2019-2020广东省深圳市宝安中学高一(下)晚测数学试卷
广东省深圳市宝安中学(高中部)2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析
广东省深圳市宝安中学(高中部)2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】综合题．【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．【点评】此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．2. 已知f(e x+e-x+1)=e2x+e-2x,则f(x)=( )A.x2+2(x≥2)B.x2-2(x≥2)C.x2-2x(x≥3)D.x2-2x-1(x≥3)参考答案：D3. 已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，）C．（，）D．[，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质可知，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，从而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．【解答】解：令x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）为奇函数，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（﹣∞，）．故选A．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，分析得到f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数是关键，属于中档题．4. 如图，定点A和B都在平面内，定点 C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点参考答案：B5. 下列命题中正确的是 ( )A．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B．平行于同一直线的两个平面平行．C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．参考答案：A6. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种参考答案：C【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果。
2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π43．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ） A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1）4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π4) B ．g(x)=2√2cos(3x +π4) C ．g(x)=2√2sin(3x −π4)D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C6．在△ABC 中，已知a +b =atanA +btanB ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√358．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5二、多选题9．已知复数z 满足z ﹣2i ＝zi +4，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 的模为√10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为﹣1+3iD ．(z−13)2023=−i10．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√212．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6 B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°= ．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ ．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD 区域建一处湿地公园．已知∠DAB ＝90°，∠DBA ＝45°，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝60°，AB =2√2千米，则CD ＝ 千米．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24．上面说法中所有正确的序号是 ．四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴． （2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围．21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE的体积．（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE？说明理由；22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．若i （1﹣z ）＝1，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i解：i （1﹣z ）＝1，则1﹣z =1i =−i ，故z ＝1+i ，其虚部为1． 故选：C ．2．平面向量|a →|=1，|b →|=4，(2a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解：设a →与b →的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵(2a →+b →)⊥a →，∴(2a →+b →)⋅a →=2a →2+a →⋅b →=0， ∵|a →|=1，|b →|=4，∴2+1×4×cos θ＝0，解得cos θ=−12， ∴a →与b →的夹角是2π3．故选：C ．3．