高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 空间点、直线、平面的位置关系练习 理-课件
1． [2015·三亚模拟]如图， 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且
AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值
为( A. ) 3 6 3 6 B. 6 6 6 6
C．－
D．－
答案 A 解析 延长 CD 至 H，使 DH＝1，连接 HG、HF，则 HF∥AD，HF＝DA＝ 8，GF＝ 6，HG＝ 8＋6－10 3 10，∴cos∠HFG＝ ＝ ，故选 A. 6 2× 6× 8
PG2＋GK2－PK2 2·PG·GK
32 72 2 3 ＋ － 2 2 2 ＝ ＝ . 3 3 2× 3× 2
2 即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为 . 3
8．[2015·云南师大附中模拟] 如图是某个正方体的展开图，l1，l2 是两条侧面对角线，则在正方体中，对于 l1 与 l2 的 下面四个结论中，正确的是________． π π ①互相平行；②异面垂直；③异面且夹角为 ；④相交且夹角为 . 3 3
2．[2013·安徽高考] 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过点
A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命
题的编号)．
5
1 ①当 0<CQ< 时，S 为四边形； 2 1 ②当 CQ＝ 时，S 为等腰梯形； 2 3 1 ③当 CQ＝ 时，S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R＝ ； 4 3 3 ④当 <CQ<1 时，S 为六边形； 4 ⑤当 CQ＝1 时，S 的面积为 答案 ①②③⑤ 解析 利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解． 1 ①当 0<CQ< 时，如图(1)． 2 在平面 AA1D1D 内，作 AE∥PQ， 显然 E 在棱 DD1 上，连接 EQ， 则 S 是四边形 APQE. 6 . 2
又因为 DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 2 所以 FH∥AC，且 FH＝ AC. 5 所以 FH∥GE，且 GE≠FH. 所以 E、F、H、G 四点共面， 且四边形 EFHG 是一个梯形． 设 GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内， 所以 O 在这两个平面的交线上． 因为这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条， 所以点 O 在直线 BD 上．
解 (1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与
BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾，故直线
4
EF 与 BD 是异面直线．
(2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 EG∥BD， 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即∠FEG 为异面直线 EF 与 BD 所成的角． 1 在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝ AC，求得∠FEG＝45°. 2 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. [B 组·能力提升练]
2 2
PE DE
7 ， 3 7 . 3
故二面角 P－AD－C 的正切值是
(3)连接 AC.由 AF＝2FB，CG＝2GB 知，F，G 分别是 AB，BC 且靠近点 B 的三等分点，从而
FG∥AC，∴∠PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成的角．
第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面的位置关系练习 理
[A 组·基础达标练] 1． [2015·广东高考]若空间中 n 个不同的点两两距离都相等， 则正整数 n 的取值( A．至多等于 3 C．等于 5 答案 B 解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除 C、D.又注 意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除 A，故选 B. 2．[2015·福建高考]若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α ，则“l⊥m”是“l ∥α ”的( ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 B 解析 由“m⊥α 且 l⊥m”推出“l⊂ α 或 l∥α ”， 但由“m⊥α 且 l∥α ”可推出“l ⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α ”的必要而不充分条件，故选 B. 3．[2016·威海模拟]设 A、B、C、D 是空间中四个不同的点，下列命题中，不正确的是 ( ) A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD＝BC D．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD⊥BC 答案 C 解析 若 AB＝AC，DB＝DC，AD 不一定等于 BC，故 C 不正确． 4． [2015·海口模拟]已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是 BD1 的中点， 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论错误的是 ( A．A1、M、O 三点共线 C．A、O、C、M 四点共面 答案 D 解析 由正方体的性质知，O 也是 A1C 的中点，因此 A1、M、O 三点共线，又直线与直线 外一点确定一个平面，所以 B、C 正确．由 BB1 与 A1C 异面知 D 错误．故选 D. 5．给出下列命题，其中正确命题的个数是 ( ) ①如果线段 AB 在平面 α 内，那么直线 AB 在平面 α 内；②两个不同的平面可以相交于 不在同一直线上的三个点 A、B、C；③若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线 l 于 A，B， ) B．M、O、A1、A 四点共面 D．B、B1、O、M 四点共面 B．至多等于 4 D．大于 5 )
1 ②当 CQ＝ 时，如图(2)． 2 显然 PQ∥BC1∥AD1，连接 D1Q， 则 S 是等腰梯形． 3 ③当 CQ＝ 时，如图(3)． 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F，则 C1F＝ . 2 1 作 AE∥BF，交 DD1 的延长线于点 E，D1E＝ ，AE∥PQ， 2 连接 EQ 交 C1D1 于点 R，由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E， ∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2， 1 ∴C1R＝ . 3
