2020年辽宁省大连市金州区数学一模(含解析)
2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷
2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣62．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108 4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）5．（3分）不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x38．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB ＝3，BC＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．10．（3分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝°．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣）2++．18．（9分）计算：÷﹣．19．（9分）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE ＝DF．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．（9分）如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．。
2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题1．﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣62．如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×1084．在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）5．不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形7．计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x38．不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB＝3，BC ＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．10．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝°．12．某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．计算：（3﹣）2++．18．计算：÷﹣．19．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF．20．某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣6的绝对值等于（）A．6B．C．﹣D．﹣6【分析】根据绝对值的性质解答即可．解：根据绝对值的性质，|﹣6|＝6，故选：A．2．如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B．3．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A．1 496×105B．1 496×108C．1.496×105D．1.496×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：149 600 000这个数用科学记数法表示为1.496×108．故选：D．4．在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（）A．（2，3）B．（2，9）C．（﹣1，6）D．（5，6）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减计算即可．解：点P（2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P'的坐标为（2，6﹣3），即（2，3），故选：A．5．不等式6x+1≤2x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：6x+1≤2x﹣3，6x﹣2x≤﹣3﹣1，4x≤﹣4，x≤﹣1，故选：D．6．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．7．计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x3【分析】根据积的乘方的性质进行计算即可．解：（﹣3x）3＝﹣27x3，故选：A．8．不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率＝＝．故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC，若AB＝3，BC ＝5，则AE的长为（）A．B．1C．D．【分析】根据折叠的性质得到CF＝BC＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝4，求得AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，∴CF＝BC＝5，EF＝BE，∵CD＝AB＝3，∠D＝90°，∴DF＝4，∴AF＝5﹣4＝1，设AE＝x，∴BE＝EF＝3﹣x，∵∠A＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝，故选：C．10．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3C．2D．2+【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C，D的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点F、G的横坐标，进而可求出线段FG的长．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（（﹣1+）﹣（（﹣1﹣）＝2，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝108°．【分析】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．解：∵AB∥CD，∠B＝72°，∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，∵BC∥DE，∴∠D＝∠C＝108°．故答案为：108．12．某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49．【分析】结合表格根据平均数的概念求解即可．解：平均数＝，故答案为：49．13．如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为2．【分析】先判断点O为△ABC的重心，根据重心的性质得到OD＝1，则BD＝3，再根据等边三角形的性质得BD⊥AC，∠BCD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．解：∵BD和CE为△ABC的中线，∴点O为△ABC的重心，∴OD＝OB＝×2＝1，∴BD＝3，∵△ABC为等边三角形，∴BD⊥AC，∠BCD＝60°，∴CD＝BD＝，∴BC＝2CD＝2．故答案为2．14．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．【分析】设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意可得两个等量关系：甜果的个数+苦果的个数＝1000，买甜果所需的钱数+买苦果的所需的钱数＝999，依此列出相应的方程组，从而可以解答本题．解：设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，由题意可得，，故答案为．15．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为22cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】作DM⊥AB于M，在Rt△BCN中，由三角函数求出BC≈83.3（cm），BN≈66.7（cm），求出AN的长，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM＝DM＝50cm，即可得出CD的长．解：作DM⊥AB于M，如图所示：在Rt△BCN中，BC＝CN÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm），∴BN＝BC•sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm），∴AN＝AB+BN＝34+37.5＝71.5cm，∵∠DAE＝45°，∠BAE＝90°，∴∠DAM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝DM＝50cm，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝71.5﹣50≈22（cm）；故答案为：22．16．“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为37升．【分析】找准几个关键点进行分析解答即可．解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．计算：（3﹣）2++．【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．解：原式＝9﹣6+2+4+2＝11．18．计算：÷﹣．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．解：原式＝•﹣＝﹣＝．19．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF．【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠DFC＝∠AEB＝90°，又由CE＝BF，可得CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，AB＝CD，所以△DFC≌△AEB，即可得出AE＝DF【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，∵AB＝CD，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴AE＝DF．20．某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30%，成绩等级为“及格”的男生人数为10人；（2）被测试男生的总人数为50人，成绩等级为“不及格”的男生人数5人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．