已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则a →在b →上投影向量的坐标为（ ）A ．（√22，√22） B ．（12，12）C ．（√2，√2）D ．（1，1） 解：向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，b →=（1，1），则|b →|=√12+12=√2，a →⋅b →=2×√2×cos π3=√2，故a →⋅b →|b →|×b→|b →|=√2√2×√2=(√22，√22)．故选：A ．4．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，ω＞0，A ＞0）的部分图像如图所示，若将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）的解析式可以为（ ）A ．g(x)=2√2sin(3x +π)B ．g(x)=2√2cos(3x +π)C ．g(x)=2√2sin(3x −π4) D ．g(x)=−2√2cos(3x −π4)解：由图知，最小正周期T =43（11π12−5π12）=2π3，所以ω=2πT=3， 又f （11π12）＝A ，所以A sin （3•11π12+φ）＝A ，即sin （11π4+φ）＝1，所以11π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π−9π4，k ∈Z ，当k ＝1时，φ=−π4，此时f （x ）＝A sin （3x −π4）， 因为f （π2）＝﹣2，所以A sin （3•π2−π4）＝﹣2，即A sin5π4=−√22A ＝﹣2， 所以A ＝2√2，所以f （x ）＝2√2sin （3x −π4），因为将f （x ）的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，所以g （x ）＝2√2sin[3（x +π6）−π4]＝2√2sin （3x +π4）． 故选：A ．5．如图，已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，点M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列平面中与BB 1垂直的平面是（ ）A ．平面A 1C 1DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面AB 1C解：延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1交于一点P ，取PB 中点Q ，连接AQ ，CQ ，如图所示：因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以P ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱锥， 因为AB ＝6，A 1B 1＝4，BB 1＝2，且△P A 1B 1∽△P AB ， 所以A 1B 1AB=PB 1PB，即46=PB 1PB 1+2，解得PB 1＝4，所以PB ＝P A ＝AB ＝6，即△P AB 为等边三角形，因为Q 为PB 中点，所以AQ ⊥PB ，且QB ＝3，同理可得CQ ⊥PB ， 因为BB 1＝2，所以QB 1＝1，即QB 1QB=13，因为M ，N 为A 1B 1，B 1C 1中点，所以MB 1＝NB 1＝2， 故QB 1MB 1=12=QB AB，QB 1NB 1=12=QB CB，因为∠QB 1M ＝∠QBA ，∠QB 1N ＝∠QBC ， 所以△QB 1M ∽△QBA ，△QB 1N ∽△QBC ， 所以∠QMB 1＝∠QAB ，∠QNB 1＝∠QCB ， 因为MB 1∥AB ，NB 1∥CB ， 所以M 在AQ 上，N 在CQ 上，因为AQ ⊥PB ，CQ ⊥PB ，所以AM ⊥PB ，CN ⊥PB ，即AM ⊥BB 1，CN ⊥BB 1，因为AM ⊂平面AMCN ，CN ⊂平面AMCN ，AM ∩CN ＝Q ，所以BB 1⊥平面AMCN ． 故选：C ．6．在△ABC 中，已知a +b =a tanA +btanB，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形解：因为a +b =atanA +btanB ， 所以sin A +sin B =sinAsinAcosA+sinBsinB cosB=cos A +cos B ，整理可得sin A ﹣cos A ＝﹣sin B +cos B ，所以√2sin （A −π4）=−√2sin （B −π4）， 又因为A ，B ∈（0，π）， 所以A −π4∈（−π4，3π4），B −π4∈（−π4，3π4），所以A −π4=−（B −π4），可得A +B =π2， 所以△ABC 的形状一定是直角三角形． 故选：B ．7．如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以B 为圆心的圆与AC 相切，P 为圆上一点，且∠ABP =2π3，若AP →=λAB →+μAD →，则λμ的值为（ ）A ．11√325B ．√325C ．13√325D ．13√35解：过点P 做PE ⊥AB 交AB 延长线于点E ，如图所示：因为矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，所以AC =√42+32=5， 因为P 为圆上一点，所以BP 为圆的半径，因为圆与AC 相切，根据△ACB 面积相等可得：12AB ⋅BC =12AC ⋅BP ，即12⋅4⋅3=12⋅5⋅BP ，解得BP =125，因为∠ABP =2π3，所以∠PBE =π3，所以BE =65，PE =6√35， 因为PE ⊥AB ，所以PE ∥AD ，因为AD ＝3，PE =6√35，所以PEAD =6√353=2√35，所以EP →=2√35AD →，因为BE =65，AB ＝4，所以AE =265，所以AEAB =2654=1310，所以AE →=1310AB →，所以AP →=AE →+EP →=1310AB →+2√35AD →=λAB →+μAD →，故{λ=1310μ=2√35，所以λμ=13√325．