3
答案 ④ 解析 将展开图还原成正方体如图所示，则 B，C 两点重合，故 l1 与 l2 相交，连接 AD， π 则△ABD 为正三角形，所以 l1 与 l2 的夹角为 . 3 9．[2015·昆明模拟]设 a，b，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ②若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 也是异面直线； ③若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交； ④若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面． 其中真命题的个数是________． 答案 0 个 解析 ∵a⊥b，b⊥c， ∴a 与 c 可以相交、平行、异面，故①错． ∵a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 可能异面、相交、平行，故②错． 由 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 可以异面、相交、平行，故③错． 同理④错，故真命题的个数为 0. 10．[2016·衡水模拟]A 是△BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点． (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角．
C 三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等
的四边形是平行四边形． A．1 C．3 答案 B B．2 D．4
1
解析 显然①③正确． 若两平面有三个不共线的公共点， 则这两平面重合， 故②不正确． 三 条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，故④不正确；两组对边相等的四边形可 能是空间四边形，⑤不正确．故选 B. 6． [2016·武汉模拟]如果两条异面直线称为“一对”， 那么在正方体的十二条棱中共有 异面直线( A．12 对 ) B．24 对 C．36 对 D．48 对
6
3 ④当 <CQ<1 时，如图(3)，连接 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点)，显然 S 为五边形 APQRM. 4 ⑤当 CQ＝1 时，如图(4)． 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E，交 A1D1 于点 M，显然点 M 为 A1D1 的中点，所以 S 1 1 6 为菱形 APQM，其面积为 MP×AQ＝ × 2× 3＝ . 2 2 2
3. [2015·四川高考]如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直， 动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点．设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ ，则 cosθ 的最大值为________． 答案 2 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 取 BF 的中点 N，连接 MN，EN，则 EN∥AF，所以直线 EN 与 EM 所成的角就是异面 直线 EM 与 AF 所成的角．在△EMN 中，当点 M 与点 P 重合时，EM⊥AF，所以当点 M 逐渐趋近 于点 Q 时，直线 EN 与 EM 的夹角越来越小，此时 cosθ 越来越大．故当点 M 与点 Q 重合时， cosθ 取最大值．设正方形的边长为 4，连接 EQ，NQ，在△EQN 中，由余弦定理，得 cos∠QEN
2
解析 折成的正四面体，如图，连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK，PK. 则 GK∥DH，故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角． 设这个正四面体的棱长为 2， 在△PGK 中，PG＝ 3，GK＝ 3 ， 2
PK＝
1 ＋
2
7 32 ＝ 2 ， 2
故 cos∠PGK＝
7
＝
EQ2＋EN2－QN2 20＋5－33 2 2 ＝ ＝－ ，所以 cosθ 的最大值为 . 2EQ·EN 5 5 2× 20× 5
届数学一轮复习第七章立体几何第三节空间图形的基本关系与公理课时规范练文含解析
第七章立体几何第三节空间图形的基本关系与公理课时规范练A组—-基础对点练1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交或bα或b∥α解析：b与α相交或bα或b∥α都可以．答案：D2．(2020·江西景德镇模拟）将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直解析:在题图①中，AD⊥BC,故在题图②中,AD⊥BD，AD⊥DC,又因为BD∩DC＝D,所以AD⊥平面BCD,又BC平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C。
答案：C3．(2020·湖北荆州模拟)设α，β是两个不同的平面,a，b是两条不同的直线，则下列命题正确的是(）A．若a⊥b，b⊥α,则a∥αB．若aα,bβ，α∥β，则a与b是异面直线C．若a⊥α,b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若α∩β＝b,a∥b,则a∥α且a∥β解析：选项A，a可能在α内，故A错；选项B，a与b可能平行可能异面,故B错；选项D,a可能在α或β内,故D错．故选C.答案：C4．（2020·安徽安庆模拟）在正方体ABCD。
A1B1C1D1中,点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（)A．AD1⊥DP B．AC1⊥DPC．AP⊥B1C D．A1P⊥B1C解析:在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1,B1C⊥AB,BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP平面ABC1D1，∴AP⊥B1C.故选C.答案：C5．(2020·河北模拟）若a，b是不同的直线,α,β是不同的平面，则下列命题中正确的是（)A．若a∥α，b∥β,a⊥b，则α⊥βB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a∥α，b⊥β，a⊥b，则α∥β解析：∵a∥b,a⊥α,∴b⊥α，又b⊥β，∴α∥β.故选C.答案:C6. (2020·广东东莞模拟）如图，在三棱柱ABC.A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（)A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线,所以选项A错误．假设AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB,即∠CAB＝90°，从而可得∠C1A1B1＝90°，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B错误．因为点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE,B1C1为异面直线；由题意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，所以AE⊥BC，结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1,故选项C正确．因为直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误．综上，选C。
