高中数学直线方程公式
高中数学中的直线方程
高中数学中的直线方程直线方程是高中数学中的重要内容之一，它是用来描述二维平面上的直线的数学表达式。
直线方程的研究对于解决实际问题和发展数学基础知识都具有重要的意义。
本文将从一元线性方程、斜率截距方程以及点斜式方程等方面，介绍高中数学中的直线方程。
一、一元线性方程一元线性方程是用来描述具有直线形状的函数关系的方程，表达形式为y = ax + b。
其中，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
在解析几何中，斜率是一个十分重要的概念。
它表示直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值，用数学表达式表示为a = Δy/Δx。
斜率的正负决定了直线的倾斜方向，大于1或小于-1的斜率表示直线陡峭，而处于0和1之间或-1和0之间的斜率表示直线较为平缓。
截距表示直线与坐标轴的交点位置，y轴截距表示直线与y轴的交点的纵坐标值。
根据直线方程y = ax + b，可以通过截距推断直线与y 轴的交点，即(0, b)。
二、斜率截距方程斜率截距方程是描述直线方程的常见形式。
其中，斜率a和截距b 都是直线的特征参数，根据直线上一个点的坐标(x₁, y₁)和斜率a，可以利用斜率截距方程y = ax + b得到直线的方程。
斜率截距方程的形式为y = kx + d，其中k表示斜率，d表示截距。
通过给定直线上的一个点以及其斜率，可以很方便地求得该直线的方程。
斜率截距方程形式简单清晰，常用于直线的分析和计算中。
三、点斜式方程除了使用斜率截距方程外，点斜式方程也是描述直线方程的一种常见形式。
点斜式方程利用直线上的一个点和该直线的斜率来表示直线的方程，形式为(y-y₁) = k(x-x₁)。
在点斜式方程中，(x₁, y₁)表示直线上的一个点，k表示直线的斜率。
通过给定直线上的一个点以及其斜率，可以轻松推导得到直线的方程。
点斜式方程的形式灵活多变，适用于各种直线的描述和计算。
与斜率截距方程相比，点斜式方程更便于根据给定条件确定直线的方程。
四、直线方程的应用直线方程在实际问题中有广泛的应用。
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
高中数学-直线的方程的几种形式
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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
人教版高中数学必修23 直线的一般式方程牛老师
2.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以
看成是平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的
集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合
就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一
一对应的.
【做一做1】 若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件
(2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 已知直线
l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.
(1)若 l1⊥l2,求实数 a 的值;
(2)当 l1∥l2 时,求实数 a 的值.
解:方法一:当 a=2 时,显然 l1 与 l2 相交且不垂直,
选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用
截距式.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般
式方程:
(1)斜率为0,在y轴上的截距为2;
(2)经过A(-2,1),B(1,0)两点.
解:(1)由斜截式得 y=2,即 y-2=0.
1-0
1
(2)方法一:k= -2-1 = − 3 , 代入点斜式得
因为直线 l 与直线 2x+y-10=0 垂直,
1
所以 k·(-2)=-1,所以 k= 2.
又因为 l 经过点 A(2,1),
1
所以所求直线 l 的方程为 y-1= 2 ( − 2),
即 x-2y=0.
题型一
题型二
高中数学-直线的方程
直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。
高考数学直线方程知识点总结大全
高考数学直线方程知识点总结大全数学的知识点很乱很杂，高考数学题总能糅合进很多知识点，学好基础知识点很重要，下面就是小编给大家带来的高考数学直线方程知识点总结大全，希望大家喜欢！高考数学直线方程知识点总结1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。
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直线方程公式
1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠
)
②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。
点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。
2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11
1
212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直
【1】两直线平行的判断
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。
（2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。
（3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。
（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。
11112222
||A B C l l A B C ⇔=≠。
【2】两直线垂直的判断
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。
（2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。
（3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。
（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。
【3】两直线相交的判断
（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
（2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。
（3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
（4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。
【4】两直线重合的判断
当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0（或A 1C 2-A 2C 1=0）时，两直线重合。
4..直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式 112121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
5.“到角”及“夹角”公式 ：
（1）夹角公式（1l 与2l 的角） (1)2121
tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212
tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是
2
π. （2）1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212
tan A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是
2
π. 6.对称问题
【1】关于点对称问题
（1）求已知点关于点的对称点
P （x 1，y 1）关于点Q （x 0，y 0）的对称点为（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）。
（2）直线关于点的对称直线
设l 的方程为：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）和点P （x 0，y 0），求l 关于P 点的对称直线方程。
设P 1（x 1，y 1）是对称直线l 1任意一点，它关于P （x 0，y 0）的对称点（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）在直线l 上，代入得A （2 x 0- x 1）+B （2 y 0- y 1）+C=0，即Ax 1+By 1+C 1=0为所求对称直线的方程。
与已知方程平行。
常见和对称结论有：设直线l ：Ax+By+C=0：
※l 关于x 轴的对称直线是Ax+B （-y ）+C=0
※l 关于y 轴的对称直线是A （- x ）x+By+C=0
※l 关于原点的对称直线是A （- x ）x+B （-y ）+C=0
※l 关于y=x 的对称直线是Bx+Ay+C=0
※l 关于y=-x 的对称直线是A （-y ）+B （- x ）+C=0
【2】关于直线对称问题
（1）点关于直线的对称点
※设P （x 0，y 0），l ：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即PQ ⊥l ，PQ 的中点在l 上，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++*++*-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*--02210000C y y B x x A B A x x y y 可得Q 点坐标。
※点A （x ，y ）关于直线x+y+c=0的对称点A 1的坐标为（-y-c, -x-c ），关于直线x-y+c=0的对称点A 2的坐标为（y-c, x+c ），曲线f （x,y ）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f （-y-c, -x-c ）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f （y-c, x+c ）=0。
※一般地，点A （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为A 1（a,-b ），关于y 轴的对称点的坐标为A 2（-a,b ），关于y=x 轴的对称点的坐标为A 3（b,a ），关于y=-x 轴的对称点
的坐标为A 4（-b,a ），关于x=m 轴的对称点的坐标为A 5（2m-a,b ），关于y=n 轴的对称点的坐标为A 6（a,2n-b ）。
（2）直线关于直线的对称直线
若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：
※若a 、b 相交，则l 是a 、b 夹角的平分线；
※若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时，AB ⊥l 且AB 中点D 在l 上；
※a 以l 为轴旋转1800一定与b 重合。
7、两点间的距离公式
若点()y x A 21, ， ()y x B 2
2, 则 ()y y x x 1212
,--= 即 终点坐标-始点坐标 若(
)y x y x a 22,+=
⇒= 8.点到直线间的距离公式
点()y x p 0
0,到 l : Ax+By+C=0的距离为 点到几种特殊直线的距离：
※点P （x 0，y 0）到x 轴的距离d=0y ，
※点P （x 0，y 0）到y 轴的距离d=0x ，
※点P （x 0，y 0）与x 轴平行的直线y=a 的距离d=a y -0，
※点P （x 0，y 0）与y 轴平行的直线x=b 的距离d=b x -0。
9.平行线间的距离公式
0:11=++C l By Ax 与 0:22=++C l By Ax ()c c 2
1≠ 的距离为B A c c d 222
1+-=
10．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为
00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
11、求最大值与最小值
在直线l 上求一点P 使PB PA +取得最小值时，“同侧对称异侧连”，即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值时，“异侧对称同侧连”。