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ∥平面CND 1，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5解：如图，取棱BC 的中点E ，连接DE ，B 1E ，ME ， 因为M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，所以在△BCD 1中，ME ∥CD 1，由于ME ⊄平面CND 1，CD 1⊂平面CND 1， 所以ME ∥平面CND 1，因为B 1N ∥CE ，B 1N ＝CE ，所以，四边形CNB 1E 为平行四边形， 所以CN ∥B 1E ，因为CN ⊂平面CND 1，B 1E ⊄平面CND 1， 所以B 1E ∥平面CND 1，因为B 1E ∩ME ＝E ，B 1E ，ME ⊂平面B 1EM ， 所以平面B 1EM ∥平面CND 1， 由于M 为体对角线BD 1的中点，所以，连接B 1M 并延长，直线B 1M 必过D 点， 故取A 1D 1中点F ，连接B 1F ，FD ，DE ， 所以由正方体的性质易知FD 1∥CE ，FD 1＝CE ，所以四边形CD 1FE 是平行四边形，EF ∥CD 1，EF ＝CD 1， 因为ME ∥CD 1，ME =12CD 1，所以E ，F ，M 共线，即F ∈平面B 1EM ，所以四边形B 1EDF 为点P 的轨迹，故A 选项错误；由正方体的棱长为1，所以四边形B 1EDF 的棱长均为√52，且对角线为EF =√2，B 1D =√3，所以四边形B 1EDF 为菱形，周长为2√5，故CD 选项错误， 由菱形的性质知，线段MP 的最大值为12B 1D =√32，故B 选项正确． 故选：B ．二、多选题9．已知复数z满足z﹣2i＝zi+4，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为√10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为﹣1+3i D．(z−13)2023=−i解：因为z﹣2i＝zi+4，所以（1﹣i）z＝4+2i，z=4+2i1−i=2(1+i)(2+i)(1+i)(1−i)=1+3i，有|z|=√11+32=√10，故A正确；复数z在复平面内所对应的点为（1，3），位于第一象限，故B错误；复数z的共轭复数为z＝1﹣3i，故C错误；因为(z−13)2023=i2023=−i，故D正确．故选：AD．10．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A．B．C．D．解：对于A选项，由下图可知MN∥DE∥AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC，A正确．对于B 选项，设H 是EG 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB ∥NH ，MN ∥AH ∥BC ，AM ∥CH ，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误．对于C 选项，如下图所示，根据正方体的性质可知MN ∥AD ，由于AD ⊄平面ABC ，所以MN ⊄平面ABC ，所以C 错误．对于D 选项，设AC ∩NE ＝D ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以MN ∥BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，D 正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝sin x +cos x ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增B ．f （x ）的图象可由g （x ）的图象平移得到C ．f （x ）图象的对称轴均为g （x ）图象的对称轴D ．函数y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2解：f （x ）＝sin x cos x =12sin2x ，g （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），选项A ，由x ∈（0，π4）知，2x ∈（0，π2），x +π4∈（π4，π2），又函数y ＝sin x 在（0，π2）上单调递增，所以f （x ）与g （x ）均在（0，π4）单调递增，即A 正确；选项B ，f （x ）的图象需由g （x ）的图象经过平移和伸缩变换得到，即B 错误； 选项C ，令2x =π2+k 1π，k 1∈Z ，则x =π4+k 1π2，k 1∈Z ， 所以f （x ）图象的对称轴为x =π4+k 1π2，k 1∈Z ，令x +π4=π2+k 2π，k 2∈Z ，则x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴为x =π4+k 2π，k 2∈Z ， 所以g （x ）图象的对称轴均为f （x ）图象的对称轴，即C 错误； 选项D ，f （x ）max =12，g （x ）max =√2，而当x =π4时，f （x ）max =12与g （x ）max =√2可同时成立， 所以y ＝f （x ）+g （x ）的最大值为12+√2，即D 正确．故选：AD ．12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，△ABC 的面积S 满足(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，点O 为△ABC 的外心，满足AO →=λAB →+μAC →，则下列结论正确的是（ ） A ．S ＝6B ．CB →⋅AO →=10C ．|AO →|=2√213D ．λ=2−2√33解：∵(b +c)2=(4√3+8)S +a 2，且b ＝4，c ＝6， ∴b 2+c 2−a 2+2bc =(4√3+8)⋅12bcsinA ， ∴2bccosA +2bc =(2√3+4)bcsinA ， ∴48cosA +48=48(√3+2)sinA ， ∴cosA +1=(√3+2)sinA ，∴cos 2A +2cosA +1=(7+4√3)(1−cos 2A)，解得cosA =√32或﹣1（舍去），∴sinA =12，∴S =12bcsinA =12×4×6×12=6，A 正确； 如图，O 为△ABC 的外心，则：CB →⋅AO →=(AB →−AC →)⋅AO →=AB →⋅AO →−AC →⋅AO →=|AB →||AO →|⋅12|AB →||AO →|−|AC →||AO →|⋅12|AC →||AO →|=12|AB →|2−12|AC →|2=12c 2−12b 2=18−8=10，B 正确； ∵AO →=λAB →+μAC →，∴{AO →⋅AB →=λAB →2+μAB →⋅AC →AO →⋅AC →=λAB →⋅AC →+μAC →2，且AO →⋅AB →=18，AO →⋅AC →=8，AB →2=36，AC →2=16，AB →⋅AC →=bccosA =12√3， ∴{36λ+12√3μ=1812√3λ+16μ=8，化简得{6λ+2√3μ=33√3λ+4μ=2，解得λ=2−2√33，μ=2−3√32，D 正确；根据余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝16+36−2×4×6×√32=52−24√3=4(13−6√3)，∴a =2√13−6√3， 根据正弦定理，asinA=2√13−6√312=2R =2|AO →|，∴|AO →|=2√13−6√3，C 错误．