【分析】（1）根据及格的人数和频率求出被测试男生的总人数，用总人数乘以成绩等级为“优秀”的男生人数所占的百分比，求出成绩等级为“优秀”的男生人数，再用成绩等级为“优秀”的男生人数除以总人数，即可得出成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比；根据及格的频数直接得出成绩等级为“及格”的男生人数；（2）根据（1）求出的总人数乘以成绩等级为“不及格”的男生人数的频率即可得出答案；（3）用该校七年级共有的人数乘以成绩等级为“良好”的学生人数所占的百分比即可．解：（1）被测试男生总数有10÷0.2＝50（人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50×30%＝15（人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为×100%＝30%；成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30，10；（2）根据（1）可得：被测试男生总数是50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数有50×0.1＝5（人），故答案为：50，5；（3）根据题意得：570×（1﹣30%﹣0.2﹣0.1）＝228（人），答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人．21．向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【分析】（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年该村的人均收入＝2019年该村的人均收入×（1+增长率），即可求出结论．解：（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x，依题意，得：30000（1+x）2＝36300，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（元）．答：预测2020年该村的人均收入是39930元．22．如图，直线y＝3x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（0＜n＜6），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点D，交直线AB于点E，连接BD．若S△BDE＝S△BOC，求n的值．【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝3x+6求出m得到A（1，9），然后把A点坐标代入y＝中求出得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式确定B（﹣2，0），C（0，6），再用n表示出E（，n），D（，n），根据三角形面积公式，利用S△BDE＝S△BOC得到×n×（﹣）＝××2×6，即方程得到n1＝3+2，n2＝3﹣2，然后利用0＜n＜6可判断n的值不存在．解：（1）把A（1，m）代入y＝3x+6得m＝3+6＝9，∴A（1，9）；把A（1，9）代入y＝得k＝1×9＝9，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0；（2）当y＝0时，3x+6＝0，解得x＝﹣2，则B（﹣2，0）；当x＝0时，y＝3x+6＝6，则C（0，6）；∵DP∥x轴，∴D、E点的纵坐标都为n，∴E（，n），D（，n），∵S△BDE＝S△BOC，∴×n×（﹣）＝××2×6，整理得n2﹣6n﹣3＝0，解得n1＝3+2，n2＝3﹣2，∵0＜n＜6，∴n的值不存在．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线AB、CD交于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AF＝7，DC＝2，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到CD⊥OC，根据平行线的性质得到∠CAD ＝∠ACO，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）如图，连接BC，CF，BF，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，根据相似三角形的性质得到＝，求得DF＝1（负值舍去），根据勾股定理得到＝＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如图，连接BC，CF，BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AFB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，由（1）知，∠DAC＝∠CAO，∴∠CBA＝∠DCA，∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠AFC+∠CBA＝180°，∵∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠CBA＝∠DCA，由（1）知，∠ADC＝∠CDF＝90°，∴△CDF∽△ADC，∴＝＝，∴＝，∴DF2+7DF＝8，∴DF＝1（负值舍去），∴AD＝AF+DF＝7+1＝8，∴AC＝＝＝6，∵∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∴AB＝9，∵∠AFB＝90°，∠ADC＝90°，∴∠AFB＝∠ADC，∴BF∥DE，∴＝，＝，∴AE＝．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH ＝m．分两种情形：①当0＜t≤1时，如图1中．②当1＜t＜5时，如图2中，分别求解即可．（2）首先确定点E落在BC上的时间，分三种情形：①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，分别求解即可解决问题．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．则∠AHC＝∠CHB＝90°，设AH＝m．在Rt△ACH中，＝tan A＝2，∴CH═2AH＝2m，∵∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝∠ACB＝90°，∴∠BCH＝∠A，在Rt△BCH中，＝tan∠BCH＝2，∴BH＝2CH＝4m，∴AH+HB＝AB，∴5m＝5，∴m＝1，∵四边形PDEF是正方形，∠APD＝∠DPF＝90°，①当0＜t≤1时，如图1中，＝tan A＝2，∴PD＝2PA＝2t．②当1＜t＜5时，如图2中，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠PDB＝90°，∴∠PDB＝∠A，在Rt△DPB中，＝tan∠BDP＝2，∴PD＝PB＝（5﹣t）＝﹣t+．（2）当点E落在BC上时，如图3中，由题意EF＝PF＝PD＝2t，BF＝2EF＝4t，∵AP+PF+BF＝AB，∴t+2t+4t＝5，∴t＝，①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PDEF，如图1中，S＝（2t）2＝4t2．②当＜t≤1时，重叠部分是五边形PDMNF，如图4中，EF＝PD＝PF＝2t，在Rt△BNF中，FN＝BF＝（5﹣3t），∴EN＝EF﹣FN＝2t﹣（5﹣3t）＝t﹣，在Rt△EMN中，EM＝2EN＝7t﹣5t，∴S＝S正方形PDEF﹣S△EMN＝4t2﹣（7t﹣5）2＝﹣t2+t﹣．③当1＜t＜5时，重叠部分是四边形PDNF，如图2中，S＝S△BDP﹣S△BNF＝×（5﹣t）×（5﹣t）﹣×（﹣）×（﹣）＝t2﹣t+，综上所述，S＝．25．阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质、结合题意证明即可；（2）作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，证明△DFH≌△CFG，根据全等三角形的性质得到CG＝DH，证明△ADH∽△ABN，根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠ACB＝∠CAE+∠E，∵∠B＝∠BAD+∠E，∴∠BAD＝∠EAC；（2）解：CG＝AD，理由如下：作AN⊥CD于N，DH⊥AG于H，设∠BAD＝α，则∠EAC＝α，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF＝∠DAE＝（∠DAC+∠EAC）＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（90°﹣∠BAD）＝45°﹣α，∴∠ADF＝∠B+∠BAD＝45°+α，∴∠ADF＝∠DAF，∴FA＝FD，∵∠DAC＝90°，∴∠FAC＝90°﹣∠DAF，∠FCA＝90°﹣∠ADF，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC，∴DF＝CF，在△DFH和△CFG中，，∴△DFH≌△CFG（AAS），∴CG＝DH，∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝BC＝AB，∠ADH＝90°﹣∠DAF＝45°﹣α，∴∠ADH＝∠B，又∠AHD＝∠ANB，∴△ADH∽△ABN，∴＝＝，∴＝，即CG＝AD．26．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为2m﹣3（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，即可求解；（2）分t≤﹣1、﹣1＜t＜0、t≥0三种情况，分别求解即可；（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．解：（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，故h＝2m﹣3，故答案为：2m﹣3；（2）a＝1，C1：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m＝1时，C2的顶点为（﹣1，4），C2：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，①当t≤﹣1时，y随x的增大而增大，y1﹣y2＝﹣t2﹣2t+3﹣[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]＝3，解得：t＝﹣2；②当t﹣1＜﹣1＜t时，即﹣1＜t＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t﹣1）≥t﹣（﹣1）时，即﹣1＜t≤﹣时，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣t2＝3，解得：t＝（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t﹣1）＜t﹣（﹣1）时，即﹣＜t＜0时，y1﹣y2＝3＝4﹣（t2﹣2t+3）＝t2+2t+1，解得：t＝﹣1（舍去）；③当t﹣1≥﹣1时，即t≥0时，y随x的增大而减小，y1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣[﹣t2﹣2t+3]＝3，解得：t＝1；综上，t＝﹣2或t＝1；（3）当m＝2时，C1：y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，∴C2的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，当y＝0时，x＝﹣1或3，当x＝0时，y＝3a，∴点A、B、D的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，3a）；∵线段BD绕原点O顺时针旋转90°，∴点B′的坐标为（3，0），点D′的坐标为（3a，0）．①当a＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D′在点A的右侧（含点A）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图1，∴3a≥3，解得a≥1；（Ⅱ）当点D′在点A的左侧，且点D在点B′的下方（含点B′）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图2，∴3a≤1，∴0＜a≤；②当a＜0时，点D′在点B的左侧（含点B）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图3，∴3a≤﹣1，解得：a≤；综上，a≤﹣或0＜a≤或a≥1；。
