广东省中山一中、翠园中学、宝安中学2010届高三联考数学试卷(理科)

x广东省中山一中、翠园中学、宝安中学2010届高三联考数学(理科) 新人教版本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分；第Ⅱ卷为9-21题，共110分.全卷满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题纸上． 2． 第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上． 3．考试结束后，监考员将答题纸收回．第Ⅰ卷 （本卷共计40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．函数1()(1)f x x x=>的值域是（ ） A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 2．巳知全集U R =，i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1){,,,}i N i i i i+=的关系韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 3．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图所示，则()g x ＝（ ）A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D. 2log ()x --5．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos2a b+=A.0,B.2, C.1-, D.1. 6．ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++= ,且OA OB OB OC ⋅=⋅．则ABC △一定是A ． 钝角三角形B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰三角形7． 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ） A ． 甲的产值小于乙的产值 B ． 甲的产值等于乙的产值C ． 甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.则下列说法中正确命题的是（ ）A.114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； B.()f x 是奇函数；C.()f x 在定义域上单调递增；D.()f x 的图象关于y 轴对称．M B A 图1 图2 图3中山一中、翠园中学、宝安中学高三联考数 学 (理科) 第Ⅱ卷 （本卷共计110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =10. 对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则0sin xdx π⎰=______.11．△ABC 的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为________.12．已知不等式|2||1|-++x x ≥m 的解集是R ，则实数m 的取值范围是__________. 13．已知一系列函数有如下性质：函数1y x x =+在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；函数2y x x =+在上是减函数，在)+∞上是增函数；函数3y x x=+在上是减函数，在)+∞上是增函数；………………利用上述所提供的信息解决问题：若函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值是___________. （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线121x ty t =-+⎧⎨=--⎩ （t 为参数）被曲线13c o s 13s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数，R θ∈）所截，则截得的弦的长度是____________. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。

过P 作⊙O的切线，切点为,C PC =，若30CAP ︒∠=，则⊙O 的直径AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知全集,U R =集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，{}03422<+-=a ax x x C ，若()U C A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+.（１）如图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（２）如果t 在任意一段1100秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？18．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，设n S 为它的前n 项和，若15160,0,S S ><且点3(3,)A a 与5(5,)B a 都在斜率为－2的直线l 上， （Ⅰ）求1a 的取值范围； （Ⅱ）指出15121215,,,S S S a a a 中哪个值最大，并说明理由．19. (本小题满分14分) 设向量(sin ,1),(1,cos )a x b x == ，记()f x a b =⋅，()f x '是()f x 的导函数.（I ）求函数2()()()()F x f x f x f x '=+的最大值和最小正周期；（II ）若()2()f x f x '=，求2212sin cos sin cos xx x x+-的值.20．（本小题满分14分）已知函数(),()x k f x e x x R -=-∈（1）当0k =时，若函数1()()g x f x m=+的定义域是R ，求实数m 的取值范围；（2）试判断当1k >时，函数()f x 在(,2)k k 内是否存在零点.21．（本小题满分14分）已知曲线1C ：2x y e e =+（e 为自然对数的底数），曲线2C ：2ln y e x =和直线l ：2y x =．