故选：ABD ． 三、填空题 13．计算：sin47°−sin17°cos30°cos17°=12．解：sin47°−sin17°cos30°cos17°=sin(30°+17°)−sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°cos17°=12．故答案为：12．14．将边长为20的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A ′B ′C ′，则A ′C ′＝ 5（√6−1） ．解：由题意，在平面直角坐标系中，三角形ABC 是边长为20的正三角形，∴AB＝BC＝20，BC边上的高为ℎ=10√3，按“斜二测”画法如下图所示：∴B′D′=C′D′=12BC=10，A′D′=12ℎ=12×10√3=5√3，在三角形A'C'D'中，∠A'D'C'＝45°，由余弦定理得，A′C′=√A′D′2+C′D′2−2A′D′⋅C′D′cos∠A′D′C′=√(5√3)2+102−2×5√3×10×cos45°= 5(√6−1)．故答案为：5(√6−1)．15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB=2√2千米，则CD＝2√3千米．解：由题意可知，ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，所以2√2sin(180°−30°−45°−60°)=ACsin(45°+60°)，即2√2sin45°=ACsin45°cos60°+cos45°sin60°，所以4=AC√6+√24，所以AC=√6+√2，又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，所以△ABD为等腰直角三角形，所以AD=AB=2√2，在△DAC中由余弦定理得CD=√AC2+AD2−2⋅AC⋅ADcos∠DAC=√(√6+√2)2+(2√2)2−2(√6+√2)×2√2cos(90°−30°)=2√3，所以CD=2√3．故答案为：2√3．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B 1﹣AMCD ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ； ②存在某个位置，使得CN ⊥AB 1； ③存在某个位置，使得AD ⊥MB 1； ④四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大值为√24． 上面说法中所有正确的序号是 ①④ ．解：如图，分别取AB 1，AD 的中点为E ，F ，连接EN ，EM ，B 1F ，FM ，因为AB 1，B 1D 的中点分别为E ，N ，所以EN ∥AD ∥MC ，且EN =12AD ＝MC ，即四边形ENCM 为平行四边形，故EM ∥NC ，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN ∥平面AB 1M ，故①正确；因为∠AB 1M ＝90°，所以AB 1与EM 不垂直，由EM ∥NC 可知，AB 1与NC 不垂直，故②错误； 由题意AB 1⊥B 1M ，若AD ⊥MB 1，则由线面垂直的判定可得MB 1⊥平面AB 1D ，则MB 1⊥B 1D ， 因为AM ＝MD ，所以△AMB 1与△MB 1D 全等，则AB 1＝B 1D ＝1，此时点B 1与点F 重合，不能形成四棱锥B 1﹣AMCD ，故③错误；如图，取AM 的中点为G ，连接B 1G ，B 1G =√22，当B 1G ⊥平面AMCD 时，四棱锥B 1﹣AMCD 的体积最大，最大值为13（1+2）×1×√22=√24，故④正确；故答案为：①④． 四、解答题17．（10分）已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365， （2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911． 18．（12分）已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴．（2）当x ∈[−π8，3π8]时，求函数f （x ）的单调增区间． 解：（Ⅰ）f(x)=sinx ⋅cosx +12cos2x +12=12sin2x +12cos2x +12 =√22sin(2x +π4)+12， ∴函数f （x ）的最小正周期T =2π2=π； 由2x +π4=k π+π2，解得x =kπ2+π8，k ∈Z ； （Ⅱ）当x ∈[−π8，3π8]时，2x +π4∈[0，π]， ∴当2x +π4∈[0，π2]即x ∈[−π8，π8]时，函数f （x ）单调递增， 即函数f （x ）的单调增区间为[−π8，π8]．19．（12分）如图，在Rt △P AB 中，P A ⊥AB ，且PA =2√3，AB ＝2，将△P AB 绕直角边P A 旋转2π3到△P AC处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC （不含端点）上的一个动点．（1）是否存在点D ，使得BC ⊥PD ？若存在，求出∠CAD 的大小；若不存在，请说明理由； （2）当四棱锥P ﹣ABDC 体积最大时，求C 沿圆锥侧面到达点D 的最短距离．解：（1）∵在圆锥中，P A ⊥底面ABC ， ∴P A ⊥BC ， 若BC ⊥PD ，∵PD ∩P A ＝P ，∴BC ⊥平面P AD 即可， 则BC ⊥AD ，即可，∵AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，∴AD 是BC 边上的中垂线即可， 即当D 是弧BC 的中点时，满足BC ⊥PD ，此时∠CAD =12×2π3=π3．