2020年大连高三第一次模拟考试数学文科试卷答案
2
2
所以 f (x) 的单调递增区间是[k − , k + ](k Z ) ．.. ................6 分
4
4
（Ⅱ）由 f ( B) = 2sin B −1 = 0 ，可得 sin B = 1 ，..... ............... ........8 分
2
2
由题意知 B 为锐角， B = ，. .............. ............... .......10 分 3
，所以 p = 3 ...... .......... .............. ........ ...................6 分 10
（Ⅱ）由已知可知，不超过 4 小时的人数为：50×0.05×2=5 人，..................7 分 其中女生有 3 人，所以男生有 2 人，因此经常锻炼的女生有 50×40％-3=17 人， 男生有 30-2=28 人...... .......... .............. ........ ...............8 分 所以 2×2 列联表为：
男生
女生
小计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
小计
30
20
50
..... .......... .............. ........ .. ...........................10 分
所以
.. ...........................11 分
所以没有 90％的把握说明， 经常锻炼与否与性别有关. ........................12 分
2020年大连市金州区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年大连市金州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2017的绝对值是()A. 2017B. 12017C. −2017 D. −120172.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是()A. B. C. D.3.用科学记数法表示602300，应该是()A. 602.3×103B. 6023×102C. 6.023×105D. 6.023×1064.点P(1,3)向下平移2个单位后的坐标是()A. (1,2)B. (0,1)C. (1,5)D. (1,1)5.不等式1+x<0的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.计算(−ab2)3的结果是()A. −3ab2B. a3b6C. −a3b5D. −a3b68.小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是()A. 127B. 13C. 19D. 299.如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()A. 65B. 54C. 76D. 5610.如图，抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<3的范围内有解，则t的取值范围是()A. −5<t≤4B. 3<t≤4C. −5<t<3D. t>−5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，若AB//CD，∠1=80°，则∠2=______°.12.某班有40名学生，其中14岁的有16人，15岁的有24人，这个班学生平均年龄是__________岁．13.如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则DC的值为______．GC14.《孙子算经》是中国的重要数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如，那么乙也共有钱48果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是．15. 如图是某小区的一个健身器材，已知BC =0.15 m ，AB =2.70 m ，∠BOD =70°，则端点A 到地面CD 的距离为__________m.(精确到0.1 m ，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)16. 某电视台“走基层”栏目的一位记者赴360km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．如果汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：ℎ)之间的关系如图所示，那么汽车在乡村公路上的行驶速度为______km/ℎ．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分） 17. 计算：(1)(3+√5)(3−√5)；(2)√18−√50−√1218.计算：1−(1a+3+6a2−9)÷a+3a2−6a+9．19.如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．20.为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来50名男生进行了身高测量，根据测量结果(测量结果均为整数，单位：cm)列出了如下频数表：根据表中提供的信息回答下列问题：(1)在表中，数据在164.5～168.5cm范围内的频数是_____________，176.5～180.5cm范围内的频率是______________；(2)在表中，频率最大的一组数据的范围是_________cm；(3)估计该校九年级男生身高在172cm以上(不包含172cm)的约占_________%．21.2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．(1)求平均每年增加的百分率；(2)假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．22.如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A(2,0)，与反比例函数y=kx，求一次函数和的图象在第四象限交于点B(4,n)，△OAB的面积为32反比例函数的表达式．23.如图，AB，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE//CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．(1)求证：BC平分∠ABP；(2)求证：PC2=PB·PE；(3)若BE−BP=PC=4，求⊙O的半径．24.如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按C→A→B→C的路径运动一周．设出发的时间为t秒．(1)若t=2秒时，求△ABP的周长．(2)若△BPC是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围．(3)是否存在某一时刻t，使得△BCP为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．25.如图，△ABC中，CA=CB(1)当点D为AB上一点，∠A=12∠MDN=α①如图1，若点M、N分别在AC、BC上，AD=BD，问：DM与DN有何数量关系？证明你的结论；②如图2，若ADBD =14，作∠MDN=2α，使点M在AC上，点N在BC的延长线上，完成图2，判断DM与DN的数量关系，并证明；(2)如图3，当点D为AC上的一点，∠A=∠BDN=α，CN//AB，CD=2，AD=1，直接写出AB⋅CN的积．26.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(−1,0)、B(n,0)两点，一次函数y2=2x+b的图象过点A．(1)若a=12，①求二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)的函数关系式；②设y3=y1−my2，是否存在正整数m，当x≥0时，y3随x的增大而增大？若存在，求出正整数m的值；若不存在，请说明理由；(2)若13<a<25，求证：−5<n<−4．【答案与解析】1.答案：A解析：解：−2017的绝对值是2017．故选：A．根据绝对值的性质解答即可．此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.答案：D解析：此题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体左边看的视图．观察几何体，找出左视图即可．解：如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故选：D．3.答案：C解析：解：将602300用科学记数法表示为6.023×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：D解析：解：∵点P(1,3)向下平移2个单位，∴点P的横坐标不变，为1，纵坐标为3−2=1，∴点P平移后的坐标为(1,1)．故选：D．根据向下平移纵坐标减求解即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5.答案：A解析：解：移项，得：x<−1，故选：A．移项即可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6.答案：B解析：【试题解析】本题考查了轴对称与中心对称图形．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形进行逐一判断即可．解：前两个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图是中心对称图形，不是轴对称图形．因此既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．7.答案：D解析：解：(−ab2)3=−a3b6，故选：D．根据积的乘方与幂的乘方计算可得．本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则．8.