第三章 向量空间

第三章 向量空间
习题一 向量空间
一、证明集合
⎭⎬⎫⎩⎨⎧
==∑=-n
i i n n x x x x x V 11210)
,,( 是一个向量空间，并求它的一组基及其
维数.
二、在四维向量空间R 4内，证明
α1=(1，1，1，1)，α2=(1，1，-1，-1)，
α3=(1，-1，1，-1)，α4=(1，-1，-1，1)
构成一组基，并求向量β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标．
三、设4
R 中的两个向量T )1,0,2,1(1=α,T
)1,1,1,1(2-=α线性无关，试将其扩充为4
R 的一组基.
四、在线性空间V 4中，证明下列两组向量各构成一组基．
α1=(1，2，-1，0)，α2=(1，-1，1，1)， α3=(-1，2，1，1)，α4=(-1，-1，0， 1)； β1=(2，1，0，1)，β2=(0，1，2，2)， β3=(-2，1，1，2)，β4=(1，3，1，2)
并求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，又如向量γ在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(1，0，0，0)，求γ在基β1，β2，β3，β4下的坐标．
习题二 向量的内积
一、设n 维实向量βα,的内积组成的行列式),(),()
,(),(),(ββαββαααβα=
G ，则0),(=βαG 的
充要条件是βα,线性相关.
二、利用施密特的正交化方法，试由向量组α1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110，α2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011，α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101构造出一组标准正
交基．
三、已知向量α=(1，2，-1，1)、β=(2，3，1，-1)、γ=(-1，-1，-2，2)，求α、β、γ的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)．
四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n ααα,,,21 化为正交向量组n βββ ,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.
五、设ξ1，ξ2，ξ3，ξ4为R4的一组标准正交基，又设
ξ1=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η+
+
+
ξ2=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η-
-
+
ξ3=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η-
+
-
ξ4=
) (
2
1
4
3
2
1
η
η
η
η+
-
-
试证η1，η2，η3，η4也是R4的一组标准正交基。

习题三 正交矩阵
一、若B A ,均为正交矩阵，则AB 是正交矩阵，并问B A +是否是正交矩阵，并证明你的结论.
二、设A 为正交矩阵．试证其伴随矩阵A *为正交矩阵．
三、已知正交矩阵A 的前3列依次为T
⎪
⎭⎫ ⎝⎛---,21,21,21,21
，
T
⎪⎭⎫ ⎝⎛---,21,21,2
1,21，T
⎪⎭⎫ ⎝⎛---,21,21,
21,21
，求矩阵A
四、已知
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
d
c
b
a
A
7
2
7
3
7
6
7
2
7
3
为正交矩阵，求d
c
b
a,
,
,的值.
五、试证：若A是实对称矩阵，T正交矩阵，则AT
T1-也是对称矩阵.
六、已知A是正交矩阵，互换A中的i行与j行得到矩阵B，证明B是正交矩阵.
自测题
一、选择题
1．由3
R 的基321,,ξξξ到2213,,ξξξξ-基的过渡矩阵P 为
(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001；（B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110010001；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001110010；（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001110010. 2．B A ,均为n 阶正交矩阵，则
（A ）B A AB +,都是正交矩阵 ； （B ）AB 是正交矩阵，B A +不是正交矩阵； （C ）AB 不是正交矩阵，B A +是正交矩阵； （D ）B A AB +,都不是正交矩阵. 3．设H 是正交矩阵，则
（A ）E H =； （B ）1=H ； （C ）1
-=H H T ； （D ）0〉H .
4．n 维列向量n ααα 21,是n
R 的标准正交基的充要条件是 （A ）两两正交； （B ）均为单位向量；
（C ）线性无关； （D ）
E n T
n =),(),(2121αααααα . 5．设
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111A ，P 是二阶正交阵，且⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=-20001
AP P ，则=P （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-212
12121； （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112121； （C ）⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-21212121； （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11212
1.
6．4
R 的向量)1,0,0,0(=α在基
)1,0,1,1(1=ε，)1,3,1,2(2=ε，)0,0,1,1(3=ε，
)1,1,1,0(4--=ε之下的坐标是
（A ）)0,1,0,1(； （B ）)0,1,0,1(-； （C ）)0,1,0,1(--； （D ）)10,0,1(-. 7．设向量)3,,2,1(--=a α，)1,5,2,3(-=β，且1),(=βα，则
=α
（A ）52； （B ）53； （C ）51-； （D ）53
-
.
二、填空题
1.在向量空间V 中，运算规律：(k +l )α= k α+l α，等号左边的加号代表________加法运算，右边的加号代表________加法运算．
2.在向量空间V 中，运算规律：(kl )α= k (l α)，等号左边括号内的积代表________运算，右边括号内的积代表________运算．
3.已知三维向量空间的一组基是α1=(1，0，1)，α2=(1，-1，0)，α3=(2，1，1)，则向量β=(3，2，1)在这组基下的坐标是________．
4.与α1=(1，-1，0，2)，α2=(2，3，1，1)，α3=(0，0，1，2)都正交的单位向量是________．
5.已知α1，α2，α3与β1，β2，β3是三维向量空间的两组基，且β1=α1+2α2-α3，β2=α2+α3，
β3=α1+3α2+2α3，则由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵是________．
6.所有2阶方阵的向量空间V 的一组基是________，dimV =________．
7.设A 是正交矩阵，则A 的行向量组是________向量组．
8.设ξ1，ξ2，ξ3为三维向量空间的一组基，则由基ξ1，ξ2，ξ3到ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3的过渡矩阵是________．
三、计算题
1．将向量T ），，，，12011(1-=α，T
)0,1,4,2,3(2-=α，T )1,1,4,1,4(3=α，
T )2,5,4,4,1(4--=α扩充成5R 一组基，并化为一组标准正交基.
2． 2． 求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=+-+=-++0
32202230
432143214321x x x x x x x x x x x x 的解空间的一组标准正交基.
3． 已知2R 两个基)1,1(1=α，），（112-=α和），（），，（133121==ββ求由基2
1αα、到基21ββ、的过渡矩阵和坐标变换公式.
4．T
T T ），，，（、），，（、），，（1111101110321===
ααα是3R 一组基，试用施密特正交化方法将其化成3
R 的标准正交基.
5．4
R 中两个向量)1,0,1,1(1=α，)0,1,1,1(2-=α求非零向量43,αα使21,αα，43,αα正交.
6． 给定3
R 的基T
T T ），，（、），，（、735101)2,2,1(321--=-=-=ααα （1）将其化为3
R 的一组标准正交基321,,ξξξ；
（2）求向量T
)1,,1,1(=α在标准正交基321,,ξξξ之下的坐标.
四、证明题
1．α与321,,βββ都正交，试证α与321,,βββ任意线性组合均正交.
2．若21,αα，43,αα是3
R 一组标准正交基，证明：
)
744(91
)
48(91
)
48(91321332123211αααβαααβαααβ+--=-+-=--=
也是的一组正交基.
3．21,αα是2
R 一组基212211212211352723ααηααηααξααξ+=+=+=+=、、、. 证明：21,ξξ与21,ηη都是2
R 的基，并求21,ξξ到21,ηη过渡矩阵.
4．A 是正交矩阵，则*
A 也是正交矩阵.
5．A 是n 阶正交矩阵，若1-=A ，则0=+A E .
6．证明：若n 维向量空间向量α与任意n 维向量都正交，则α是零向量.。