（2）在四棱锥P ﹣ABDC ，高P A ＝2√3是定值，要使四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，则只需要四边形ABCB 的面积最大即可，设∠CAD ＝θ，（0＜θ＜2π3），则∠BAD =2π3−θ， 设圆锥底面半径为R ，则R ＝AB ＝2，则ABCB 的面积S ＝S △CAD +S △BAD =12R 2sin θ+12R 2sin （2π3−θ）＝2sin θ+2sin （2π3−θ）＝2sin θ+√3cos θ+sin θ＝3sin θ+√3cos θ＝2√3（√32sin θ+12cos θ）＝2√3sin （θ+π6）， ∵0＜θ＜2π3，∴π6＜θ+π6＜5π6， 则当θ+π6=π2时，即θ=π3时，ABCB 的面积S 最大，此时四棱锥P ﹣ABDC 体积最大，此时D 为BC ̂的中点，其中BC ̂=2π3×AC =4π3，将圆锥的侧面展开后得到扇形如图： ∵PA =2√3，AB ＝2， ∴母线PB =√PA 2+AB 2=4，则圆心角∠CPB =4π34=π3，∵D 是BĈ的中点， ∴∠CPD =12∠CPB =π6， 则CD 2＝PC 2+PB 2﹣2PC •PB cosπ6=16+16﹣2×4×4×√32=32﹣16√3=8（4﹣2√3）＝8（√3−1）2， 则CD =√8×（√3−1）＝2（√6−√2）．20．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ﹣2b cos A ＝b ． （1）求证：A ＝2B ；（2）若A 的角平分线交BC 于D ，且c ＝2，求△ABD 面积的取值范围． 证明：（1）∵c ﹣2b cos A ＝b ，∴由正弦定理可得，sin C ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∵A +B +C ＝π， ∴sin （A +B ）＝sin C ，∴sin （A +B ）﹣2sin B cos A ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ＝sin B ， ∴sin （A ﹣B ）＝sin B ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈（0，π2），B ∈（0，π2），∴A ﹣B ∈(−π2，π2)，∵y ＝sin x 在（−π2，π2）上单调递增，∴A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ； （2）解：∵A ＝2B ，∴在△ABD 中，∠ABC ＝∠BAD ， 由正弦定理可得，AD sinB=AB sin(π−2B)=2sin2B，∴AD ＝BD =1cosB ，∴S △ABD =12AB ×AD ×sinB =12×2×1cosB×sinB =tanB ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0＜B ＜π20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，解得π6＜B ＜π4， ∴tanB ∈(√33，1)，∴△ABD 面积的取值范围为（√33，1）． 21．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE =√3．（1）求多面体ABCDE 的体积．（2）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ？说明理由；解：（1）如图，在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，垂足点为H ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BH ⊥平面ACD ，∵△ABC 和△ACD 均为正三角形，∴H 为AC 中点，DH ⊥AC ，又平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴DH ⊥平面ABC ，又BE ⊥平面ABC ，∴DH ∥EB ，又EB ⊄平面ACD ，DH ⊂平面ACD ，∴EB ∥平面ACD ，∴E 到平面ACD 的距离等于B 到平面ACD 的距离，即为BH ，又AC ＝4，BE =√3，∴BH ＝DH =2√3，∴多面体ABCDE 的体积为：V E ﹣ABC +V E ﹣ACD =13×12×4×4×√32×√3+13×12×4×4×√32×2√3=12；（2）由（1）可知四边形DHBE 为直角梯形，DH ＝2EB ，且H 为AC 中点，取DH的中点G，连接GB，则易知GB∥DE，又GB⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴GB∥平面ADE，再取AH的中点F，连接GF，FB，则GF∥AD，同理可证GF∥平面ADE，又GF∩GB＝G，∴平面BGF∥平面ADE，又BF⊂平面BGF，∴BF∥平面ADE，∵H为AC中点，F为AH的中点，∴AC＝4AF，故AC上存在点F，且AC＝4AF，使得BF∥平面ADE．22．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，记OA＝a（单位：10m）．（1）在△ABC中，求cos∠ABC的值；（2）若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）如图（3）所示，点P 在水平地面上的投影为P0．①用θ表示PP0，BP0，BP的长；②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239（单位：10m），求实数a的取值范围．解：设DC＝m，则BD＝8m，所以在△ABD和△ABC中，分别利用余弦定理得：cos∠ABC=a8m=a2+81m2−a22⋅9m⋅a=9m2a，所以a2＝36m2，所以a＝6m，则cos∠ABC=3 4；（2）根据题意，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过√239，即(PB)max≤√239，过点P作PQ⊥l于点Q，连接BQ，PB，要使PB尽可能的大，则点P在直线m的上方部分，且Q在点A的右侧，如图，设PQ＝h，AQ＝x，a≤h≤a+6，由于PQ垂直底面ABC，在Rt△OPE中，（h﹣a）2+x2＝36，则h2+a2+x2﹣2ah＝36，所以PB=√BQ2+PQ2=√AB2+AQ2−2AB⋅AQ⋅(−34)+PQ2=√a2+x2+32ax+ℎ2=√36+2aℎ+32ax=√36+a(2ℎ+32x)，令{ℎ=a+6cosθx=6sinθ，则2h+32x＝2a+12cosθ+9sinθ＝2a+15sn（θ+φ）≤2a+15（其中tanφ=34），所以(PB)max=√36+2a2−15a≤√239，即2a2+15a﹣203≤0，所以（a﹣7）（2a+29）≤0，解得a≤7，所以实数a的取值范围（6，7]．。
深圳市重点名校2019-2020学年高一下学期期末统考数学试题含解析
【答案】C
【解析】
，故选C。
11．已知角 以坐标系中 为始边，终边与单位圆交于点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知 的值，从而可求 的值.