答案：D解析：本题考查了概率公式，列表法与树状图法求概率.画树状图展示共有27种等可能结果，然后找出三人摸到球的颜色都不相同的情况数，即可利用概率公式得到答案．解：设红、黄、白三种球分别为A、B、C，如图，一共有27种等可能的情况，三人摸到球的颜色都不相同的情况有6种，∴P(三人摸到球的颜色都不相同)=627=29．故选D．9.答案：D解析：解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，{∠AFE=∠CFD ∠E=∠DAE=CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF=DF，FC=FA，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=2，设FA=x，则FC=x，FD=3−x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=22+(3−x)2，解得x=136，则FD=3−136=56．故选：D．根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=3−x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2= 22+(3−x)2，解方程求出x．本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．10.答案：B解析：解：∵抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，∴−m2×(−1)=2，解得m=4，∴抛物线解析式为y=−x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2,4)，当x=1时，y=−x2+4x=3；当x=3时，y=−x2+4x=3，∵关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<3的范围内有解，∴抛物线y=−x2+4x与直线y=t在1<x<3的范围内有公共点，∴3<t≤4．故选：B．先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y=−x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4)，再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=−x2+4x与直线y=t在1<x<3的范围内有公共点可确定t的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.答案：100解析：解：∵AB//CD ，∠1=80°，∴∠1=∠3=80°，∴∠2=180°−∠3=180°−80°=100°．故答案为：100°．先根据平行线的性质得出∠3的度数，再由两角互补的定义即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．12.答案：14.6解析：本题考查了加权平均数的概念，平均数等于所有数据的和除以数据的个数．根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，即可得出答案．解：根据题意得： 平均年龄=(14×16+15×24)÷40=(224+360)÷40=584÷40=14.6(岁)．故答案为14.6．13.答案：32 解析：本题考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 根据三角形重心的性质即可求解．解：∵△ABC 的中线BE 、CD 交于点G ，∴点G 是△ABC 的重心，CG ：DG =2：1，∴DC GC =2+12=32．故答案为：32．14.答案：{x +12y =4823x +y =48解析：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．解：由题意可得，{x +12y =4823x +y =48， 故答案为：{x +12y =4823x +y =48．15.答案：1.1解析：本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、锐角三角函数的定义，属于基础题.过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，根据题意可知AE//OD ，根据平行线的性质可得∠A =∠BOD =70°，在Rt △AFB 中根据锐角三角函数的定义可得AF =2.7cos70°，进而求出答案．如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ．∵OD ⊥CD ，∠BOD =70°，∴AE//OD ，∴∠A =∠BOD =70°．在Rt △AFB 中，AB =2.7 m ，∴AF =2.7cos70°≈2.7×0.34=0.918(m)，∴AE =AF +BC =0.918+0.15=1.068≈1.1(m)．故答案为1.1．16.答案：60解析：解：汽车在乡村公路上的行驶速度为(270−180)÷(3.5−2)=90÷1.5=60(km/ℎ)，故答案为：60根据函数的图象和已知条件解答即可．本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．17.答案：解：(1)原式=9−5=4；(2)原式=3√2−5√2−√22=−5√22．解析：(1)利用平方差公式计算；(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.答案：解：原式=1−a+3a2−9⋅(a−3)2a+3=1−a−3a+3=a+3a+3−a−3a+3=6a+3．解析：根据分式的混合运算法则计算即可．本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．19.答案：证明：如图所示，连接AC，AD，在△ABC与△AED中，{AB=AE ∠B=∠E BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC=AD，在△ACF与△ADF中，{AC=AD CF=DF AF=AF，∴△AFC≌△AFD(SSS)，∴∠CFA=∠DFA，∴AF⊥CD．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.利用SAS得到三角形ABC与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AD，再由三边对应相等的两个三角形全等，可得∠CFA=∠DFA，进而可得AF⊥CD．20.答案：解：(1)12；0.08；(2)168.5～172.5；(3)36．解析：本题考查作频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点：频数=频率×总数，频率=频数÷总数．(1)根据频率和频数之间的关系计算，即可解答(2)在表中，各组频率最大是0.26，可知频率最大的一组数据的范围；(3)将该校初三男生身高在172cm以上的三组的频率相加即可．解：(1)在表中，数据在164.5～168.5范围”内的频数是50×0.24=12；176.5～180.5cm范围内的频率是4÷50=0.08；故答案为12；0.08；(2)在表中，频率最大的一组数据的范围是168.5～172.5；故答案为168.5～172.5；(3)该校初三男生身高在172cm以上的约占0.24+0.08+0.04=0.36=36%．故答案为36．21.答案：解：(1)设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000(1+x)2=7200，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)．答：平均每年增加的百分率为20%．(2)7200×(1+20%)=8640(瓶)．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．解析：(1)设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据2022年该公司赞助的矿泉水数量=2021年该公司赞助的矿泉水数量×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.答案：解：∵点A(2,0)，点B(4,n)，∴S△AOB=12×2×(−n)=32，解得n=−32，∴B(4,−32)， 把(4,−32)代入y =k x ，可得k =−6，∴反比例函数的表达式为y =−6x ．把A(2,0)，B(4,−32)代入y =ax +b ，可得{2a +b =04a +b =−32，解得{a =−34b =32， ∴一次函数表达式为y =−34x +32．解析：本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．依据△OAB 的面积为32，可得B(4,−32)，利用待定系数法，即可得到一次函数和反比例函数的表达式． 23.答案：解：(1)∵BE//CD ，∴∠1=∠3，又∵OB =OC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，即BC 平分∠ABP ；(2)如图，连接EC 、AC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠PCD =90°，又∵BE//DC，∴∠P=90°，∴∠1+∠4=90°，∵AB为⊙O直径，∴∠A+∠2=90°，又∠A=∠5，∴∠5+∠2=90°，∵∠1=∠2，∴∠5=∠4，∵∠P=∠P，∴△PBC∽△PCE，∴PCPE =PBPC，即PC2=PB⋅PE；(3)∵BE−BP=PC=4，∴BE=4+BP，∵PC2=PB⋅PE=PB⋅(PB+BE)，∴42=PB⋅(PB+4+PB)，即PB2+2PB−8=0，解得：PB=2，则BE=4+PB=6，∴PE=PB+BE=8，作EF⊥CD于点F，∵∠P=∠PCF=90°，∴四边形PCFE为矩形，∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，∵BE//CD，∴D̂E=B̂C，∴DE=BC，在Rt△DEF和Rt△BCP中，∵{DE=BCEF=CP，∴Rt△DEF≌Rt△BCP(HL)，∴DF=BP=2，则CD=DF+CF=10，∴⊙O的半径为5．解析：(1)由BE//CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；(2)连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE//DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE即可；(3)由PC2=PB⋅PE、BE−BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC= PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可．本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．24.答案：解：(1)∵AB=10，BC=6，AC=8，∴由勾股定理逆定理得∠C=90°，∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2个单位，∴出发2秒后，P在AC上，且CP=4，则AP=4，∵∠C=90°，∴由勾股定理得PB=2√13，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=4+10+2√13=14+2√13；(2)如图，作CP⊥AB于P．