高考数学总复习 15 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 新人教版

【优化总结】2013高考数学总复习 1-5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象 新人教版1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 解析：函数y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π10――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 答案：C2．若直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：所求最大值，即为y ＝sin x 的一个周期的长度2π. 答案：D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝5π4解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的对称轴方程为2x ＋5π2＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π＋k π2，k ∈Z.当k ＝1时，x ＝－π2.故选A. 答案：A4．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的振幅为______，周期为______，初相φ＝______.解析：y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋23π， 故振幅为2，周期为23π，初相为23π.答案：2 23π 23π5．将函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，若把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位后得到的曲线与y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________________________．解析：y ＝2sin xy ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－12cos 2x .答案：y ＝－12cos 2x6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象如图，求函数的表达式．解：由函数图象可知A ＝1，函数周期T ＝2×[3－(－1)]＝8， ∴ω＝2πT ＝π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0， ∴π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)， 而|φ|＜π2，∴φ＝－π4，∴函数的表达式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.(时间：30分钟 满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础 中档 稍难 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1、6、8 2 10 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 3 9 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用 45、7、91．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ，故选B.答案：B2．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.由题意知，要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象只需将y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．答案：A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：由⎩⎨⎧ ω×1＋φ＝π2，ω×3＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π4.φ＝π4.答案：C4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称点中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A解析：∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝3π2＋k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2.又当x ＝5π12时， 2x ＋π6＝π，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．答案：C二、填空题(每小题4分，共12分)5．若函数y ＝sin(2x ＋θ)的图象向左平移π6个单位长度后恰好与y ＝sin 2x 的图象重合，则θ的最小正值为________．解析：y ＝sin (2x ＋θ)的图象――――――――→向左平移π6个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ＝sin 2x ， ∴π3＋θ＝2k π，即θ＝2k π－π3(k ∈Z)， ∴θ的最小正值为2π－π3＝53π.答案：53π6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)．f (x )的图象的相邻最高点和最低点的横坐标相差π2，初相为π6，则f (x )的表达式为________________． 解析：由题意知．T ＝2·π2＝π，则ω＝2πT ＝2ππ＝2，φ＝π6.∴表达式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 7．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R)有下列命题，其中正确的是________．①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．解析：∵4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴①正确，②④不正确，而③中f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是对称中心．答案：①③三、解答题8．(10分)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z)个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象． (2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――――――――→所有点向上平移1个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 9.(10分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示，(1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间．解：(1)由图得A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2， 故y ＝2sin(2x ＋φ)． 又2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×π12＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，∴φ＝2k π＋2π3，k ∈Z.又|φ|＜π，∴φ＝2π3得函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)令z ＝2x ＋2π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)． 由－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π得－7π12＋k π≤x ≤－π12＋k π(k ∈Z)， 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z)．10．(12分)将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象．(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图所示．(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．即方程f (x )＝g (x )解的个数为7.。