【详解】
因为 ， ，则 .
故选A.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的基本计算，难度较易.若 终边与单位圆交于点 ，则 .
12．过点 作圆 的切线 ,且直线 与 平行，则 与 间的距离是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意知点 在圆C上，圆心坐标为 ，
所以 ，
故切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ．
因为直线l与直线 平行，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.
所以直线 与直线l间的距离为 ．选D．
6．正三角形 的边长为 ，如图， 为其水平放置的直观图，则 的周长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法以及正余弦定理求解各边长再求周长即可.
【详解】
由斜二测画法可知, , , .
所以
.故 .
.故 .
所以 的周长为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了斜二测画法的性质以及余弦定理在求解三角形中线段长度的运用.属于基础题.
深圳市重点名校2019-2020学年高一下学期期末统考数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（）
2019-2020学年广东省高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．133．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．204．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．119．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.610．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.9512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取名．15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．13【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7＝a3+4d，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝a3+4d＝（﹣1）+2×4＝7；故选：A．3．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】由样本的频数等于样本容量与频率的乘积可得所求．解：频数为50×0.18＝9．故选：A．4．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的一组向量．解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．解：∴0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，b＝（）﹣0.1＞（）0＝1，c＝＜0，∴b＞a＞c．故选：B．6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．解：∵，，∴，且，∴．故选：D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．解：因为A＝，B＝，a＝6，则由正弦定理，可得b＝＝＝2．故选：B．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．11【分析】由题意利用等比数列的性质，对数的运算性质，求得结果．解：因为a6＝3，所以，log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a11＝log3（a1a2a3 (11)＝＝log3311＝11，故选：D．9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.6【分析】设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M ＝{抽到三等奖或幸运奖}，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）．解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．故选：C．10．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解解：由题意可得，＝∴＝＝﹣故选：D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.95【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得n，然后逐一核对四个选项得答案．解：，，∴样本点的中心为（2，），代入＝0.95x+2.6，得，解得n＝4.3．故A正确；∵y关于x的线性回归方程为，∴变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x＝6，则求得，但不能断定y的值一定是8.3，故C错误；若x的值增加1，则y的值约增加0.95，故D正确．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）【分析】由已知利用余弦定理可求c＝，可求cos A＝，由已知可求范围b2∈（12，18），求得范围b2+∈（，），即可得解cos A的范围．解：因为a＝3，a2＝3b cos B+b2cos A，所以9＝3b•+b2•，所以bc＝9，所以c＝，则cos A＝＝．因为b∈（2，3），所以b2∈（12，18），所以b2+∈（，），则cos A∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是10．【分析】直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a＞0，∴5a+≥2＝10（当且仅当5a＝也即a＝1时，等号成立）．故答案为：10．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取28名．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：高三学生人数：3600﹣1280﹣1200＝1120．∴该学校的高三学生中应抽取：1120×15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．【分析】由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，利用三角形内角和定理可求∠ACB＝60°，由正弦定理即可求解AC的值．解：由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝60°，所以由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝＝．故答案为：．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为800000元．【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．写出约束条件，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．需要满足的条件是，作出可行域如图，作直线z＝3000x+2000y，当直线过点A时，z取最大值．联立，解得A（200，100），则z的最大值为800000元．故答案为：800000．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【分析】（1）设＝（x，y），由题意可得，解得x，y的值即可得解．（2）由已知可求，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求•＝0，可得，即可得解．解：（1）设＝（x，y），则，解得，或，于是＝（1，2），或＝（﹣1，﹣2）．（2）△ABC是直角三角形，∠B为直角．证明：∵＝（﹣1，﹣4）﹣（5，2）＝（﹣6，﹣6），＝（3，4）﹣（5，2）＝（﹣2，2），∴•＝﹣6×（﹣2）+（﹣6）×2＝0，∴，即△ABC是直角三角形，∠B为直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．【分析】（1）根据茎叶图的概念和平均数的计算方法即可得解；（2）根据方差的计算分别求出和，而方差越小，农作物长得越齐．解：（1）＝＝30cm，＝＝30cm．∴甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值相等．（2）＝＝，＝＝．∴＜，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．【分析】（1）依题意结合数列的通项公式，能列出两个关于基本量首项a1和公差d的两个方程，解方程即可得数列{a n}的通项公式；（2）将2S n＝23+a2n+4转化为关于n的一元二次方程，解方程即可得答案．解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得，所以，解得，所以a n＝2n﹣1．（2）由（1）得，因为2S n＝23+a2n+4，所以2n2＝23+2×（2n+4）﹣1，化简得n2﹣2n﹣15＝0，解得n＝5或n＝﹣3（舍去）．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9.5求得y值即可．解：（1）由题意可得，＝，，，＝1.8，，≈0.24．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当2020年的年收入为9.5万元时，．∴预测该家庭2020年的年支出金额为7.65万元．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2＝ac，结合a ＝2c，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，结合a＝2c，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．解：（1）因为b sin（A+C）＝a sin C，可得b sin B＝a sin C，所以b2＝ac…因为a＝2c，所以cos B＝＝＝＝，…因为0＜B＜π，所以sin B＝＝＝…（2）因为△ABC的面积为ac sin B＝c2＝4，所以c＝4…因为a＝2c，所以a＝8…因为b2＝ac＝32，所以b＝4…故△ABC的周长为a+b+c＝8+4+4＝12+4…22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知数列递推式直接利用构造新数列的方法证明数列{a n﹣2}是等比数列；（2）利用（1）的结论求得a n，进一步利用裂项相消法分类求出数列{b n}的前n项和为T n，再分类求出T n的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m ≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．。