∵12⋅AB⋅CP=12⋅AC⋅BC，∴CP=AC⋅BCAB =6×810=245，∴AP=√AC2−PC2=325，∴当∠CPB =90°时，t =(8+325)÷2=365，当点P 在线段AC 上(不包括C)时，∠PCB =90°，此时0<2t ≤8，解得0<t ≤4，∴当0<t ≤4或t =365s 时，△PCB 是直角三角形．(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP =CB ，点P 在AC 上，CP =6cm ，此时t =6÷2=3(秒)；如果CP =CB ，点P 在AB 上，CP =6cm ，此时，作AB 边上的高CD ，利用等面积法求得CD =4.8，再利用勾股定理求得DP =3.6，所以BP =7.2，AP =2.8，所以t =(8+2.8)÷2=5.4(秒)；②如果BC =BP ，那么点P 在AB 上，BP =6cm ，CA +AP =8+10−6=12(cm)，此时t =12÷2=6(秒)；③如果PB =PC ，那么点P 在BC 的垂直平分线与AB 的交点处，即在AB 的中点，此时CA +AP =8+5=13(cm)，t =13÷2=6.5(秒)；综上可知，当t =3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP 为等腰三角形．解析：本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)由t =2可知点P 在线段AC 上，利用勾股定理可求得BP 的长，则可求得△ABP 的周长；(2)过C 作CP ⊥AB 于点P ，可求得CP 的长，则可求得AP 的长，当点P 在线段AC 上时，可知满足条件，当CP ⊥AB 时也满足条件，从而可求得t 的取值范围；(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP =CB ；②BC =BP ；③PB =PC ． 25.答案：解：(1)①DM =DN ，理由如下：当DM⊥AC，DN⊥BC时，∵CA=CB，∴∠A=∠B，在△ADM和△BDN中，{∠A=∠B∠AMD=∠BND AD=BD，∴△ADM≌△BDN(AAS)，∴DM=DN；当DM、AC不垂直，DN、BC不垂直时，如图1，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，则DP=DQ，在四边形CPDQ中，∠DPC=∠DQC=90°，∴∠PDQ+∠PCQ=180°；∵∠PCQ+2∠A=180°，∴∠PDQ=∠MDN=2∠A；∴∠PDM=∠QDN，在△PDM和△QDN中，{∠PDM=∠QDN DP=DQ∠DPM=∠DQN，∴△PDM≌△QDN(ASA)，∴DM=DN；②完成图2，如图2所示，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，∴∠A+∠ADP=90°，∠B+∠QDB=90°，∴∠A+∠ADP+∠B+∠QDB=180°，∴2∠A=180°−∠ADP−∠QDB，∴∠PDQ=2∠A，又∠MDN=2∠A，∴∠PDQ=∠MDN，∴∠PDM=∠NDQ，又∠DPM=∠DQN=90°，∴△DPM∽△DQN，∴DMDN =DPDQ，∵∠A=∠B，∠DPA=∠DQB=90°，∴△APD∽△BQD，DP DQ =ADDB，∴DMDN =ADDB=14，∴DN=4DM；(2)连接BN，∵∠CDB=∠A+∠ABD=∠CDN+∠BDN，∠BDN=∠A，∴∠CDN=∠ABD，∵CN//AB，∴∠BCN=∠ABC，又∠CAB=∠CBA，∴∠BCN=∠BDN=∠A，∴点C、D、B、N四点共圆，∴∠CDN=∠CBN，∴∠CBN=∠ABD，∠BCN=∠A，∴△ABD∽△CBN，∴ADCN =ABBC，∴AB⋅CN=AD⋅BC=3．解析：(1)①分DM⊥AC，DN⊥BC和DM、AC不垂直，DN、BC不垂直两种情况，根据全等三角形的性质证明结论；②过D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，分别证明△DPM∽△DQN和△APD∽△BQD，根据相似三角形的性质解答；(2)连接BN，证明△ABD∽△CBN，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26.答案：解：∵y1=ax2+bx+c(a>0)过点A，∴a−b+c=0，∵y 2=2x +b 的图象过点A ，∴b =2，∴c =2−a ；(1)①∵a =12∴c =2−12=32，∴y 1=12x 2+2x +32， ②y 3=12x 2+2x +32−m(2x +2) =12x 2+(2−2m)x +(32−2m)， ∵在x ≥0时，y 3随x 的增大而增大，∴对称轴x =−2−2m 2×12=2m −2≤0，∴m ≤1，∵m 是正整数，∴m =1；(2)∵y 1=ax 2+2x +(2−a)的对称轴为x =−22a =−1a ，又∵13<a <25，∴−3<−1a <−52，又∵A(−1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称，∴|−1−(−1a )|=|−1a −n|，∴n =−2a +1或n =−1(舍)，∴−5<n <−4．解析：(1)①a =12，c =2−12=32，即可求解；②y 3=12x 2+2x +32−m(2x +2)=12x 2+(2−2m)x +(32−2m)，即可求解；(2)y 1=ax 2+2x +(2−a)的对称轴为x =−22a =−1a ，而13<a <25，即：−3<−1a <−52，又A(−1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称，则：|−1−(−1a )|=|−1a −n|，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式的解法，重点确定对称轴的表达式及其范围．。
2020届辽宁省大连市中考数学一模试卷(有解析)
2020届辽宁省大连市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中最小的数是()A. −3B. 3C. 0D. −132.下列几何体中，主视图是长方形的是()A. B.C. D.3.点P的坐标是(−2,a2+1)，则点P一定在第()象限．A. 一B. 二C. 三D. 四4.经专家测算，北京的4G网络速度基本上能够保证在80 000 000bps左右，最高峰值时曾达到106 000 000bps，将106 000 000用科学记数法表示应为()A. 106×106B. 1.06×106C. 1.06×108D. 1.06×1095.如图，AB//CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=68°，则∠B的度数为()A. 22°B. 32°C. 44°D. 68°6.下列运算不正确的是()A. x3+x3=x6B. x6÷x3=x3C. x2⋅x3=x5D. (−x3)4=x127.如图，AC是▱ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是()A. CFAD =CGACB. ABAE =CGAGC. EFFD =BFBCD. EBCD =BFFD8. 5.随机掷两枚硬币，落地后朝上一面是一正一反的概率是A. B. C. D.9.如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y=a(x−m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为()A. 13B. 7C. 5D. 810.如图，已知AB是的切线，点A为切点，连接OB交于点C，，点D是上一点，连接，.则等于()A. 76°B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：2xy2+4xy+2x=______．12.一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的机会______ 摸到J，Q，K的机会(填“<，>或=”)13.n边形的每个外角都等于15°，则n=______ ．14.小明和小刚每天坚持跑步，小明每秒跑6米，小刚每秒跑4米，如果他们同时从相距2000米的两地相向起跑，____________秒后两人相遇．15.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C=50°，设∠ABC=x°，∠CDE=y°，则y关于x的函数表达式为______．16.如图，△ABC中，DE//FG//BC，且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE：FG：BC=______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.(1)计算：|−5|−2cos60°−√9+(12)−1(2)解分式方程：32x−4−xx−2=12．四、解答题（本大题共9小题，共74.0分）18.已知2a−1的平方根是±3，b−3的立方根是2，求√5a+b的值．19.如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．(1)如图1，过F作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA．(2)如图2，连接BF交AC于D，若AD=3CD，求证：E点为BC中点．20.“元旦晚会”是重庆一中庆祝节日的校级传统活动，初三年级某班班委为了更好的组织这次晚会，调查了同学们最期盼的节日类型(全班每位同学都必须且只能从曲艺类、语言类、歌曲类、舞蹈类这四类节目中选一类)，并根据统计结果绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：(1)该班共有学生______人，扇形统计图中语言类对应的圆心角是______度，并补全条形统计图．(2)已知最期盼语言类的学生中，有4人擅长主持，其中有2名男生和2名女生，班委决定从这4名同学中随机选择2名担当本次元且晚会的主持人，请利用画树状图或列表的方法求出恰好选中1名男生和1名女生的概率．21.2013年10月6日，台风“菲特“影响宁波，11个县(市)区受到了不同程度的影响，现有一批救灾物资n件要运往三个县《市)区A，B，C，三地(三地不一定都送)，要求运往C地的件数是运A地件数的2倍，运往A地运费为30元/件．运往B地运费为12元/件．运往C地运费为18元/件．设把x件物资运往A地(1)当n=500时．根据信息填好下表：A地B地C地合计物资件数n(件)X______ 2x500运费(元)30x______ ______ ______(2)在(1)的条件一下，运往A地的件数不少于100件，且总费用不超过为9060元，则有哪几种运输方案？(3)若总费用为7128元，求n的最小值．22. 温度与我们的生活息息相关，如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(℉).设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(℉)，则y是x的一次函数，通过观察我们发现，温度计上的摄氏温度为0℃时，华氏温度为32℉；摄氏温度为−20℃时，华氏温度为−4℉请根据以上信息，解答下列问题(1)仔细观察图中数据，试求出y与x的函数关系式；(2)当摄氏温度为−5℃时，华氏温度为多少？(3)当华氏温度为59℉时，摄氏温度为多少？23. