两个向量的数量积习题课

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第十三讲空间直角坐标系与向量运算习题课

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的曲线 l1.
六、投影柱面和投影曲线
空间曲线 C :
关于xoy面的投影柱面：
C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
H
(
x, y) z0
0
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
特别，a=b时为z 轴的旋转双曲面
4. 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
第四章空间解析几何与向量运算
5. 柱面
在三维空间中
a
(
ax
,
ay
,
az
)
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
cos ax
ax
a
ax2 ay2 az2
cos ay a
bx by bz ax ay az
ay ax2 ay2 az2
cos az
az
a
ax2 ay2 az2
第四章空间解析几何与向量运算
三、两向量的乘积
数量积 a b =
= a Pr ja b =
axbx ayby azbz 性质 (1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
a b 0 axbx ayby azbz 0
（3）当为非零向量时,
cos
ab
第四章空间解析几何与向量运算
向量积 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则

空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案

3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行；反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组：组号：姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析：设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅，所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-．附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ，则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高中数学人教A版2019选择性必修第一册第一章.2空间向量的数量积运算-2PPT全文课件(39ppt

从而l⊥平面α.
l
lm gn
证明：在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，
g上取非零向量l，m，n，g.
g
n
因为直线m，n相交，所以m，n不共线.
m
α
因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm +yn.
因为l⊥m， l⊥n，所以l⊥m， l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0. 于是l·g＝l·xn＋ l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，所以l⊥g.
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追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
平面向量的数量积运算律空间向量的数量积运算律
① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R； ② a·b＝b·a（交换律）; ③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
aA
a，b的夹角，记作〈a，b〉，
b
规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
α O.
B
如果〈a，b〉＝
2
，那么
向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
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高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换习题课—三角恒等变换素养练(含解析)新人教B版必修第三

习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。

49 向量的数量积第2课时向量的向量积教案

6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。

向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。

包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。

向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。

但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。

A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。

教学方法：以学生为主探究式学习合作学习教学工具：多媒体课件相关资料教学过程多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1） a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。

二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。

（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。

因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。

课时作业5:3.1.3　两个向量的数量积

3．1.3 两个向量的数量积一、基础过关1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件答案 A解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．61答案 C解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.3．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a 等于( )A ．12B ．8＋13C ．4D ．13 答案 D解析 (2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13. 4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°答案 D解析 ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 5．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.答案 18解析将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 答案 7解析 |a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos π3＋22＝7，∴|a ＋b |＝7. 7.如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .证明设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |.∵BD →＝CD →－CB →＝b －a ，∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b·c －a·c＝|b||c |cos 60°－|a||c |cos 60°＝0，∴CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD .二、能力提升 8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案 B解析 △BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．9．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.10．已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 6答案 D解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6.11.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．解由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝P A →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A →·DA →＝P A →·AB →＝P A →·BC →＝0.∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0，∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(P A →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →)＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12， ∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.12．已知正四面体OABC 的所有棱长均为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.解 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝ (OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3＝ 6.三、探究与拓展13.证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图，PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA . 求证：l ⊥P A .证明如图，取直线l 的方向向量a ，同时取向量PO →，OA →.因为l ⊥OA ，所以a ·OA →＝0.因为PO ⊥α，且l ⊂α，所以l ⊥PO ，因此a ·PO →＝0.又因为a ·P A →＝a ·(PO →＋OA →)＝a ·PO →＋a ·OA →＝0，所以l ⊥P A .。