2019-2020学年广东省深圳市宝安沙井职业高级中学高一数学理模拟试题含解析
2019-2020学年广东省深圳市宝安沙井职业高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，则△ABC外接圆的直径为（）A． B． C． D．参考答案：B2. 函数的零点所在区间为（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=log33﹣＞0，∴函数f（x）的零点一定在区间（2，3），故选：B．【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．3. 下列图象中表示函数图象的是（）A B C D参考答案：C略4. 函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：A【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．【解答】解： =cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选：A．5. 将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．，都有 B．，都有C．，都有 D．，都有参考答案：A6. 已知几何体的三视图如右图所示，它的表面积是（）A、B、C、D、6参考答案：C略7. 向量，，在正方形网络中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．2参考答案：C【考点】向量的几何表示．【分析】设正方形的边长为1，则易知=（﹣1，﹣3），=（﹣1，1），=（6，2）；从而可得（﹣1，﹣3）=λ（﹣1，1）+μ（6，2），从而求得．【解答】解：设正方形的边长为1，则易知=（﹣1，﹣3），=（﹣1，1），=（6，2）；∵=λ+μ，∴（﹣1，﹣3）=λ（﹣1，1）+μ（6，2），解得，λ=﹣2，μ=﹣；故=4；故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示的应用及学生的转化思想的应用．8. 设，则（）A、B、C、D、参考答案：A略9. 已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：C．10. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则；③若a>b，c>d，则；④a>b，则>其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则_______________.参考答案：12. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于__________．参考答案：【分析】首先利用正三棱锥的性质，设底面边长为AB＝a，进一步求得侧棱长为：AC＝2a，顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE，进一步求得：OD，最后在Rt△AOD中，利用余弦公式求得结果．【详解】解：正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设底面边长为BC＝a，则：侧棱长为：AC＝2a顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE进一步求得：OD在Rt△AOD中，cos∠ADO故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：正三棱锥的性质，线面的夹角及相关的运算．13. 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．参考答案：14. 已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是．参考答案：a＜c＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数解析式判断出f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a，b，c的范围即可得a，b，c的大小．【解答】解：由于f（﹣1）==＜0，f（0）=1＞0，故f（x）=2x+x的零点a∈（﹣1，0）．∵g（2）=0∴g（x）的零点b=2；∵h（）==，h（1）=1＞0∴h（x）的零点c∈（），由于函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x均是定义域上的单调增函数，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．15. 幂函数的图像过点，那么的解析式是____.参考答案：略16. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=20×20=400cm2，高h=20cm，故体积V==cm3，故答案为：17. 若，则关于的不等式的解集是 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年深圳市新高考高一数学下学期期末联考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若1a ＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10B ．16C ．20D ．242．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,0⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．74．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A ．3B ．72C ．154D ．不确定5．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A ．5B ．10C ．4D ．206．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A ．2B ．322C ．2D ．37．设定义域为R 的奇函数()f x 是增函数，若()2cos 2(2sin 2)0f m f m θθ-+-<对R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1)-∞2,+B ．[1)-∞2,+C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．ACD ．A=B=C9．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D ．16311．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π612．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若()11n n n a a a n ∆+=-∈*N ，称数列{}1na ∆为数列{}na 的一阶差分数列；若()2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*N，称数列{}2na ∆为数列{}na 的二阶差分数列．若数列{}na 的二阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且1820170a a ==，则2018a =（ ） A ．2018B ．1009C ．1000D ．500二、填空题：本题共4小题13．过点13P （，）作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= . 14．不等式103x x -≥+的解集是_______. 15．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________． 16．已知数列{}n a 满足111n na a n n+-=+且12a =，则50a =____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省深圳市宝安区2019年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
点得
F
是
BC
的中点，所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗���
=
1 2
���⃗⃗���⃗⃗����⃗���，
所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = 1 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − 1 ���⃗⃗���⃗⃗⃗���⃗���，
2
2
故选：D．
由题意点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，求出���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，然后求出向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗���即得．
5. 若将函数������ = 2sin2������的图象向左平移1������2个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
26
故选：B．
利用函数������ = ������sin(������������ + ������)(������ > 0, ������ > 0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答
案．已知函数������(������) = ������ + log2(������2 + ������)(������ > 0)的最小值为 8，则( )
2. 化简cos 15∘cos 45∘ − sin15∘sin 45∘的值为( )
A.