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交⊙O于点F，连结AD，AF．(1)求证：∠BAF=∠DAC．(2)当AF=8，AD=6，CD=3时，求⊙O的直径．24. 如图1，菱形ABCD是边长为2，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O．(1)操作发现：小芳同学将△CBD绕点O旋转得△CEF，当CF落在AD上时(如图2)，连接ED，请直接写出ED与AC的位置关系和数量关系；(2)问题解决：小芳同学继续旋转△CEF(A,C不重合)，如图3，连接ED、AC，她认为(1)中的结论仍然成立．你同意吗？说明理由．(3)深入思考：若直线ED与直线AC的交点为H，请直接写出BH的最大值．25. 如图在△CDE中，∠DCE=90°，DC=CE，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．26. 我们定义：把y2=ax叫做函数y=ax2的伴随函数.比如：y2=x就是y=x2的伴随函数.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y=ax2(a≠0的常数)，若点(m,n)在函数y=ax2的图象上，则点(−m,n)也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于y轴对称.解答下列问题：(1)y2=x的图象关于______ 轴对称；(2)①直接写出函数y=4x2的伴随函数的表达式______ ；②在如图①所示的平面直角坐标系中画y=4x2的伴随函数的大致图象；(3)若直线y=kx−3k(k≠0)与y=4x2的伴随函数图象交于A、B两点(点A在点B的上方)，连接OA、OB，且△ABO的面积为12，求k的值；(4)若直线AB(AB不平行于y轴)与y=ax2(a>0的常数)的伴随函数图象交于A、B两点(点A、B分别在第一、四象限)，且∠AOB=90°，试AB两点的纵坐标的积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．解：如图所示，，由图可知，最小的数是−3．故选A．2.答案：A解析：解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆形，四面体的主视图是三角形，故选：A．根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，主视图就是从正面看该物体所得到的图形．3.答案：B解析：解：−2<0，a2+1>0，的坐标是(−2,a2+1)，则点P一定在第二象限，故选：B．根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．本题考查了点的坐标，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零．4.答案：C解析：解：将106 000 000用科学记数法表示为1.06×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：C解析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C的度数，再由平行线的性质即可求出∠B 的度数．解：∵CD=CE，∠D=68°，∴∠CED=∠D=68°，∴∠C=180°−∠CED−∠D=180°−68°−68°=44°．∵AB//CD，∴∠B=∠C=44°．故选C．6.答案：A解析：解：A、x3+x3=2x3，本选项错误；B、x6÷x3=x3，本选项正确；C、x2⋅x3=x5，本选项正确；D、(−x3)4=x12，本选项正确；故选：A．结合选项分别进行同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算，然后选择正确选项．本题主要考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算，解题的关键是熟记同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方等运算法则．7.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD，CD//AB，∴△CFG∽△ADG，∴CFAD =CGAG，故A不正确；∵CD//AE，∴△CDG∽△AEG，∴CDAE =CGAG，∵AB=DC，∴ABAE =CGAG，故B正确；∵△BEF∽△CDF，∴EFDF =BFCF=BECD，故C，D不正确；故选：B．根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，CD//AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．8.答案：B解析：解析：朝上一面发生的结果总数有4种，即(正，正)、(反，反)(正，反)、(反，正)，所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是24=12．故选择B9.答案：D解析：解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C(0,0)，D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故选：D．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1,4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；。
2020届辽宁省大连市普通高中高三下学期一模考试数学(理)试题及解析
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
先根据抛物线定义可得到 点的横坐标，再代入抛物线方程即可.
【详解】设 ，
因为点 到焦点 距离为5即 ,
根据抛物线定义： ，
解得： ，
代入抛物线方程 ，
得 即
故选：C
7.设非零向量 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出结论）；
（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 服从正态分布 ．其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于 的人数，求 的数学期望．
【详解】因为对任意的 恒有 成立，
所以有： ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以
故答案为：
16.如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上二面角 的平面角为 ，用图中字母表示角 为__________， 的最小值是__________．
【答案】 (1). (2).
2020年辽宁大连市高三第一次模拟考试理数试题(含答案)
2020年辽宁大连市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其中第II卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则集合A∩B为(A){－2，－1，0，1，2}(B){－1，0，1，2}(C){－1，0，1，2，3}(D){－2，－1，0，1，2，3}(2)若复数z满足z(1＋i)＝2，则z的虚部为(A)－1(B)1(C)－i(D)i(3)下列函数中是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数的是(A)y＝ln|x|(B)y＝cosx(C)y＝－x2(D)y＝x3(4)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4＋a5＝12，则S8的值为(A)14(B)28(C)36(D)48(5)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35µg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m'空气质量为二级，超过7Sµg/m3为超标。
如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位：µg/m3)的日均值，则下列说法正确的是(A)10天中PM2.5日均值最低的是1月3日(B)从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高(C)这10天中恰有5天空气质量不超标(D)这10天中PM2.5日均值的中位数是43(6)已知抛物线y 2＝4x.上点B(在第一象限)到焦点F 距离为5，则点B 坐标为(A)(1，1)(B)(2，3)(C)(4，4)(D)(43)(7)设非零向量m ，n ，则“m ⊥n ”是“|m ＋2n|＝|m －2n|”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)如图是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的部分图象，则ω，φ的值分别为(A)1，3π(B)1，－6π(C)2，－6π(D)2，6π(9)设数列{a n }的前n 项和为S n 。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。
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2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A ．6B ．61C ．﹣61D ．﹣62．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149600000千米，149600000这个数用科学记数法表示为（）A ．1496×105B ．1496×108C ．1.496×105D ．1.496×1084．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，9）C ．（﹣1，6）D ．（5，6）5．（3分）不等式6x +1≤2x ﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形7．（3分）计算（﹣3x ）3的结果是（）A ．﹣27x 3B ．﹣9x 3C ．9x 3D ．27x 38．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A ．81B ．61C ．41D ．319．（3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，折痕为EC ，若AB ＝3，BC ＝5，则AE 的长为（）A ．32B ．1C ．34D ．3510．（3分）如图，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ，BD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线FG 平行于x 轴，与抛物线交于F ，G 两点，则线段FG 的长为（）A ．1+3B ．3C ．23D ．2+3二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠B ＝72°，则∠D ＝°．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣2）2+32+21．18．