2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.3空间点、直线、平面之间的位置关系学案理
7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系[知识梳理]1．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系3．必记结论 (1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)异面直线的判定定理平面外一点A 与平面内一点B 的连线与平面内不经过B 点的直线互为异面直线． [诊断自测] 1．概念思辨(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( ) (2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(3)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．( ) (4)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A2P52B组T1(2))如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.故选C.(2)(必修A2P63B组T1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．答案平行AD解析E，F分别为PC，PB中点，所以EF∥BC，又BC∥AD.所以EF∥AD，而AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD.所以EF∥平面PAD.由上述推证易得两面交线为AD.3．小题热身(1)(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选。
高考数学一轮复习 第七章 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 理 新人教版-新人教版
第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系考纲索引空间直线、平面的位置关系.课标要求1.了解可以作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1.平面的基本性质2.空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线a∥b个相交直线a∩b=A个异面直线a,b是异面直线个(2)平行公理和等角定理①平行公理平行于的两条直线平行.用符号表示:设a,b,c为三条直线,若a∥b,b∥c,则a∥c.②等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.(3)异面直线所成的角①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b',把a'与b'所成的叫做异面直线所成的角(或夹角).②X围:.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交a∩α=A个平行a∥α个在平a⊂α个面内平行α∥β个相交α∩β=l个基础自测1.(教材改编)下列命题是真命题的是().A. 空间中不同三点确定一个平面B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面C. 一条直线和一个点能确定一个平面D. 梯形一定是平面图形指点迷津◆两种方法异面直线的判定方法:(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.◆三个推论公理2的三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.◆三个作用(1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.(3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线.2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b().A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D. 不可能是相交直线3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为().A.3B.4C.5D.64.(教材改编)在下列命题中,所有正确命题的序号是.①平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线,有且只有一个平面;④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合;⑤四边形确定一个平面.5.(教材改编)给出三个命题:①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;②若两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;③若两条直线和第三条直线平行,这两条直线互相平行;④若两条直线均与一个平面平行,则这两条直线互相平行.其中不正确命题的序号是.考向一平面的基本性质及应用例1(2013·某某模拟)以下四个命题:①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【审题视点】根据三个公理及推论,结合构造几何体的方法判断.变式训练1.(2013·某某模拟)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是().考向二空间中两直线的位置关系【方法总结】空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.变式训练2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和是否是异面直线?说理理由.(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.(第2题)考向三异面直线所成的角例3(2013·某某调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.【审题视点】(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.(2)可证A1C1与EF垂直.变式训练3.(2014·某某)如图所示,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A,B 两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥平面α,垂足为O.(1)求证:AB⊥平面ODE;(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.