课时作业9：2.3.2向量数量积的运算律

2.3.2向量数量积的运算律课后拔高提能练一、选择题1．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a －3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．42．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－244．已知单位向量α、β满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为( )A ．－13B ．13C ．12D ．155．设a ，b ，c 是三个向量，以下命题中真命题的序号是( )A ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cB ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0C ．若a ，b ，c 互不共线，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |26．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.8．在直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若在直角三角形ABC中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.9．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC→的最大值为________．三、解答题10．若平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a .(1)求a 与b 的夹角；(2)求|2a ＋b |.11．在△ABC 中，中线AM ＝2.(1)若OA →＝－2OM →，求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)若P 为中线AM 上的一个动点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．12．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时，(1)求t 的值(用a ，b 表示)；(2)求证：b 与a ＋t b 垂直．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题1．A【解析】 |a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×1×1×12＋9＝7.∴|a －3b |＝7，故选A ． 2．B【解析】由题可得a ·b ＝0，由c ⊥d ，得c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0.∴k ＝6.故选B ．3．C【解析】∵|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴∠ABC ＝90°，∴AB →·BC →＝0，∴原式＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →)＝CA →·AC →＝－25.4．B【解析】设α与β的夹角为θ，由题得2α2－2β2＋3α·β＝2－2＋3cos θ＝1.∴cos θ＝13. 5．D【解析】 A 中，当b ，c 同时与a 垂直，但不相等，也满足a ·b ＝a ·c ，不正确； B 中，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，不一定有a ＝0或b ＝0，不正确；C 中，a ·(b ·c )与a 共线，(a ·b )·c 与c 共线，又a 与c 不共线，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，不正确；D 正确．6．C【解析】如图所示，连接MN ，由BM →＝2MA →，CN →＝2NA →可知点M 、N 分别为线段AB 、AC上靠近点A 的三等分点，则BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，由题意可知，OM → 2＝12＝1，OM →·ON →＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3OM→2＝－3－3＝－6.故选C ．二、填空题7．18【解析】设O 点为AC 与BD 的交点，∴AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos ∠P AC＝|AP →|·2|AO →|cos ∠P AC＝2|AP →|2＝18.8．－2或0【解析】若∠A 为直角，则AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0，得m ＝－2；若∠B 为直角，∵BC →＝AC →－AB →＝i ＋(m －1)j ，则AB →·BC →＝1＋m －1＝0，得m ＝0；若∠C 为直角，∴AC →·BC →＝2＋m (m －1)＝0，即m 2－m ＋2＝0，方程无解．∴m 的值为－2或0.9．1 1【解析】解法一根据平面向量的数量积公式DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →||DA →|cos θ，由图可知，|DE →|·cos θ＝|DA →|.因此DE →·CB →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝|DE →||DC →|cos α＝|DE →|cos α，而|DE →|cos α就是向量DE →在DC →边上的射影，要想让DE →·DC →最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC →，所以长度为1.解法二DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1.DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC →＝DA →·DC →＋AE →·DC →＝|AE →||DC →|cos0°＝|AE →|，∴当|AE →|＝1时，DE →·DC →最大，此时E 点与B 点重合．三、解答题10．解(1)由(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝0，∴a 2－b ·a ＝0.∴a ·b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22. ∴〈a ，b 〉＝π4. (2)|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4×2＋4×2＋4＝20.∴|2a ＋b |＝2 5.11．解(1)证明因为M 是BC 的中点，所以OM →＝12(OB →＋OC →)，代入OA →＝－2OM →，得OA →＝－OB →－OC →，即OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)设|AP →|＝x ，即|PM →|＝2－x (0≤x ≤2)．因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →.所以P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PM →＝－2|P A →||PM →|＝－2x (2－x )＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2，当x ＝1时，取最小值－2.12．解(1)|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝⎛⎭⎫t ＋a ·b |b |22＋a 2－(a ·b )2b 2. 当t ＝－a ·b b2时，|a ＋t b |取最小值． (2)证明(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·b b2·b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。

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uuur uuur uuur uuur 2CAgBD 2ABgBD
2b2 cos1200.
b2 a2
CD
b2 a2 .
例３、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD' 交于 D',DBD’=30.如果AB＝a，AC＝BD＝b，
（1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD' 所成的角．
小结
空间向量数量积的定义
空间向量的夹角
空间向量数量积ห้องสมุดไป่ตู้的性质
(1)a e | a | cos a, e (2)a b a b 0 (3) | a | a a
空间向量数量积的运用
用a b＝0证垂直用|a|2 a a求距离用cos a,b a b 求夹角
1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离或线段长度。
（3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的余弦值等等。
C 运用二：求线段长度常把线
段表示成向量形式，然后通
过向量运算求解.
E
运用三：常运用向量数量积的变形公式求异面直线所成的角. A
D
D' B
例4.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中.AB 4, AD
3, AA' 5, BAD 900, BAA' DAA' 600,
点，求证：AF BD
E
D F
A
C
B
三、例题讲解： 1、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而
也可以证明线面垂直问题。
例1、正方体ABCD A1中B1C，1DE1、F分别是
BB1,C的D中点。求证： D1F 平面AED
分析：要证明线面
垂直，只需证明直
D1
A1
C1 B1
线和已知平面内的
两条相交直线垂直
uuur uuur uuur uuur
ABgAA' ADgAA' )
C'
B'
C
B
42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
2、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？
小结：
到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题：
|a||b|
一、复习提问： a
b
1、空间两个向量和的数量积如何表示？
其结果是向量还是实数？
2、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？
二、练习（线线垂直问题） 1、如图，三角形ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中
即可。本题可考虑
D
证明D1F AD, D1F AE
A
E
F
C
B
例3.已知线段AB在平面内,线段AC ,线段
BD AB,线段DD' , DBD' 300,如果AB a,
AC BD b,求C, D间的距离. C
b
D
解:
b D'
由AC AC AB. A a B
求AC '的长.
D'
解:
Q
uuuur AC'

uuur uuur uuur AB AD AA',
A'
uuuur uuur uuur uuur
D
| AC' |2 (AB AD AA')2
uuur uuur uuur
uuur uuAur
| AB |2 | AD |2 | AA' |2 2( ABgAD
由DBD' 300
uuur uuur CA, BD
1200.
b2 a2 b2
uuur uuur uuur uuur | CD |2 (CA AB BD)2
uuur uuur uuur uuur uuur | CA |2 | AB |2 | BD |2 2CAgAB