第三章 向量空间
第三章 向量空间
习题一 向量空间
一、证明集合
??????
==∑=-n
i i n n x x x x x V 11210)
,,( 是一个向量空间，并求它的一组基及其
维数.
二、在四维向量空间R 4内，证明
α1=(1，1，1，1)，α2=(1，1，-1，-1)，
α3=(1，-1，1，-1)，α4=(1，-1，-1，1)
构成一组基，并求向量β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标．
三、设4
R 中的两个向量T )1,0,2,1(1=α,T
)1,1,1,1(2-=α线性无关，试将其扩充为4
R 的一组基.
四、在线性空间V 4中，证明下列两组向量各构成一组基．
α1=(1，2，-1，0)，α2=(1，-1，1，1)， α3=(-1，2，1，1)，α4=(-1，-1，0， 1)； β1=(2，1，0，1)，β2=(0，1，2，2)， β3=(-2，1，1，2)，β4=(1，3，1，2)
并求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，又如向量γ在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(1，0，0，0)，求γ在基β1，β2，β3，β4下的坐标．
习题二 向量的内积
一、设n 维实向量βα,的内积组成的行列式),(),()
,(),(),(ββαββαααβα=
G ，则0),(=βαG 的
充要条件是βα,线性相关.
二、利用施密特的正交化方法，试由向量组α1=????? ??110，α2=????? ??011，α3=????? ??101构造出一组标准正
交基．
三、已知向量α=(1，2，-1，1)、β=(2，3，1，-1)、γ=(-1，-1，-2，2)，求α、β、γ的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)．
四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n ααα,,,21 化为正交向量组n βββ ,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.
五、设ξ1，ξ2，ξ3，ξ4为R4的一组标准正交基，又设
ξ1=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η+
+
+
ξ2=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η-
-
+
ξ3=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η-
+
-
ξ4=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η+
-
-
试证η1，η2，η3，η4也是R4的一组标准正交基。
习题三 正交矩阵
一、若B A ,均为正交矩阵，则AB 是正交矩阵，并问B A +是否是正交矩阵，并证明你的结论.
二、设A 为正交矩阵．试证其伴随矩阵A *为正交矩阵．
三、已知正交矩阵A 的前3列依次为T
?
?? ??---,21,21,21,21
，
T
??? ??---,21,21,2
1,21，T
??? ??---,21,21,
21,21
，求矩阵A
四、已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
d
c
b
a
A
7
2
7
3
7
6
7
2
7
3
为正交矩阵，求d
c
b
a,
,
,的值.
五、试证：若A是实对称矩阵，T正交矩阵，则AT
T1-也是对称矩阵.
六、已知A是正交矩阵，互换A中的i行与j行得到矩阵B，证明B是正交矩阵.
自测题
一、选择题
1．由3
R 的基321,,ξξξ到2213,,ξξξξ-基的过渡矩阵P 为
(A) ??????????100010001；（B ）??????????-110010001；（C ）??????????-001110010；（D ）??????????-001110010. 2．B A ,均为n 阶正交矩阵，则
（A ）B A AB +,都是正交矩阵 ； （B ）AB 是正交矩阵，B A +不是正交矩阵； （C ）AB 不是正交矩阵，B A +是正交矩阵； （D ）B A AB +,都不是正交矩阵. 3．设H 是正交矩阵，则
（A ）E H =； （B ）1=H ； （C ）1
-=H H T ； （D ）0?H .
4．n 维列向量n ααα 21,是n
R 的标准正交基的充要条件是 （A ）两两正交； （B ）均为单位向量；
（C ）线性无关； （D ）
E n T
n =),(),(2121αααααα . 5．设
??????=1111A ，P 是二阶正交阵，且?
?????=-20001
AP P ，则=P （A ）??????-212
12121； （B ）??????-112121； （C ）?
?????-21212121； （D ）??????-11212
1.
6．4
R 的向量)1,0,0,0(=α在基
)1,0,1,1(1=ε，)1,3,1,2(2=ε，)0,0,1,1(3=ε，
)1,1,1,0(4--=ε之下的坐标是
（A ）)0,1,0,1(； （B ）)0,1,0,1(-； （C ）)0,1,0,1(--； （D ）)10,0,1(-. 7．设向量)3,,2,1(--=a α，)1,5,2,3(-=β，且1),(=βα，则
=α
（A ）52； （B ）53； （C ）51-； （D ）53
-
.