（9分）计算：42823169622+--+÷-++a aa a a a a ．19．（9分）如图，AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE ＝BF ．求证：AE ＝DF ．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．（9分）如图，直线y ＝3x +6与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（0＜n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点D ，交直线AB 于点E ，连接BD ．若S △BDE ＝32S △BOC ，求n 的值．23．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线AB 、CD 交于点E ，AD 交⊙O 于点F ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AF ＝7，DC ＝22，求AE 的长．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A ．6B ．61C ．﹣61D ．﹣6【解答】解：根据绝对值的性质，|﹣6|＝6，故选：A ．2．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B ．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149600000千米，149600000这个数用科学记数法表示为（）A ．1496×105B ．1496×108C ．1.496×105D ．1.496×108【解答】解：149600000这个数用科学记数法表示为1.496×108．故选：D ．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，9）C ．（﹣1，6）D ．（5，6）【解答】解：点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（2，6﹣3），即（2，3），故选：A ．5．（3分）不等式6x +1≤2x ﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：6x+1≤2x﹣3，6x﹣2x≤﹣3﹣1，4x≤﹣4，x≤﹣1，故选：D．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x3【解答】解：（﹣3x）3＝﹣27x3，故选：A．8．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A ．81B ．61C ．41D ．31【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率＝122＝61．故选：B ．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，折痕为EC ，若AB ＝3，BC ＝5，则AE 的长为（）A ．32B ．1C ．34D ．35【解答】解：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，∴CF ＝BC ＝5，EF ＝BE ，∵CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，∴DF ＝4，∴AF ＝5﹣4＝1，设AE ＝x ，∴BE ＝EF ＝3﹣x ，∵∠A ＝90°，∴AE 2+AF 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得：x ＝34，∴AE ＝34，故选：C ．10．（3分）如图，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ，BD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线FG 平行于x 轴，与抛物线交于F ，G 两点，则线段FG 的长为（）A ．1+3B ．3C ．23D ．2+3【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +3）（x ﹣1），∴令x ＝0，则y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），令y ＝0，则（x +3）（x ﹣1）＝0，∴x ＝﹣3或1，∴B （1，0），∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，∴对称轴为x ＝﹣1，∵CD ∥AB ，∴C 、D 两点关于x ＝﹣1对称，∴D （﹣2，﹣3），设BD 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则⎩⎨⎧-=+-=+320n m n m ∴⎩⎨⎧-==11n m ，∴BD 的解析式为y ＝x ﹣1，∴E （0，﹣1），令y ＝﹣1，则y ＝x 2+2x ﹣3＝﹣1，解得，x ＝﹣1±3，∴F （﹣1﹣3，﹣1），G （﹣1+3，﹣1），∴FG ＝（﹣1+3）﹣（﹣1﹣3）＝23，故选：C ．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠B ＝72°，则∠D ＝108°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∠B ＝72°，∴∠C ＝180°﹣∠B ＝108°，∵BC ∥DE ，∴∠D ＝∠C ＝108°．故答案为：108．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49．【解答】解：平均数＝491045034924847=⨯+⨯+⨯+故答案为：49．13．（3分）如图，△ABC 是等边三角形，中线BD ，CE 相交于点O ，OB ＝2，则BC 的长为23．【解答】解：∵BD 和CE 为△ABC 的中线，∴点O 为△ABC 的重心，∴OD ＝21OB ＝21×2＝1，∴BD ＝3，∵△ABC 为等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BCD ＝60°，∴CD ＝33BD ＝3，∴BC ＝2CD ＝23．故答案为23．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，根据题意，可列方程组为．【解答】解：设买甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，由题意可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+999749111000y x y x 15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB ∥DC ，∠BAE ＝90°，根据图中的数据计算CD 的长为22cm （精确到1cm ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：作DM ⊥AB 于M ，如图所示：在Rt △BCN 中，BC ＝CN ÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm ），∴BN ＝BC •sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm ），∴AN ＝AB +BN ＝34+37.5＝71.5cm ，∵∠DAE ＝45°，∠BAE ＝90°，∴∠DAM ＝45°，∴△ADM 是等腰直角三角形，∴AM ＝DM ＝50cm ，∴CD ＝MN ＝AN ﹣AM ＝71.5﹣50≈22（cm ）；故答案为：22．16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为37升．【解答】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为1001-5.230-180=公里，每小时耗油量为81-5.233-45=升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣2）2+32+421．【解答】解：原式＝9﹣62+2+42+22＝11．18．（9分）计算：42823169622+--+÷-++a aa a a a a 【解答】解：原式＝423)4(2)4)(4()3(2+-+-∙-++a aa a a a a ＝424)3(2+-++a aa a ＝46+a 19．（9分）如图，AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE ＝BF ．求证：AE ＝DF ．【解答】证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠DFC ＝∠AEB ＝90°，又∵CE ＝BF ，∴CE ﹣EF ＝BF ﹣EF ，即CF ＝BE ，∵AB ＝CD ，∴Rt △DFC ≌Rt △AEB （HL ），∴AE ＝DF ．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30%，成绩等级为“及格”的男生人数为10人；（2）被测试男生的总人数为50人，成绩等级为“不及格”的男生人数5人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．【解答】解：（1）被测试男生总数有10÷0.2＝50（人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50×30%＝15（人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为5015×100%＝30%；成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30，10；（2）根据（1）可得：被测试男生总数是50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数有50×0.1＝5（人），故答案为：50，5；（3）根据题意得：570×（1﹣30%﹣0.2﹣0.1）＝228（人），答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【解答】解：（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x ，依题意，得：30000（1+x ）2＝36300，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（元）．答：预测2020年该村的人均收入是39930元．22．（9分）如图，直线y ＝3x +6与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（0＜n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点D ，交直线AB 于点E ，连接BD ．若S △BDE ＝32S △BOC ，求n 的值．【解答】解：（1）把A （1，m ）代入y ＝3x +6得m ＝3+6＝9，∴A （1，9）；把A （1，9）代入y ＝xk得k ＝1×9＝9，∴反比例函数解析式为y ＝x9（x ＞0；（2）当y ＝0时，3x +6＝0，解得x ＝﹣2，则B （﹣2，0）；当x ＝0时，y ＝3x +6＝6，则C （0，6）；∵DP ∥x 轴，∴D 、E 点的纵坐标都为n ，∴E （36-n ，n ），D （n 9，n ），∵S △BDE ＝32S △BOC ，∴21×n ×（n 9﹣36-n ）＝32×21×2×6，整理得n 2﹣6n ﹣3＝0，解得n 1＝3+23，n 2＝3﹣23，∵0＜n ＜6，∴n 的值不存在．