8-机动目标动力学模型

!x!(t) = a(t) + a(t)
a!(t) = −α ⋅ a(t) + wc(t)
得到如下离散形式的动力学模型为： x(k +1) = Ax(k) +Ua + w(k)
−
3−
e−2α T0
+
2α T0 ⎤⎦
q23
=
1 2α 2
⎡⎣ e−2α T0
+1−
2α T0 ⎤⎦
q33
=
1 2α
⎡⎣1 −
e−2α T0
⎤⎦
当前统计模型
当前统计模型是由周宏仁 1983 年提出来的，其基本思想在于，当目标正以某一加速度机动时，下一时
刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的邻域内。从本质上讲，该模型是 Singer 模型的改进版
k
)
−
xˆi
(k
|
k
)⎤⎦T
µ j/i(k)
i=1
Yule-­‐Walker 方法
a(k) 表示一个具有普遍意义的随机过程，写成自回归模型的形式为
a(k) = ∑M pma(k − m) + wa (k) m=1
其中
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣⎢
x(t ) x! (t )
⎤ ⎥ ⎦⎥
+
⎡ ⎢ ⎣
0 1
⎤
⎥ ⎦
wc
(t
)
⎡ A= ⎢
1
⎣⎢ 0
Τ0 1
⎤
⎥
⎦⎥
⎡
⎢
Q
=
E[ w( k ) wT
∫ U = λ e Ed T0 F (T0 −λ) 0
⎡
⎢1
⎢
∫=
T0
⎢ ⎢0
0⎢
⎢0
⎢
⎣
T0 − λ 1 0
α (T0
− λ) −1 + e−α (T0 −λ) α2
+
2α T0
+
2α 3T03 3
−
2α 2T02
−
4α T0 e−α T0
⎤ ⎥ ⎦
q12
=
1 2α 4
⎡⎣ e−2α T0
+1−
2e−α T0
+
2α T0 e−α T0
−
2α T0
+ α 2T02 ⎤⎦
q13
=
1 2α 3
⎡⎣1 −
e−2α T0
−
2α T0 e−α T0
⎤⎦
q22
=
1 2α 3
⎡⎣ 4e−α T0
，
∫ w(k) =
kΤ0 +Τ0 kΤ0
eF (Τ0 −λ)Gwc (λ)dλ
，得到
x(k +1) = Ax(k) + w(k)
CV 模型
CV 模型假设目标做匀速直线运动，即目标加速度的理想值为 0，但由于干扰的存在，加速度不能维持在
Ra (τ ) = E [a(t)a(t +τ )] = σa2e−α τ
其中
σ
2 a
和α
是待定参数，在区间 [t,
t
+τ
]
表达了目标的机动特性，σ
2 a
为目标机动加速度方差，α
1 − e−α (T0 −λ ) α
e−α (T0 −λ )
⎤
⎥
⎥
⎥ ⎥d
λ
⎥
⎥
⋅
⎡0
⎢ ⎢
0
⎢⎣−α
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎥
⎦
⎡⎢⎢α1
(−T0
+
α T02 2
+
1
−
e−α α
T0
⎤ )⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
⎢
⎢
T0
−
1 − e−αT0 α
1 − e−αT0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
当目标“当前”加速度为正时：
本，改进的方面有如下两项：1）加速度的均值为非零值 a ，并取为当前加速度的预测值，即 a = !xˆ!(k +1| k) ，且
机动加速度仍符合一阶时间相关过程；2）假设加速度的统计特性满足修正的瑞利分布，而不再是 Singer 模
型假设的均匀分布。
可知加速度的模型表示为
多 传 感 器 数 据 融 合
应用篇——目标跟踪
机动模型部分
参考书：
l Kalman 滤波器理论与应用——基于
MATLAB 实现
l 金学波，科学出版社，2016 年出版
l 第 7 章 机动目标动力学模型
离散 Kalman 滤波器
1. 系统方程为 x(k + 1) = A(k)x(k) + w(k) z(k) = C(k)x(k) + v(k)
E[w(k)wT ( j)] = Q(k)δ (k − j)