二、填空题
1.在向量空间V 中，运算规律：(k +l )α= k α+l α，等号左边的加号代表________加法运算，右边的加号代表________加法运算．
2.在向量空间V 中，运算规律：(kl )α= k (l α)，等号左边括号内的积代表________运算，右边括号内的积代表________运算．
3.已知三维向量空间的一组基是α1=(1，0，1)，α2=(1，-1，0)，α3=(2，1，1)，则向量β=(3，2，1)在这组基下的坐标是________．
4.与α1=(1，-1，0，2)，α2=(2，3，1，1)，α3=(0，0，1，2)都正交的单位向量是________．
5.已知α1，α2，α3与β1，β2，β3是三维向量空间的两组基，且β1=α1+2α2-α3，β2=α2+α3，
β3=α1+3α2+2α3，则由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵是________．
6.所有2阶方阵的向量空间V 的一组基是________，dimV =________．
7.设A 是正交矩阵，则A 的行向量组是________向量组．
8.设ξ1，ξ2，ξ3为三维向量空间的一组基，则由基ξ1，ξ2，ξ3到ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3的过渡矩阵是________．
三、计算题
1．将向量T ），，，，12011(1-=α，T
)0,1,4,2,3(2-=α，T )1,1,4,1,4(3=α，
T )2,5,4,4,1(4--=α扩充成5R 一组基，并化为一组标准正交基.
2． 2． 求线性方程组???
??=+-+=+-+=-++0
32202230
432143214321x x x x x x x x x x x x 的解空间的一组标准正交基.
3． 已知2R 两个基)1,1(1=α，），（112-=α和），（），，（133121==ββ求由基2
1αα、到基21ββ、的过渡矩阵和坐标变换公式.
4．T
T T ），，，（、），，（、），，（1111101110321===
ααα是3R 一组基，试用施密特正交化方法将其化成3
R 的标准正交基.
5．4
R 中两个向量)1,0,1,1(1=α，)0,1,1,1(2-=α求非零向量43,αα使21,αα，43,αα正交.
6． 给定3
R 的基T
T T ），，（、），，（、735101)2,2,1(321--=-=-=ααα （1）将其化为3
R 的一组标准正交基321,,ξξξ；
（2）求向量T
)1,,1,1(=α在标准正交基321,,ξξξ之下的坐标.
四、证明题
1．α与321,,βββ都正交，试证α与321,,βββ任意线性组合均正交.
2．若21,αα，43,αα是3
R 一组标准正交基，证明：
)
744(91
)
48(91
)
48(91321332123211αααβαααβαααβ+--=-+-=--=
也是的一组正交基.
3．21,αα是2
R 一组基212211212211352723ααηααηααξααξ+=+=+=+=、、、. 证明：21,ξξ与21,ηη都是2
R 的基，并求21,ξξ到21,ηη过渡矩阵.
4．A 是正交矩阵，则*
A 也是正交矩阵.
5．A 是n 阶正交矩阵，若1-=A ，则0=+A E .
6．证明：若n 维向量空间向量α与任意n 维向量都正交，则α是零向量.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后训
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 课后训练 1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( ) A．6,15 B．6， C．3,15 D．3， 3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( ) A．l⊥α B．l∥α C．lα D．l∥α或lα 5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A．(2,3,3) B．(3，－3,4) C．(－1,1,0) D．(－2,0,1) 6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β ＝__________. 7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y ＝__________，z＝__________. 8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________． 9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C. 10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B 上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 参考答案 1.答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)． 2.答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.