−1
2
B. √3 2
C.
1 2
D. − √3 2
【答案】C
【解析】解：cos
15∘cos
45∘
−
sin15∘sin
45∘
=
cos(15∘
+
45∘)
=
2019_2020学年深圳市宝安中学高中部高一上学期期中数学试卷(学生版)
、 选择题
已知集合A={工 1x2 —4兀 — 12 < o}, B= {y IY=.Ji+2}, 则AnB=( ) .
A (-2,0]
B. [0,6)
C. [2,6)
D. 0
下列每组函数是同—函数的是（ ） A. f (兀）＝尤- 1, g(兀）＝（尸）2
A. (—4,1)
B. (— 1,4)
C. (1,4)
D. {0,4)
第1页（共5页）
已知函数f位）=a氐+bx十7 (其中a, b为常数），若!(—7)=—17, 则f(7)的值为（ ）．
A. 31
B. 17
C. -17
D. 15
;] , 设!(兀）是定义域为R的偶函数，且在(0,+oo)单调递减，则（ ）．
围是
．
已知命题p: :3xo ER,m矿+2�0 I 命题q: Vx ER,沪-2mx+1>0,若pV q"为假命题，则 实数m的取值范围为一·
2
1
•J已知ab>0,a+b=5,则 a+l
b+l 的最小值为
、 解答题
已知全集U=R,集合A={叫2a-1 <兀< 3a+1},集合B={叫-1 < X < 4}. (1)当a=O时，求（如A) nB. (2)若A�B,求实数a的取值范围．
，右 ....... 互不相等的实数a,b
,c满足f(a)=f(b)=f(c),则
沪+2b 十牙的取值范围是（ ）．
A (16,32)
B. (18,34)
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2019-2020广东省深圳市宝安中学高一（下）晚测数学试卷答案解析一、选择题（共14题，每小题3分，满分42分）
1．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）
A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（）A．1B．2C．3D．4
3．设向量＝（1，cosθ）与＝（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0D．﹣1
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC 的面积为（）
A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1
5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），（104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）
A．90B．75C．60D．45
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
7．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始
评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）
A．B．C．D．
9．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a（a为非零常数，i ＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a
10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且a cos B+b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为（）A．B．C．D．
11．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）12．已知函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f（A）＝﹣1，若，则△ABC的面积的最大值为（）
A．B．C．D．
二．多选题（共2小题）
13．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）
A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
14．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．
则下列说法正确的是（）
A．直方图中x＝0.0075
B．上图中所有矩形面积之和为1
C．月平均用电量的众数和中位数分别为230，224
D．在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取5户．三．填空题（共5小题）
15．函数f（x）＝sin22x的最小正周期是．
16．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的值为．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的面积为
19．已知x、y的取值如表所示：
x0134
y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x+a，则a＝ 2.6．
20．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝．21．设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝﹣．22．已知函数，x∈R．f（x）在上的最大值为．
23．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，若，，则BC＝3．
24．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a＝6，4sin B＝5sin C，有以下三个命题：
①满足条件的△ABC不可能是直角三角形；
②当A＝2C时，△ABC的周长为15；
③当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为．
其中正确命题有②③（填写出所有正确命题的序号）．
四．解答题（共3小题）
25．某校高一（1）班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如图1和图2所示，据此解答如下问题：
（1）计算频率分布直方图中[80，90）间的小长方形的高；
（2）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．
26．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2），记f（x）＝•．（Ⅰ）若f（x）＝1，求cos（x+）的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（2A）的取值范围．
27．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A＝，cos C＝．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？。