E[v(k)vT ( j)] = R(k)δ (k − j)
E[w(k)vT ( j)] = 0
2. 初始化 xˆ(0 | 0) = E[x(0)]
P(0 | 0) = E[(x(0) − xˆ(0 | 0))(x(0) − xˆ(0 | 0))T ]
Τ50 20 Τ04 8 Τ03 6
Τ
4 0
8
Τ
3 0
3
Τ
2 0
2
Τ
3 0
⎤ ⎥
6⎥
Τ02
⎥
⎥σ 2
2⎥
⎥
Τ0
⎥ ⎦⎥
Singer 模型
CV 模型和 CA 模型的区别在于前者假设目标机动的“加速度”为噪声过程，而后者假设目标机动的加速
∑N
xˆ
0 j
(k
|
k)
=
E
⎡⎣
x(k)
|
mj
(k
+ 1),
Z
k
⎤⎦
=
xˆi (k | k)µ j /i (k)
i =1
∑{ } N
Pj0
(k
|
k
)
=
cov
⎡⎣
xˆ
0 j
(k
|
k
)
|
mj
(k
+
1),
Z
k
⎤⎦
=
Pi
(k
|
k
)
+
⎡⎣
xˆ
0 j
(k
|
k
)
−
xˆi
(k
|
k
)⎤⎦
⎡⎣
xˆ
0 j
(k
|
⎣⎢⎢
x! (t ) !x!(t ) !x!!(t )
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥⎥
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢
0 0 0
1 0 0
0
1 −α
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢⎢
x(t ) x! (t ) !x!(t )
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥⎥
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢
0 0 1
⎤
⎥ ⎥
wc
(t
)
，离散化后得到：
⎦⎥
⎡
⎢1
⎢
A = eFΤ0
P(k | k − 1) = A(k − 1)P(k − 1 | k − 1)AT (k − 1) + Q(k − 1)
P(k | k) = (I − K (k)C(k))P(k | k − 1)
度导数为噪声过程，两者的共同点为都假设该噪声过程为零均值高斯白噪声。R. A. Singer 于 1970 年提出了
著名的 Singer 模型。Singer 模型假设目标加速度为指数自相关零均值随机噪声过程，即 a(t) = !x!(t) 。a(t) 的时间
相关函数为指数形式，即
!x!!(t) = wc(t)
⎡ ⎢1
Τ0
A = eFΤ0
=
⎢ ⎢0
1
⎢⎢0 0
⎢⎣
Τ02 2
⎤ ⎥ ⎥
Τ0 1
= E[w(k)wT (u)]= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
kΤ0
c
∫ 将上式中 Τ0 省略，只用 k 或 k+1表示离散时刻取值，得到 x(k +1) = eFΤ0 x(k) +
Τ0 0
eF
⋅
(Τ0
−λ )Gwc
(λ)d
λ
∫ 上 式 中 右 端 第 二 项
Τ0 0
eF
(
Τ0
−λ
)Gwc
(λ
)d
λ
体现了噪声对系统状态的影响，它是一个积分项，设
A = eFΤ0
0 值，而是零均值高斯白噪声 wc (t) ，即 wc(t) ~ N (0,σ 2 ) ，用公式表示加速度的变化为 !x!(t) = wc(t)
将上式写为连续时间系统状态方程为
离散化后得到
⎡ ⎢ ⎣⎢
x! (t ) !x!(t )
⎤ ⎥ ⎦⎥
=
⎡ ⎢ ⎣
0 0
1 0
(u)]
=
⎢ ⎢
⎣⎢
1 3
Τ
3 0
1 2
Τ
2 0
1 2
Τ02
Τ0
⎤ ⎥
⎥⎥σ 2
⎦⎥
CA 模型
CA 模型假设目标做匀加速直线运动，即理想的目标加速度值没有变化，其导数为 0，但还是由于干扰的
存在，加速度导数变化也不能维持在 0 值，而是零均值高斯白噪声 wc (t)，
xˆ(k | k − 1) = A(k − 1)xˆ(k − 1 | k − 1)