第三章 空间向量与立体几何(B卷)
第三章 空间向量与立体几何(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC → 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、 C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面 2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45° 3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC → 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋x AB →＋y AD → ，则x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝1 2 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 3 5．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD → ＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP → 是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD → .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝??? ?－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－23612 11．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB → 取得最小值时，点Q 的坐标为( )
第三章 空间向量与立体几何 导学案
中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：https://www.360docs.net/doc/1210693287.html, §3.1.1空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 8486 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,. a b a b +- a .b 2. 点C 在线段AB 上，且5 2 AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1'2 AB AD CC ++ ⑶ 1(')2 AB AD AA ++ ⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和 'DB . 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：
第三章空间向量与立体几何
第三章空间向量与立体几何 § 3.1空间向量及其运算 § 3.1.1空间向量的线性运算 一、空间向量的概念 1、空间向量：空间中既有______ 又有_______ 的量 __ 」 A ? B T彳 2、空间向量的表示：AB = a （）（） 3、零向量：________________________________ 记作： _______ 4、向量的模（长度）：________________________________ 记作：___________ 5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线 6、相等向量：_____________________________________________ 7、共线向量（平行向量）：基线互相________ 或______________ 记作：______________ 规定：零向量与任意向量平行。 二、空间向量的线性运算已知向量a，b 1、加法 2、减法 4 4^ T T T a - b 二a （-b） =0A AB 二_________ 二________ 屮寸 T T 即a -b = OA -OC二 __________ （三角形法则） 3、数乘 （1）---------------- | a ■+4 i，扌（2）__________________________________ ■ ^0 时，a 与a 方向 _____ ；' =0 时，a=；' :：0 时，a 与a 方 向______ ； 4 4 注：a//a 三、空间向量运算律 的向量叫做共线向量或平行向量。 a b =0A AB a b =0A OB ________ （三角形法则） _______ 平行四边形形法则） 注：若M为LOAB的边AB的中点，则OA 0B-
第4章 n维向量空间复习过程
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为 n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n . 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T (1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求 .x 解（1） 32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T （2）由,0253 x 得 x )53(21 ])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m 矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 222 2111211 每一列 mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组 m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这 个线性组合的系数. 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使 ,2211s s k k k 则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合. 例2 n 维向量组 T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
第三章 向量空间
第三章 向量空间 习题一 向量空间 一、证明集合 ?????? ==∑=-n i i n n x x x x x V 11210) ,,( 是一个向量空间，并求它的一组基及其 维数. 二、在四维向量空间R 4内，证明 α1=(1，1，1，1)，α2=(1，1，-1，-1)， α3=(1，-1，1，-1)，α4=(1，-1，-1，1) 构成一组基，并求向量β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标． 三、设4 R 中的两个向量T )1,0,2,1(1=α,T )1,1,1,1(2-=α线性无关，试将其扩充为4 R 的一组基. 四、在线性空间V 4中，证明下列两组向量各构成一组基． α1=(1，2，-1，0)，α2=(1，-1，1，1)， α3=(-1，2，1，1)，α4=(-1，-1，0， 1)； β1=(2，1，0，1)，β2=(0，1，2，2)， β3=(-2，1，1，2)，β4=(1，3，1，2) 并求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，又如向量γ在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(1，0，0，0)，求γ在基β1，β2，β3，β4下的坐标．
习题二 向量的内积 一、设n 维实向量βα,的内积组成的行列式),(),() ,(),(),(ββαββαααβα= G ，则0),(=βαG 的 充要条件是βα,线性相关. 二、利用施密特的正交化方法，试由向量组α1=????? ??110，α2=????? ??011，α3=????? ??101构造出一组标准正 交基． 三、已知向量α=(1，2，-1，1)、β=(2，3，1，-1)、γ=(-1，-1，-2，2)，求α、β、γ的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)． 四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n ααα,,,21 化为正交向量组n βββ ,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.
第三章 空间向量与立体几何
第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
线性代数第三章向量与向量空间
线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα 则T )1,0,1(21-=-αα T )2,1,0(23321=-+ααα 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α= 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2
三．计算题： 1． 设向量()T k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T k k ),,(21=β，试问当k 为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一 （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示 (向量组的秩ppt) 21123 31 211131********* 100(3)1 1 1 3 1 1 0r r c c c r r k k k k k k k k k k k k k -++-++++=++= =++++ 2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，T a ),,,(84214+=α T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示 （2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。 31413212421 111 11111 1201121011212324301 2133 518502 252111111 02100112101121001 000102000100 0010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ???? ? ? --- ? ? ? ? +++- ? ? +-+???? -???? ? ? --- ? ?- ? ++- ? ++???? ? ? (1) a= -1,b ≠0.