（1）求证：直线l 与曲线1C ，2C 都相切，且切于同一点；（2）设直线)0(>=t t x 与曲线1C ，2C 及直线l 分别相交于,,M N P ，记()|||f t P M N P =-，求)(t f 在33[,]e e -上的最大值；（3）设直线mx e =（m 为自然数）与曲线1C 和2C 的交点分别为m A 和m B ，问是否存在正整数n ，使得00n n A B A B =？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据e ≈2.7) ．中山一中、翠园中学、宝安中学高三联考数 学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 二、填空题：9. 2 10. 22 11. 19- 12. (,3]-∞ 13. 214 . 515 . 4 三、解答题16．解：{}|23A x x =-<<，{}|4,2B x x x =<->或，{}|4,2A B x x x =<->- 或，{}()|42U A B x x =-≤≤- uu ð，而{}|()(3)0C x x a x a =--< .…………7分 (1) 当a>0时，{}|3C x a x a =<<，显然不成立 …………9分 (2) 当a=0时，C =∅，不成立 …………10分 (3) 当a<0时，{}|3C x a x a =<<，要使()U C A B C ⊆ ，只需⎩⎨⎧->-<243a a ，即342-<<-a …………12分17． 解（１）由图可知 A ＝300 …………………1分设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175…………………3分∴ ω＝2T π＝150π. …………………4分又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π. …………………6分 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+. …………………7分（２）依题意，周期T ≤1100，即2πω≤1100，（ω>0）…………………10分∴ ω≥200π＞628，又ω∈N *，故最小正整数ω＝629. …………………12分 18．解（Ⅰ）由已知可得53253a a -=--,则公差2d =-, …………………2分 15111161115141515(14)02141516151616(15)02S a d a a S a d a ⨯⎧=+⨯=->⎪⎪∴⇒<<<⎨⨯⎪=+⨯=-<⎪⎩…………………7分（Ⅱ）最大的值是88S a …………………8分 158150S a => 16898()0S a a =+< …………………10分 890,0a a ∴>< 即8S 最大 …………………11分又当18i ≤≤时，0i i S a >；当915i ≤≤时，0i iSa <，数列{}n a 递减…………………13分 所以，89158121289158S S S S S S a a a a a a ≤≤≤≥≥⋅⋅⋅≥⇒ 最大…………………14分 19.解：（1）()sin cos f x x x =+ …………1分()cos sin f x x x '∴=-， …………2分∴2()()()()F x f x f x f x '=+22cos sin 12sin cos x x x x =-++ 1sin 2cos 2x x =++1)4x π=++………5分∴当2242x k πππ+=+8x k ππ⇒=+（k Z ∈）时，max ()1F x =最小正周期为22T ππ== ………7分 （2）∵()2()f x f x '=sin cos 2cos 2sin x x x x ⇒+=-∴cos 3sin x x =1tan 3x ⇒=…………10分 ∴22222212sin 3sin cos 3tan 123cos sin cos cos sin cos 1tan 3x x x x x x x x x x x+++====--- ……14分 20、解：（1）当0k =时，()x f x e x =-，()1xf x e '=-∴()f x 在(),0-∞上单调减，在[)0,+∞上单调增. ∴min ()(0)1f x f ==, ………5分,()1()10x R f x f x ∀∈≥⇔-≥ 成立，1m ∴>-………7分（2）当1k >时， ()x kf x e x -=-，()10x k f x e -'=->在(,2)k k 上恒成立. …9分∴ ()f x 在(,2)k k 上单调增.(且连续)且()10k kf k ek k -=-=-<，…………10分2(2)22k k k f k e k e k -=-=-(2)20k f k e '=->,(2)f k 在1k >时单调增，∴(2)20f k e >->………13分∴由零点存在定理知，函数()f x 在(,2)k k 内存在零点. …………14分21． 解（1）证：2x y e e=+ 2'x y e = 由2'2x y e == 得e x =…………2分 在1C 上点)2,(e e 处的切线为22()y e x e -=-，即2y x = …………3分 又在2C 上点)2,(e e 处切线可计算得22()y e x e -=-，即2y x =∴直线l 与1C 、2C 都相切，且切于同一点（,2e e ） …………………4分（2）22()2(22ln )2ln 4t t f t e t t e t e t t e e e=+---=+-+222212242()'()240t t e e t t e f t e e t e t e t+--=+-==≥ …………………6分 ∴)(t f 在[]33,e e -上递增 ∴当3t e =时e e e e e e e ee tf 744ln 2)(35336max+-=+-+=……………8分 （3）ne e ee e e e e e B A n nn n n 2)(ln 2)(22-+=-+= 设上式为)(n g ，假设n 取正实数，则ee n g n )()('2=·e e e e e n )(22ln 222-=-当)1,0(∈n 时，0)('<n g ，()g n ∴递减；当),1(+∞∈n ，0)('>n g ，()g n ∴递增． ……………………………………12分ee B A g 1)0(00+==022)1(=-=e e g ee e e e e e e e e g 1237.234)2(233+>>-≈-=-+=∴不存在正整数n ，使得)0()(g m g =即00B A B A n n = …………………………………………14分。