(第3题)经典考题典例已知三棱锥A-BCD,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.【解题指南】取AC的中点,作AB的平行线与MN形成三角形求解.【解】如图,取AC的中点P,连接PM,PN.则PM∥AB,且PM=AB.又PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角).则∠MPN=60°或∠MPN=120°,若∠MPN=60°,因PM∥AB,所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).又因AB=CD,所以PM=PN.则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.真题体验1.(2014·某某)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是().A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC. 若m⊥α,m⊥n,则n∥αD. 若m∥α,m⊥n,则n⊥α2.(2014·某某)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则().A. 若m⊥n,n∥α,则m⊥αB. 若m∥β,β⊥α,则m⊥αC. 若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD. 若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α3.(2014·某某)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是().A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定4.(2014·全国大纲)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为().参考答案与解析知识梳理1.两点一条直线上的三点有且只有一2.(1)010(2)同一条直线相等或互补(3)锐角或直角3.10无数0无数基础自测1.D2.C3.C4.②③④5.①②④考点透析【例1】B解析:①中显然是正确的;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方形或正方体,如图,显然b,c异面故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.【例2】①③解析:过点N作NP⊥BB1于点P,连接MP,可证AA1⊥平面MNP,所以AA1⊥MN,①正确.过M,N分别作MR⊥A1B1,NS⊥B1C1于点R,S,则当M不是AB1的中点,N不是BC1的中点时,直线A1C1与直线RS相交;当M,N分别是AB1,BC1的中点时,A1C1∥RS,所以A1C1与MN可以异面,也可以平行,故②④错误.由①正确知,AA1⊥平面MNP,而AA1⊥平面A1B1C1D1,所以平面MNP∥平面A1B1C1D1,故③对.综上所述,其中正确命题的序号是①③.【例3】(1)如图(1)所示,连接AB1,B1C,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.因为AB1=AC=B1C,所以∠B1CA=60°.即A1D与AC所成的角为60°.(1)(2) (2)如图(2)所示,连接AC,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.所以EF⊥AC,所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.变式训练1.D解析:A,B,C中,都有PS∥QR,共面.2.(1)不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC.所以A,M,N,C在同一平面内,故AM和不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α.所以D1,B,C,C1∈α.这与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.3.(1)如图,因为DO⊥α,AB⊂α,所以DO⊥AB.连接BD,由题设知△ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DE⊥AB.而DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.(第3题)经典考题真题体验1.B解析:由题可知,若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,所以A错误;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊥α或n与α相交,故D错误.2.C解析:A,B,D中m与平面α可能平行、相交或m在平面α内;对于C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,而n⊥α,所以m⊥α.故选C.3.D解析:利用长方体模型,易得空间两条直线的垂直关系不具有传递性.word。
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第40讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理
• 2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与
c( )
D
• A．一定平行 B．一定相交
• C．一定是异面直线 D．一定垂直
• 解析：因为b∥c，a⊥b，所以a⊥c，即a与c垂直．
• 3．下列命题正确的个数为( C ) • ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； • ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． • A．0个 B．1个 • C．2个 D．3个 • 解析：①错误，②③正确．
• (_相4_)_定等__理_或_：_互_空_补间．中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
• 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系
• (1)直线与平面的位置关系有_相__交___、平__行____、__在__平__面___内___三种情况．
• (2)平面与平面的位置关系有_平__行___、_相__交___两种情况．
一条过该点的公共直线．
• (4)公理2的三个推论
• 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
• 推论2：经过两条______直线有且只有一个平面； • 推论3：经过两条_相__交___直线有且只有一个平面．
平行
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
共面直线____相平____交__行__ 异面直线：不同在__任___何_一个平面内
第七章 立体几何
第40讲 空间点、直线、平面之间 的位置关系
考纲要求
考情分析
命题趋势
2016，全国卷Ⅰ，11T
空间点、线、面
理解空间直线、 2016，浙江卷，2T 的位置关系以位置关
平面位置关系的定义， 2015，福建卷，7T
并了解可以作为推理 依据的公理和定理.
