在△ABE 和△ ACD 中，A且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC 。
求证： BC ∥EF 。
AB=AC ，∠ BAE= ∠CADAD=AE DE∴△ ABE ≌△ ACD 〔 SAS 〕∴ B E=CD.BC【例 2】 如图，：点 D 、E 在 BC 上，且 BD=CE ， AD=AE ，∠ 1=∠ 2，由此你 能得出哪些结论？给出证A 明 .B1 2 【例 5】如图，△ ABC 、△ BDE 均为等边三DEC角形。
求证： BD ＋ CD=AD 。
A【例 3】 如图： AE=AF ，AB=AC ，∠ A=60°，E∠ B=24°，求∠ BOE 的度数 .BBCEDOACF【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边〞或“SSS 〞， 几何表示【典型例题】例 3. 如图： AB=CD ， AE=DF ， CE=FB 。
求证：【例 1】如图，在ABC 中，M 在BC 上，D 在∠B=∠C 。
ABAM 上，AB=AC , DB=DC 求证： AM 是ABC的角平分线证明 : 在△ABD 和△ ACD 中，FEAB=AC DB=DC AD=AD∴△ ABD ≌△ ACD (SSS) ∴∠ BAD= ∠ CAD又∵ AB=AC∴MB=MC∴ AM 是ABC 的角平分线 (三线合一 )【例 2】如图：在△ ABC 中， BA=BC ，D 是 AC 的中点。
求证： BD ⊥ AC 。
(完整)人教版八年级上册数学讲义
八年级数学讲义第11章三角形三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2. 三角形的表示△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A ,Z B ,Z C..二、三角形的边1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点2.3三角形的中线1.三角形的定义B三角形的三条中线交于三角形内部一点三、三角形的角 1三角形内角和定理结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角. 如：△ ABC 中，已知Z A ：Z B ：Z C=2: 3： 4,求Z A Z B Z C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角. 2.2性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ② 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ③ 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等) 可见一个三角形共有 6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段 首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形•2、 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
八年级数学上册知识讲义-11.多边形的有关概念-人教版
精讲精练【考点精讲】1. 多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。
（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。
三角形、四边形都属于多边形。
2. 多边形的内角、外角、对角线的概念多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有)3(-⨯nn条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有2)3(-nn条对角线。
3. 正多边形的概念各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。
注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。
例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。
只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。
【典例精析】例题1 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程。
思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。
可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。
凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。
由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有1(3)2n n-条对角线。
当n=8时，有18(83)45202⨯⨯-=⨯=条对角线。
答案：凸八边形的对角线应该是20条。
点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
人教版八年级上数学精编讲义
第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
人教版八年级数学上册 全等三角形的判定HL 讲义
斜边直角边（HL ）一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等温馨提示：SSA 、AAA 不能证全等！！1、如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSSB. ASAC. SASD. HL 2、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3、下列说法正确的个数有（ ）①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）.A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等5、 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等6、给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A. ①③B. ①②C. ②③D. ②④7、李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去8、如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）∠B=∠CB、AD=AEC、BD=CED、BE=CD9、下列语句中不正确的是（）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两个角对应相等的两个直角三角形全等D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等10、如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A、∠A=∠DB、BC=EFC、∠ACB=∠FD、AC=DF11、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF_______（填全等或不全等）12、如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是________（写一个即可）13、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件________（写一个即可）14、如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是:____________（写一个即可）F E D C B A 15、如图，已知AD=BC.EC ⊥AB.DF ⊥AB ， C.D 为垂足，要使ΔAFD ≌ΔBEC ，还需添加一个条件.若以“ASA ”为依据，则添加的条件是_________16、如图,AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO,应添加的条件为_________(添加一个条件即可)17、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系18、已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.A D BC19、如图，Rt△ADC与Rt△BCD，∠A=∠B=90°，AC=BD，求证AD=BC20、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD（1）求证：BD=AD（2）（八字模型）试探究BE与AC的位置关系21、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于D，BE⊥DE于E。
第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册
一线三等角模型构造全等三角形【模型说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
这个模型贯穿初中几何的始终。
下面我们具体分析一下这个模型。
【同侧型一线三等角（常见）】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角∠FAC=∠ABD=∠CED 添加任一边相等【基础训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．5．在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．6．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．7.如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ．8．如图，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE ⊥AC 于B ，且DC ＝EC ，能否在△BCE 中找到与AB+AD 相等的线段，并说明理由．9、如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A ＝36°时，求∠DEF 的度数．10.如图，在ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠36B ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作︒=∠36ADE ，DE 交线段AC 于点E.线段DC 的长度为何值时，DCEABD∆≅∆请说明理由；【提升训练】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD ⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．ADEB C3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F 处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH 于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A 运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．。
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
ADB CCBAD三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360°※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。
9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
10、若△ABC 的三边为a 、b 、c （a 与b 不相等），且满足a 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2-b 3=0，试判断△ABC 的形状。
二、三角形角有关计算1.如图△ABC 中AD 是高,AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB 解∵AD 是△ABC 的高,∠C = 70° ∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20° ∵ ∠BAC =50°∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60° ∵ AE 和BF 是角平分线∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°2.如图, △ABC 中, D 是BC 边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC 的度数3. 已知：P 是△ABC 内任意一点. 求证：∠BPC ＞∠A4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求x 的值:000000000112,2312234422418026318039633924x x x x BAC x x x DAC ∠=∠=∠∴∠=∴∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠+∠+∠=∴++=∴=∴∠=-=解设又又5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。
求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)第12章 全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC ∆≌DEF ∆ 2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二 、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS ）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS ） 边角边（SAS ）角边角(ASA) 角角边AAS 直角边和斜边（HL ）三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL ）2．全等三角形证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS ③②①3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 ④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.证明：在△ABE 和△ACD 中， AB=AC ，∠BAE=∠CADAD=AE∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，AB ∥DE 且AB ＝DE ，AF ＝DC 。
求证：BC ∥EF 。
【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
求证：BD ＋CD=AD 。
A BCEDFAD B ECA B D E C 1 2 B EACODAB CE【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”， 几何表示 【典型例题】 【例1】如图，在ABC ∆中，M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是ABC ∆的角平分线证明:在△ABD 和△ACD 中，AB=ACDB=DCAD=AD ∴△ABD ≌△ACD (SSS)∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC∴MB=MC∴AM 是ABC ∆的角平分线(三线合一)【例2】如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC的中点。
求证：BD ⊥AC 。
DCBA例3. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：∠B=∠C 。
例4. 如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
F （图22）ED C B A【典型例题】【例1】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF【例2】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE【例3】已知：如图，AB =AC ，BDAC ，CEAB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．ABD ECADB E AC B DEF ACDP 1 23 4【典型例题】【例1】如图，已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例2】如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN【例3】已知：如图AC ⊥CD 于C , BD ⊥CD 于D , M 是AB 的中点 , 连结CM 并延长交BD 于点F 。
求证：AC=BF ．全等三角形（HL ）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL ”【典型例题】1、如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足， DE =BF ．求证：AB ∥CD ．例2、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。