23．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线AB 、CD 交于点E ，AD 交⊙O 于点F ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AF ＝7，DC ＝22，求AE 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，又∵CD ⊥AD ，∴AD ∥OC ，∴∠CAD ＝∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ；（2）如图，连接BC ，CF ，BF ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∠AFB ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∠DAC +∠DCA ＝90°，由（1）知，∠DAC ＝∠CAO ，∴∠CBA ＝∠DCA ，∵四边形ABCF 是圆内接四边形，∴∠AFC +∠CBA ＝180°，∵∠AFC +∠DFC ＝180°，∴∠DFC ＝∠CBA ＝∠DCA ，由（1）知，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，∴△CDF ∽△ADC ，∴DF AF CDAD CD CD DF +==，∴DFDF +=72222∴DF 2+7DF ＝8，∴DF ＝1（负值舍去），∴AD ＝AF +DF ＝7+1＝8，∴AC ＝2622=+CD AD ∵∠DAC ＝∠CAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB =∴82626=AB ∴AB ＝9，∵∠AFB ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠AFB ＝∠ADC ，∴BF ∥DE ，∴AF AD AB AE =789=AE∴AE ＝772．24．（11分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，tan A ＝2，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，过点P 作PD ⊥AB 交△ABC 的直角边于点D ，以PD 为边向PD 右侧作正方形PDEF ．设点P 的运动时间为t 秒，正方形PDEF 与△ABC 的重叠部分的面积为S ．（1）用含t 的代数式表示线段PD 的长；（2）求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，过点C 作CH ⊥AB 于H ．则∠AHC ＝∠CHB ＝90°，设AH ＝m ．在Rt △ACH 中，AHCH＝tan A ＝2，∴CH=2AH ＝2m ，∵∠A +∠ACH ＝90°，∠ACH +∠BCH ＝∠ACB ＝90°，∴∠BCH ＝∠A ，在Rt △BCH 中，CHBH＝tan ∠BCH ＝2，∴BH ＝2CH ＝4m ，∴AH +HB ＝AB ，∴5m ＝5，∴m ＝1，∵四边形PDEF 是正方形，∠APD ＝∠DPF ＝90°，①当0＜t ≤1时，如图1中，ADPA ＝tan A ＝2，∴PD ＝2PA ＝2t ．②当1＜t ＜5时，如图2中，∵∠A +∠B ＝90°，∠B +∠PDB ＝90°，∴∠PDB ＝∠A ，在Rt △DPB 中，PD PB ＝tan ∠BDP ＝2，∴PD ＝21PB ＝21（5﹣t ）＝﹣21t +25．（2）当点E 落在BC 上时，如图3中，由题意EF ＝PF ＝PD ＝2t ，BF ＝2EF ＝4t ，∵AP +PF +BF ＝AB ，∴t +2t +4t ＝5，∴t ＝75，①当0＜t ≤75时，重叠部分是正方形PDEF ，如图1中，S ＝（2t ）2＝4t 2．②当75＜t ≤1时，重叠部分是五边形PDMNF ，如图4中，EF ＝PD ＝PF ＝2t ，在Rt △BNF 中，FN ＝21BF ＝21（5﹣3t ），∴EN ＝EF ﹣FN ＝2t ﹣21（5﹣3t ）＝27t ﹣25，在Rt △EMN 中，EM ＝2EN ＝7t ﹣5t ，∴S ＝S 正方形PDEF ﹣S △EMN ＝4t 2﹣41（7t ﹣5）2＝﹣433t 2+235t ﹣425．③当1＜t ＜5时，重叠部分是四边形PDNF ，如图2中，S ＝S △BDP ﹣S △BNF ＝21×（5﹣t ）×21（5﹣t ）﹣21×（25﹣2t ）×21（25﹣2t ）＝163t 2﹣815t +1675，综上所述，S ＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-≤<-+-≤<)51(1675815163)175(425235433750(4222t t t t t t t t ．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝kAB ，DA ⊥AC 交BC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且∠B ＝∠BAD +∠E ，AF 平分∠DAE 交BE 于点F ，CG ⊥AF 垂足为G ，探究线段CG 与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD 与∠CAE 相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG 与AD 的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD ＝∠EAC ；（2）探究线段CG 与AD 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠ACB 是△ACE 的外角，∴∠ACB ＝∠CAE +∠E ，∵∠B ＝∠BAD +∠E ，∴∠BAD ＝∠EAC ；（2）解：CG ＝2k AD ，理由如下：作AN ⊥CD 于N ，DH ⊥AG 于H ，设∠BAD ＝α，则∠EAC ＝α，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ＝21∠DAE ＝21（∠DAC +∠EAC ）＝45°+21α，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝21（180°﹣∠BAC ）＝21（90°﹣∠BAD ）＝45°﹣21α，∴∠ADF ＝∠B +∠BAD ＝45°+21α，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴FA ＝FD ，∵∠DAC ＝90°，∴∠FAC ＝90°﹣∠DAF ，∠FCA ＝90°﹣∠ADF ，∴∠FAC ＝∠FCA ，∴FA ＝FC ，∴DF ＝CF ，在△DFH 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CF DF CFG DFH CGF DHF ，∴△DFH ≌△CFG （AAS ），∴CG ＝DH ，∵AB ＝AC ，AN ⊥BC ，∴BN ＝21BC ＝2k AB ，∠ADH ＝90°﹣∠DAF ＝45°﹣21α，∴∠ADH ＝∠B ，又∠AHD ＝∠ANB ，∴△ADH ∽△ABN ，∴2k AB BN AD DH ==∴2k AD CG =即CG ＝2k AD．26．（12分）定义：把函数C 1：y ＝ax 2﹣6ax +5a （a ≠0）的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新函数C 2的图象，我们称C 2是C 1关于点P 的相关函数．C 2的图象的对称轴为直线x ＝h ．例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．（1）填空：h 的值为2m ﹣3（用含m 的代数式表示）；（2）若a ＝1，m ＝1，当t ﹣1≤x ≤t 时，函数C 2的最大值为y 1，最小值为y 2，且y 1﹣y 2＝3，求t 的值；（3）当m ＝2时，C 2的图象与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点D ．把线段BD 绕原点O 顺时针旋转90°，得到它的对应线段B ′D ′．若线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）y ＝ax 2﹣6ax +5a ，令y ＝0，则x ＝5或1，函数对称轴为直线x ＝3，由中点公式得：h +3＝2m ，故h ＝2m ﹣3，故答案为：2m ﹣3；（2）a ＝1，C 1：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m ＝1时，C 2的顶点为（﹣1，4），C 2：y ＝﹣（x +1）2+4＝﹣x 2﹣2x +3，①当t ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，y 1﹣y 2＝﹣t 2﹣2t +3﹣[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]＝3，解得：t ＝﹣2；②当t ﹣1＜﹣1＜t 时，即﹣1＜t ＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t ﹣1）≥t ﹣（﹣1）时，即﹣1＜t ≤﹣21时，y 1﹣y 2＝4﹣[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]＝3，解得：t ＝3±（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t ﹣1）＜t ﹣（﹣1）时，即﹣21＜t ＜0时，y 1﹣y 2＝3＝4﹣（t 2﹣2t +3）＝t 2+2t +1，解得：t ＝﹣13±（舍去）；③当t ﹣1≥﹣1时，即t ≥0时，y 随x 的增大而减小，y 1﹣y 2＝[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]﹣[﹣t 2﹣2t +3]＝3，解得：t ＝1；综上，t ＝﹣2或t ＝1；（3）当m ＝2时，C 1：y ＝ax 2﹣6ax +5a ＝a （x ﹣3）2﹣4a ，∴C 2的表达式为：y ＝﹣a （x ﹣1）2+4a ，当y ＝0时，x ＝﹣1或3，当x ＝0时，y ＝3a ，∴点A 、B 、D 的坐标分别为：（3，0）、（0，1）、（0，3a ）；∵线段BD 绕原点O 顺时针旋转90°，∴点B ′的坐标为（0，3），点D ′的坐标为（3a ，0）．①当a ＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D ′在点A 的右侧（含点A ）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图1，∴3a ≥3，解得a ≥1；（Ⅱ）当点D ′在点A 的左侧，且点D 在点B ′的下方（含点B ′）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图2，∴3a ≤1，∴0＜a ≤31；②当a ＜0时，点D ′在点B 的左侧（含点B ）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图3，∴3a ≤﹣1，解得：a ≤-31；综上，a ≤﹣31或0＜a ≤31或a ≥1；。