第三章空间向量与立体几何
第三章空间向量与立体几何综合测试题 时间：120分钟 满分：150分 学号： 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ） A. ()()1,0,0,2,0,0a n ==- B. ()()1,3,5,1,0,1a n == C. ()()0,2,1,1,0,1a n ==-- D. ()()1,1,3,0,3,1a n =-= 2.已知向量(0,2,1),(1,1,2),==--a b 则a b 与的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．已知向量AM ＝(0，1，21)，＝(－1，2 1 ，1)，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4) D ．(－3,2，－4) 4．若{} ,,a b c 构成空间的一组基底，则( ) A. ,,b c b c a +-不共面 B. ,,2b c b c b +-不共面 C. ,,b c a a b c +++不共面 D. ,2,a c a c c +-不共面 5．在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，若OG ????? =1 3 OA ????? +x 4 OB ????? +x 4 OC ????? ，则使G 与M 、N 共线的x 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4 3 6.如图1，在三棱锥A -BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB=DC ，E 为BC 中点，则AE ????? ·BC ????? 等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.若a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 11b a ＝22 b a ＝3 3b a 是a ∥b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 8.已知a =（-2，1，3），b ? =（-1，2，1），若a ⊥(a -λb ? )，则实数λ的值为（ ） A.-2 B.-143 C.14 5 D.2 9.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的法向量为n =（2，-2,1），O 为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则 P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．1 10.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A -BD -C ，若AB=1，3,7 2 AC =,则平面ABD 与平面BCD 夹角为 （ ） A 030 B 060 C 090 D 0120
第三章 随机向量课后习题参考答案
第三章 随机向量 1．解： 222247112121 322322447722211323224 4 7722324 7{0,0}0; {0,1}0; 1 {0,2}; {1,0}0; 356 6 {1,1}; {1,2}; 35353 12{2,0};{2,1};35353 {2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================31324 731324 72 {3,0};35 2 {3,1};{3,2}0 35 C C X Y C C C P X Y P X Y C =========== 2．解： 24 2 1 3 02 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1 1 81 8 13 (2){1,3}[(6)]88 1127 (3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)8232 1(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞ +∞ -∞ -∞ +∞+∞==--=∴=∴= <<=--= <=+∞=--=-= +≤=--?? ???? ???2422020112 (46)823x x x dx -=-+= ??? 3．解： 201 2 4.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0x X y Y y x dy x x x f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞ -∞ +∞ -∞ ?-=-≤≤? ==? ?? ?-=-+≤≤? ==??? ???? 其它 其它 4．解： 00()(,)00()(,)0 y x x X y y y Y e dy e x f x f x y dy e dx ye y f y f x y dx +∞ --+∞ -∞ --+∞ -∞ ?=>? ==? ???=>?==? ?????? 其它其它 5． 解：
第三章 空间向量与立体几何2
第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行 C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C [解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA → ＋yAB →＋zAC → 且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对． 3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则
向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° [答案] A [解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． 4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC → ，则λ等于( ) A ．28 B ．－28 C ．14 D ．－14 [答案] D [解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC → ＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D. 5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2 －e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3 D ．5 [答案] B [解析] (6a )·(1 2b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2 ＝3. 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB → ＝a ，
自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间 一、单项选择题 1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关 2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法 惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列命题中错误．． 的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则 EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A . 1010 B . 15 C .31010 D . 3 5 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ?=， _ _ D _ A _ P _ N _ B _ M
第三章n维向量与向量空间