高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇 立体几何 第3节 空间点、直线、平面的位置关系(含答案)
第3节空间点、直线、平面的位置关系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件解析:两直线异面⇒两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.2.有以下命题:①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中,真命题的个数是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:将四个命题一一验证知,只有①不正确,故选B.3.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误,故选B.4.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( D )(A)平行(B)异面(C)相交(D)平行、异面或相交解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )(A)直线AC(B)直线AB(C)直线CD(D)直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又∵D∈AB,AB⊂平面ABC,∴D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又∵C∈平面ABC,C∈β,∴C在平面β与平面ABC的交线上.从而有平面ABC∩平面β=CD.故选C.6.已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则①m⊂α,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B ∈α;③m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β;④m⊂α,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为( C )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行、也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题.故选C.7.(2013唐山统考)四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为( B )(A) (B)(C)(D)解析: 如图在四棱锥P ABCD中,CD与PA所成的角即是AB与PA所成的角,即∠PAB,取AB中点M,连接PM.在Rt△PAM中,PA=,AM=1,所以cos∠PAB==.故选B.二、填空题8.下列命题中不正确的是.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c、b不可能平行,③正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:①②9.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④10.下列如图所示的是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是.(填上图形的序号)解析: 图①中,由于PS∥QR,所以P、Q、R、S四点共面;图②中,如图,容易知道,PMQNRS为六边形,所以图②中四点共面;图③中,易证PQ RS,所以图③中四点共面;图④中,Q点所在棱与平面PRS平行,因此四点不共面.综上可知,四点共面的图形有①②③.答案:①②③11. 如图所示,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需AC⊥BD.答案:AC=BD AC⊥BD三、解答题12. 如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线. 证明:∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M、N、K三点共线.13.点A是△BCD所在平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,FG∥AC,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 又由FG∥AC,AC⊥BD,AC=BD知△EGF为等腰直角三角形,则∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.B组14.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD 的中点,则异面直线AE与BC所成角的正切值为( A )(A) (B)(C)2 (D)解析:如图所示正方形ABCD及折叠后图形,取BD中点O,连接OE、AO,则OE∥BC,则∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或其补角), 设正方形边长为2,则OE=1,AO=,由平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,AO⊥DB,知AO⊥平面BDC,则AO⊥EO.在Rt△AOE中,tan∠AEO==.故选A.15. 如图所示,ABCD A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为,AA1与B1C所成的角为.解析:∵AB∥A1B1,∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角,∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1,∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角,由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB=a,∴B1C1=BC=a,∴四边形BB1C1C是正方形,∴∠BB1C=45°.答案:30°45°16. 如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC,又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条, 所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.。
2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》+空间点、直线、平面之间的位置关系+课件
（5） 平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( )
×
2. （新教材改编题）已知 是一个平面， ， 是两条直线， 是一个点，若 ， ，且 ， ，则 ， 的位置关系不可能是( )
A. 垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面 D. 平行
D
3. 多选题 设 表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的有( )
（2） 设直线 与 交于点 ，求证： ， ， 三点共线.
[答案] ， ， ， 平面 ， 平面 ，又平面 平面 ， 直线 . ， ， 三点共线.
考点二 空间点、直线、平面的位置关系
角度1 空间两直线位置关系的判断
例2
（1） （2023山东潍坊模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示的表面展开图，则在正方体中， 、 、 、 这四条线段所在的直线中，异面直线有( )
方法感悟1.证明点或线共面的两种方法（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后证其余的线（或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
2.证明线共点的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.3.证明点共线的两种方法（1）先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上；（2）可证明这些点都是某两个平面的公共点，从而依据基本事实3证明它们都在这两个平面的交线上.
B
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
[解析] 还原正方体，如图所示，则 与 ， 与 ， 与 是异面直线，共3对.
（2） （2022福建福州三模）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ，其中母线 ， 是 的中Байду номын сангаас， 是 的中点，则( )
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析
空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理 1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.4．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A ．AB 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交C ．EF ∥CD D ．EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD ．(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD ．题型一 基本事实应用例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，连接D 1F ，CE ．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1． 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 教师备选如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ．求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ．∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1为α， 平面BDEF 为β． ∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中，错误的是( )A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案 C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP ．又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP ．连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt△C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6．方法二 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6．(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A ．222B ．53C ．1316D ．113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE ．又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1．∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝32．∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10． ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10． ∴在等腰△SCF 中，tan∠CSF ＝102－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322＝113． 教师备选1．(多选)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 答案 ABC2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22 答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5． 