人教B版数学高一必修2例题与探究2直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种

典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵k AB =1313-+=2，k AC =1415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A 、B 、C 三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=-,33,1b k b k ∴⎩⎨⎧-==.3,2b k ∴直线AB 的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×4-3=5，故点C(4，5)在AB 上.∴A 、B 、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________.思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a--004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a--004，解得a=4. 答案:4例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°=33，∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=---≠--)2(,33262)1(,03222mmmmm由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=53-.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=53-.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=ba-＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为ac-与bc-，∴ac-＞0，bc-＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.解:令y=0,则x=21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k -； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为131--k k ； 当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在. 黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式131--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________. 思路解析：设直线在两轴上的截距均为a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++•++•,1)(,0220000B A ax b y C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组⎩⎨⎧==0),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0). 经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数)，它表示斜率为k 的平行直线系.若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C).若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.上面的直线系可改写成(A 1x+B 1y+C 1)+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l 2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。