第三章 n 维向量与向量空间 §3—1 §3—2 §3—3 一、设向量(4,7,3,2)α=-，(11,12,8,58)β=-，求满足322(5)γαβγ-=-的向量γ. 二、选择题： 1．设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则 ( ) (A ) 123,,a a a 中必有零向量 (B ) 12,αα必线性相关 (C ) 23,αα必线性无关 (D ) 1234,,,αααα必线性相关 2．若n 维向量组12,,,m αααL 线性无关，则 ( ) (A ) 组中增加一个向量后也线性无关 (B ) 组中去掉一个向量后仍线性无关 (C ) 组中只有一个向量不能由其余向量线性表示 （D ）m n > 3．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则 (A ) 每个向量增加第(1)n +个分量后也线性无关； (B ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性无关； (C ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性相关； （D ）每个向量增加第(1)n +个分量后也线性相关 4．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则必有 ( ) (A ) m n < (B ) m n > (C ) m n ≤ (D ) m n ≥ 三、判断题： 1．若m n >，则n 维向量组1,2,,m αααL 线性相关． ( ) 2．若向量组U 线性相关，则U 的任意一个部分组都线性相关． ( ) 四、判别下列向量组的线性相关性： 1．1(1,1,2)α=，2(2,4,5)α=，3(1,1,0)α=-，4(2,2,6)α=． 2．1(1,1,0)α=-，2(2,1,1)α=，3(1,3,1)α=-． 3．1(1,1,3,1)α=，2(4,1,3,2)α=-，3(1,0,1,2)α=-． 五、证明： 1．若向量组12,,,m αααL 线性无关，而且β不能由12,,,m αααL 线性表示，则向量组12,,,,m αααβL 线性无关．
第三章 空间向量与立体几何单元总结(解析版)
第三章 空间向量与立体几何单元小结 [核心速填] 1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA → ＋μOB → ，且λ＋μ＝1. (3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b . (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)． (5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．空间向量运算的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)重要结论： a ∥ b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．模、夹角和距离公式 (1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a ·a ②cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 d AB ＝|AB → |4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α?u ∥v ?u ＝k v ?(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．
高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量基本定理学案苏教版选修
空间向量基本定理 学习目的： ⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出 ⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物． 学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 学习难点：空间作图． 学习过程： 一、复习引入： 1.空间向量的概念： 2.空间向量的运算 3.平面向量共线定理 4.共线向量 如果 ， 则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直 线，也可能是平行直线． 5.共线向量定理： . 6.向量与平面平行： . 7.共面向量定理： . 二、讲解新课： 1.空间向量基本定理： 证明：（存在性） （唯一性）
说明: (1)若三向量123,,e e e 不共面,则所有空间向量组成的集合是123,,}{|,e e e x y z R p p x y z ∈=++，这个集合可以看作由向量123,,e e e 生成的,所以我们把123,,{}e e e 叫做空间的一个基底，123,,e e e 叫做基向量; (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底; (3)若空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用,,{}i j k 表示. 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++ 三、讲解范例： 例1、在正方体'''B D CA OADB -中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是'OD 与CE 的交点，试 分别用向量OC OB OA ,,表示向量.,'OM OD 例2、已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ，MG
第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 高效演练知能提升 A 级基础巩固 一、选择题 1 .下列说法中正确的是（ ） A. 任意两个空间向量都可以比较大小 B. 方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小 C. 空间向量的大小与方向有关 D. 空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有 D 正确. 答案：D 2.在平行六面体 ABCCA' B C D'中，与向量ADf 等的向量共有（ ） A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 答案：C T T T A.AB= BC + CD T T T T B. AB- D3 BC = AD T T T T C. AD= AB+ BO DC D. BC= BD- DC 解析：AB- DO BC= AB+ BO CD= AO CD= AD 答案：B 4 .已知正方形 ABC 啲边长为1,设AB= a , BC= b , AC= c ,则| a + b + c |等于（ ） A. 0 B . 3 C . 2+ 2 D . 2 2 解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解， |a + b + c | = 2| AC = 2 2. 答案：D 5.在正方体 ABCD ABGD 中，下列选项中化简后为零向量的是 （ ） f f 3.已知空间向量 AB BC CD T AD 则下列结论正确的是
解析：在 C 选项中，AB+ AD + CN =（AB+ A D ） + CA= A C + CA= 0. 答案：C 二、填空题 (2)写出模为 5的所有向量 解析：⑴由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量AA , AA , BB , A B , A C , CC, D D , DD 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共8个. CB, BC , A C, CB . 答案：（i ）8 （2） AD , D A , AD, D A , CB , A A A 8.如图，在直三棱柱 ABGABC 中，若CA= a , CB= b , CC = C ,则A i B = b , c 表示）. A A A A A A 解析：A i B = CA CA = Cl （CA^ CC ） = — a + b — c . 答案：一a + b — c 三、解答题 9 .在长方体 ABCDAB G D 中，画出表示下列向量的有向线段. C. AB+ A i D + CA i D .A C > C B — A B 6 ?两个非零向量的长度相等是两个向量相等的 条件. 答案：必要不充分 7.如图，在以长、宽、高分别为 AB^4，AD= 2, AA i = 1的长方体 ABCDABCD 中的八个 顶点的两点为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有 个 . (2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为 5，故模为 5的向量有 AD , D 1A, AD, D A , BC , BC, CB