所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练2 (1)如图所示，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体中过M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C 1M ，CD 相交于点P ，直线C 1N ，CB 相交于点Q ，连接PQ 交直线AD 于点E ，交直线AB 于点F ，则五边形C 1MEFN 为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______． 答案π2解析 以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2．延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2． 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ． 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案 92解析 如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫222＝322， ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92． 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A ．截面形状可能为正三角形 B ．截面形状可能为正方形 C ．截面形状可能为正六边形 D ．截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ，C 正确，B 不正确，下面说明D 正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝62， 所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故D 正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A 1C 的棱长为1，点M 在棱A 1D 1上，A 1M ＝2MD 1，过M 的平面α与平面A 1BC 1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时，只需要ME ∥BC 1，如图所示，因为A 1M ＝2MD 1，故该截面与正方体的交点位于靠近D 1，A ，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE ，设正方体的棱长为3a ， 则ME ＝22a ，MI ＝2a ，IH ＝22a ，HG ＝2a ，FG ＝22a ，EF ＝2a ，所以截面MIHGFE 的周长为ME ＋EF ＋FG ＋GH ＋HI ＋IM ＝92a ， 又因为正方体A 1C 的棱长为1，即3a ＝1， 故截面多边形的周长为32．课时精练1．下列叙述错误的是( )A ．若P ∈α∩β，且α∩β＝l ，则P ∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案 C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案 A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ， 则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 ＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋2a2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ， 又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．6．(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1 图27．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 答案105解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D 或其补角，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5， 易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ， 因此cos∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105． 8．(2022·本溪模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案 ①②④解析 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·上海市静安区模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点．(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．解 (1)如图，设BB 1的中点为H ，连接HF ，EH ，A 1H ，因为F 是CC 1的中点，所以A 1D 1∥CB ∥HF ，A 1D 1＝CB ＝HF ， 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形， 所以D 1F ∥A 1H ，D 1F ＝A 1H ，因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角， 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是AB 的中点， 所以A 1E ＝A 1H ＝22＋12＝5，EH ＝12＋12＝2，由余弦定理可知，cos∠EA 1H ＝A 1E 2＋A 1H 2－EH 22A 1E ·A 1H ＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45．(2)因为A 1D 1∥HF ，HF ⊄平面A 1D 1E ，A 1D 1⊂平面A 1D 1E ， 所以HF ∥平面A 1D 1E ，因此点H ，F 到平面A 1D 1E 的距离相等， 即111111F A D E H A D E D A EH V V V －－－＝＝，11D A EH V －＝13D 1A 1·1A EH S △＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×2×1×2－12×1×1＝1，所以三棱锥A 1－D 1EF 的体积为1．10．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，M 为AB 上一点．(1)若D 1E 与CM 相交于点K ，求证D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点； (2)若AB ＝2，AA 1＝4，∠BAD ＝π3，求点D 1到平面FBD 的距离．(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K ， ∴K ∈D 1E ，K ∈CM ，而D 1E ⊂平面ADD 1A 1，CM ⊂平面ABCD ， 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴K ∈AD ，∴D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点K ． (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2， ∴BC ＝CD ＝2，而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD ， ∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3，∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×222－1＝7．设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V －－＝， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217．即点D1到平面FBD的距离为421 7．11．(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是( )A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图，连接MP ，AC ，因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，连接OD 1，ON ．因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ， 则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 正确．13．(2022·玉林模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是________．答案 π3解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则F 是A 1C 1的中点，又E 为A 1B 的中点，所以EF ∥BC 1，连接DC 1，则Q 是DC 1的中点，又P 为A 1D 的中点，所以PQ ∥A 1C 1，于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角．易知△A 1C 1B 是正三角形，所以∠A 1C 1B ＝π3． 14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，过P ，Q ，A 作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案 25＋95＋2133 解析 如图所示，过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ，由A 1P ＝CQ ＝2，tan∠APA 1＝2，则tan∠CMQ ＝2，CM ＝CQtan∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1， C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83， 因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133．15．(2022·大连模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是( )A ．点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ，因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等．由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故选项A 正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N ．连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝2．连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ．等腰梯形MEFN 的高h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332．又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ V －－V M －PAE －V N －CFQ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V －－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1 图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明 因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ，EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736．。
高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系训练理新人教版
