三角函数综合练习题及参考答案

三角函数训练题一、选择题1． 已知θ＝53，2θ＜0，则θ等于 （ ） A ．－43 B ．43 C ．－43或43 D ．54 2． 已知α、β均为锐角，若P ：α<(α＋β)，q ：α＋β<2π，则P 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）4．已知，函数y ＝2(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ） A ．ω＝2，θ＝4πB ．ω＝21，θ＝2πC ．ω＝21，θ＝4πD ．ω＝2，θ＝2π5． 把曲线y ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）A ．(1－y)＋2y －3＝0B ．(y －1)＋2y －3＝0C ．(y ＋1)＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)＋2y ＋1＝0x A ． B ． C ． D ．6．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（A ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位7.函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（A ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数 8.函数f (x )cos x x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（C ）A.1B.12C. 329.若动直线x a =与函数()sin f x x=和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN的最大值为（ B ） A ．1 BCD ．210． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是 （ D ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值二、填空题1．在△中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，，若00105,45A B ∠=∠=， 22b =，由c = ．2．已知函数ω在)2,2(ππ-内是减函数,则ω的取值范围是 .3．已(4π－x)＝53，则2x 的值为 。

4．]2,0[,sin 2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点，则k 的取值范围是 ． 5．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是 7. 若,(0,)2παβ∈，3cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于 ．8.在ABC ∆中，AB 3=u u u r ，BC 1=u u u r ， cos cos AC B BC A =u u u r u u u r，则AC AB ⋅=u u u r u u u r .9. 若x ∈(0, 2π)则2(2π)的最小值为 . 10.下面有五个命题： ①函数44x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{Z k k ∈π,2.③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+=⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 （写出所言 ） 答案：① ④ 三、解答题1．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。

2．已知向量(cos sin )(cos sin )||a ααb ββa b =-=r r r r ，，=，，，(1) 求cos()αβ-的值；(2) (2)若500sin sin 2213ππαββα<<-<<=-，，且，求的值。

3．已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R，（其中0ω>）（I ）求函数()f x 的值域； （）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．4． 已知函数21223·1 （x ∈R ）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？5．在ABC V 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a cB b-=， (1)求sin B 的值；(2)若b =ABC V 的面积。

6.设函数f(x)(23π)2.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设为∆的三个内角，若31，1()24c f =-，且C 为锐角，求. 7. 在∆中，sin()1C A -=, 13. （I ）求的值；()，求∆的面积.8．已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 9．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．参考答案 一、选择题二、填空题 三、解答题1、解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x最大值为； (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-， 所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。

2、解：(1)因为(cos sin )(cos sin )a ααb ββ=r r，，=，， 所以(cos cos sin sin )a b αβαβ-=--rr ，，又因为||5a b -=r r5=， 即4322cos()cos()55αβαβ--=-=，； (2) 00022ππαβαβπ<<-<<<-<，，， 又因为3cos()5αβ-=，所以 4sin()5αβ-=，5sin 13β=-，所以12cos 13β=，所以63sin sin[()]65ααββ=-+==L 3、答案：.1)6sin(cos 21)cos 21sin 23(2)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23)(--=--=+--++=πx x x x x x x x f由-1≤)6sin(cos π-x ≤1，得-3≤1)6sin(cos 2--πx ≤1。

可知函数)(x f 的值域为［-3,1］.（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周其为w ，又由w ＞0，得ππw2，即得2。

于是有1)62sin(2)(--=πx x f ，再由Z)(226222∈+≤-≤-k k k ππππππ，解得Z)(36∈+≤≤-k k x k ππππ。

所以)(x f y =的单调增区间为［Z)(3,6∈--k k k ππππ］4、解：（1）21223·1=41 (22x －1)+ 41+43（2·）+14124324521(2x ·6π2x ·6π)+45 21(26π)+45 所以y 取最大值时，只需26π2π2k π,（k ∈Z ），即 6ππ,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{6ππ∈Z}（2）将函数依次进行如下变换：（i ）把函数的图像向左平移6π，得到函数(6π)的图像；（）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数(26π)的图像；（）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数21(26π)的图像；（）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数21(26π)+45的图像。

综上得到212231的图像。

5、解：(1)由正弦定理及cos 3cos C a c B b -=，有cos 3sin sin cos sin C A CB B-=，即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin()3sin cos B C A B +=， 又因为A B C π++=，sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以1cos 3B =，又0B π<<，所以sin 3B ==。

(2)在ABC V 中，由余弦定理可得222323a c ac +-=，又a c =， 所以有22432243a a ==，即，所以ABC V 的面积为211sin sin 8222S ac B a B ===。

6、解:（1）f(x)(23π)21cos 213cos 2cossin 2sinsin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π.（2）()2c f 13sin 22C -－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角,所以3C π=,又因为在∆ 中, 31, 所以 2sin 33B =, 所以 2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯= 7、解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-，∴2sin sin()(cos sin )42222B B BA π=-=-，∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴3sin A =（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BCB A=∴36sin 3321sin 3AC ABC B•===，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+32261633=⨯+⨯=∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯= ABC8、解（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，9、解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 10、答案：解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -≤+≤+，即5ππππ1212k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．。