两个向量的数量积

3.1.3
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ → 答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝ → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ．
规定：0≤〈a，b〉≤π. 问题 2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积 a· b
＝|b||c|cos 60° － |a||c|cos 60° ＝0， → → ∴CC1⊥BD，即 CC1⊥BD.
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探究点三
问题
利用数量积求向量的模
类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．
答案 利用数量积 a· b＝|a||b|cos θ 知 a· a＝|a||a |cos〈a，a〉＝|a|2.
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2．空间向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉 (1)定义：已知两个非零向量 a， b，则 ____________________
叫做 a， b 的数量积，记作 a· b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数 量积的结合律 交换律 分配律
λ(a· b) (λa)· b＝ ________ b· a a· b＝ ________
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跟踪训练 1 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求： → → (1)OA· OB； → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋ CB)． → → → → 解 (1)OA· OB＝|OA|· |OB|· cos∠AOB 1 ＝1×1×cos 60° ＝2. → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB) → → → → → → ＝(OA＋OB)· (OA－OC＋OB－OC) → → → → → ＝(OA＋OB)· (OA＋OB－2OC)
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例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝ AA1＝2， AD ＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1；(3)EF· FC1. → → → 解 如图， 设AB＝a， AD＝b， AA1＝c，
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【学习要求】
两个向量的数量积
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量 积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中 一些简单的问题． 【学法指导】 数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、 两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两 向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．
④ |a· b|≤ |a ||b |
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3. 异面直线 (1)异面直线的定义
不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线． ________________________
(2)两条异面直线所成的角
平移到一个平面内 把异面直线 ________________________ ， 这时两条直线的夹角 锐角或直角 (________________) 叫做两条异面直线所成的角．如果所成的 直角 ，则称两条异面直线互相垂直． 角是 ________
1 1 1 → → b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2 1 1 b＋a ＝ (－a＋b＋c)· 2 2 1 2 1 2 ＝－2|a | ＋4|b | ＝2.
小结
计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点
上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．
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1．空间向量的夹角 已知两个非零向量 a， b，在空间任 定 → → 取一点 O，作OA＝ a，OB＝ b，则 义 ∠ AOB 叫做向量 a， b 的夹角 记 法
〈a，b〉
π [0 ， π ] 范 〈 a， b〉∈ ________.当〈 a， b〉＝ 2 围 ⊥ b 时， a______ 想一想 :〈 a，b〉与〈 b，a〉相等吗?〈 a,b〉与〈a,－ b〉呢?
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方法二 设正方体的棱长为 2. 1→ → 1→ → → → 1 → → → → ∴MN· AC＝ (BC＋CC1)· (AB＋BC)＝ BC· AB＋ BC· BC＋ 2 2 2 1→ → 1→ → CC · AB＋ CC1· BC 2 1 2 1→2 ＝0＋ |BC| ＋0＋0＝2， 2 → → → → 又|AC|＝2 2，|MN|2＝|NC|2＋|CM|2＝2. → → MN· AC 2 1 → → ∴cos〈MN，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2×2 2 2 |MN|· |AC| → → ∴〈MN，AC〉＝60° ， 即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .
则|a |＝|c|＝2，|b |＝4， a· b＝b· c＝c· a＝0.
1 → → (1)BC· ED1＝b· [2(c－a)＋b] ＝|b |2＝42＝16.
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1 → → (2)BF· AB1＝c－ a＋ b · (a＋c) 2 ＝ |c|2－ |a |2＝ 22－ 22＝ 0.
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1 ×cos 60° ＋12 －2×1×1×cos 60° ＝1.
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探究点二
利用数量积求夹角
在右图正方体中，M、 N 分别为棱 BC 和 棱 CC1 的中点， 求异面直线 AC 和 MN 所成的 角．
→ 1→ 解 方法一 ∵MN＝ BC1， 2 → → 又BC1＝AD1. ∴∠CAD1 的大小就是所求异面直线所成的角， ∵△ACD1 为正三角形，∴∠CAD1＝60° ，即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .
(a＋ b)· c＝ a· c＋ b· c
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(3)数量积的性质 ①若 a， b 是非零向量，则 a⊥ b⇔
a· b＝0 __________
两个 向量 数量
|a|· |b| ； ②若 a 与 b 同向，则 a· b＝ ________
|a|· |b| 若反向，则 a· b＝－ ________. 2 积的 | a | 特别地， a· a＝ ______或 |a|＝ a· a a· b 性质 |a||b| ③若 θ 为 a， b 的夹角， 则 cos θ＝ ________
＝36＋36＋36＋2×36cos 60° ＝144. → 所以|PC|＝12.
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空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数 量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构 造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为 证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量 的数量积．
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跟踪训练 2 如图所示，已知平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且 ∠ C1CB ＝ ∠ C1CD ＝ ∠ BCD ＝ 60° .求 证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则 |a |＝ |b |. → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， → → ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c
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2．已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60° ，那么|a＋3b|等 于 A. 7 B. 10 C. 13 D．4 ( C )
解析 |a＋3b |2＝(a＋3b)2＝a2＋6a· b＋9b2 ＝1＋6· cos 60° ＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.
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3． 如图所示， 已知 PA⊥平面 ABC， ∠ ABC ＝ 120° ，PA＝ AB＝ BC＝ 6，则 PC 等于 ( C ) A． 6 2 C． 12 B． 6 D． 144 → → → → 解析 因为PC＝PA＋AB＋BC， → → → → → → 所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB· BC
解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB. → → 由∠DBD′＝30° ，可知〈CA，BD〉＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 →2 → → → → → → ＝ |CA | ＋ |AB| ＋ | BD| ＋2( CA · AB＋CA · BD＋ AB· BD ) ＝b2 ＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60° ＋0)＝a2＋3b2， → ∴|CD|＝ a2＋3b2，即 CD＝ a2＋3b2.
的定义？
答案 已知两个非零向量 a，b，则|a||b |cos〈a， b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a· b. 零向量与任何向量的数量积为 0.
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问题 3
请你类比平面向量说出 a· b 的几何意义．
答案
a· b 的几何意义是 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影
|b |cos θ 的乘积．
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π 例 3 已知 a， b， c 中每两个的夹角都是 ，且 |a|＝ 4， |b|＝ 6， 3 |c|＝ 2，试计算 |a＋ b＋ c|.
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， π 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)· (a＋b＋c) ＝|a |2＋|b |2＋|c|2＋2a· b＋2a· c＋2b· c ＝|a |2＋|b |2＋|c|2＋2|a|· |b|· cos〈a，b〉＋2|a|· |c|cos〈a，c〉＋2|b |· |c|cos〈b，c〉 ＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100， ∴|a＋b＋c|＝10.
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小结
利用向量法求两异面直线的夹角， 在两条异面直线
上各取一非零向量： (1)把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合的位 置，化为求平面角的大小，通过解三角形得夹角的大小． (2)利用向量的数量积求出两向量的夹角， 则这个夹角就是 两异面直线所成的角或者是其补角 (注意异面直线所成角 的范围 )．