第3节空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固(时间:30分钟)1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( D )(A)m与n异面(B)m与n相交(C)m与n平行(D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( D )(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为(D)相交且夹角为解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥(AC+BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD).其中正确的是( D )(A)①③ (B)②④ (C)② (D)④解析:如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON= (AC+BD),所以④正确.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D )(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE.DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A )(A)(B) (C)(D)解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以△DOE为直角三角形,cos∠DOE==,故所求余弦值为,故选A.7.如图所示,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BD AC=BD且AC⊥BD·安庆市二模)正四面体ABDC中,E,F分别为边AB,BD的中点,则异面直线AF,CE所成角的余弦值为.解析:如图,连接CF,取BF的中点M,连接CM,EM,则ME∥AF,故∠CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.设这个正四面体的棱长为2,在△ABD中,AF==CE=CF,EM=,CM=.所以cos∠CEM==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A.10.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E为AB的中点,CE=3,异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为,且四边形ABB1A1为正方形,则球O的直径为( C )(A)4 (B)(C)4或(D)4或5解析:设AE=x,则BC=,AC=.因为A1C1∥AC,所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成的角,由余弦定理得=,所以x4-7x2+6=0,所以x2=1或6,所以x=1或.设球O的半径为R,则2R===4或.故选C.11.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错.易知③④正确.答案:③④12.在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1==a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°.答案:60°,在体积为的正三棱锥ABCD中,BD长为2,E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥ABCD的表面积.解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由××22×3×AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=.取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD,所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF中,AE=AF=,EF=.所以cos∠AEF==.所以,异面直线AE与CD所成的角的余弦值为.(2)由AE=可得正三棱锥ABCD的侧面积为S=3··BC·AE=×2×=3,所以正三棱锥ABCD的表面积为S=3+·BC2=3+3.。
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何7_3空间点、直线、平面之间的位置关系课件理新人教版
2 2
C．
3 3
D．13
解析
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 外依次再作两个一样的正方体，如图所示， 易知 AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面 AEF∥平面 CB1D1，即平面 AEF 就是 过点 A 的平面 α，所以 AE 为平面 α 与平面 ABCD 的交线，即为 m，AF 为 平面 α 与平面 ABB1A1 的交线，即为 n，所以 m，n 所成角即为 AE 与 AF 所 成角，也是 B1D1 与 CD1 所成角，为∠CD1B1。而△CD1B1 为等边三角形， 因此∠CD1B1＝π3，所以 sin∠CD1B1＝ 23。
必考部分
第七章 立体几何
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．平面的基本性质
2.空间两直线的位置关系
(2)平行公理： 公理 4： 平行于同一直线 的两条直线互相平行——空间平行线的传
递性。
(3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 。
答案 A
三、走出误区 微提醒：①对等角定理条件认识不清致误；②缺乏空间想象能力致误。 5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且 OA∥O1A1，OA 与 O1A1 的方向相同，则下 列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1 且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行 解析 两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故 选 D。 答案 D
(3)错误。因为 A，O，C 三点共线，所以不能确定一个平面。 (4)正确。因为 A，C1，B1 不共线，所以 A，C1，B1 三点可确定平面 α，又 四边形 AB1C1D 为平行四边形，AC1，B1D 相交于 O2 点，而 O2∈α，B1∈α，所 以 B1O2⊂α，又 D∈B1O2，所以 D∈α。 (5)正确。若 l 与 m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线 CD 为两平面 的交线，所以交点一定在直线 CD 上。
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 文
第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．知识点一平面的基本性质1．公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．2．公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．答案1．两点 2.不在一条直线上 3.一个4．相交平行1．判断正误(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( )(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.( )(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．如图，α∩β＝l ，A 、B∈α，C∈β，且C ∉l ，直线AB∩l＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M解析：∵AB ⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l ，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上． 答案：D知识点二 直线与直线的位置关系 1．两直线位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线：不同在 一个平面内2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：____________. 3．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．答案1．平行 相交 任何2．(1)锐角(或直角) (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 3.相等或互补3．判断正误(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．( )(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．( )答案：(1)√(2)×(3)×4．(人教A必修②P52B1(2)改编)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________．解析：取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN綊AD綊BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角．又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B ＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，∴∠MH B＝90°.答案：90°热点一平面的基本性质【例1】下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】④以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．答案：B热点二共点、共线、共面问题【例2】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．【证明】(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．热点三空间两条直线的位置关系考向1 两条直线位置关系的判定【例3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】正四面体如图，GH与EF为异面直线，即①不正确；BD与MN为异面直线，即②正确；△MNG 为正三角形，即③正确；连接AG，FG，则DE⊥AG，DE⊥GF，于是DE⊥平面AFG，DE⊥AF，又MN∥AF，所以DE⊥MN，即④正确．【答案】②③④考向2 异面直线的判定【例4】在图中G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．【答案】②④(1)(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：(1)若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P∈a，P∈b.又a ⊂α，b ⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．(2)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．答案：(1)A (2)B热点四 异面直线所成的角【例5】 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .45【解析】连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.【答案】 D1．将母题条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求：AA 1AB的值． 解：设AA 1AB ＝t ，则AA 1＝tAB.∵AB＝1，∴AA 1＝t.∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1. ∴cos ∠A 1BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. ∴t＝3，即AA 1AB＝3.2．将母题条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A 1的距离为1”，则是否存在过顶点A 的直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由．解：由条件知，此时正四棱柱为正方体．如图，连接对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线．如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD.∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条.1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．。