二次函数图像平移,对称与旋转 课件
合集下载
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数平移变换课件
二次函数平移变换的数学表达式
总结词
二次函数平移变换的数学表达式包括水平平移和垂直平移。水平平移是 $f(x-h)$ ，垂直平移是 $f(x) pm k$。
详细描述
水平平移表示将函数图像沿 x 轴移动，移动距离为 $h$。垂直平移表示将函数图 像沿 y 轴移动，移动距离为 $k$。这两种平移都可以通过改变函数表达式来实现 。
总结词
函数值整体上移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向上平移一个单位后，新的函数 为 $f(x) + 1 = ax^2 + bx + c + 1$ 。图像上每一个点的纵坐标增加1。
一次向下平移的二次函数
总结词
函数值整体下移
VS
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$， 向下平移一个单位后，新的函数为 $f(x) - 1 = ax^2 + bx + c - 1$。图像上每一 个点的纵坐标减少1。
综合练习题
题目
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图象先向左平移3个单位 ，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是 ____．
解析
原函数$f(x) = x^2 - 2x$的顶点坐标为$(1, -1)$。向左 平移3个单位后，顶点坐标变为$( -2, -1)$；再向下平移 5个单位，顶点坐标变为$( -2, -6)$。因此，平移后的函 数解析式为$y = (x + 2)^2 - 6$。
一次向左平移的二次函数
总结词
函数图像向左平移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向左平移一个单位后，新的函数为 $f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$。图像上每一个点 $(x, y)$ 对应到新的函数上变为 $(x+1, y)$。
二次函数图象的变换-人教新课标版PPT课件
x
2021/7/24
16
考点y研究3： 旋转
9
8 7
6
zxxkw
5 4 3
2
2.将抛物线y 1 (x 4)2 4 2
绕原点旋转180度，
会得到哪条抛物线？
（4，4）
y 1 (x 4)2 4 2
1
3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
1
2
（－4，－4）
2021/7/24
17
三、方法小结
的图象是抛
物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平
移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
zxxkw
_y_=_2_(_x_+_2__)2_-_2_.
2021/7/24
(-2，-2)
22
4、（2007.德阳市）如图 已知 与x轴交于点
A(1,0)和B(5,0)的抛物线 l1 的顶点为 C(3,4)，抛物线 l2 与 l1 关于x轴对称，顶
zxxkw
学.科.网
2021/7/24
1
课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3的开口方向是向下 ； 顶点坐标是（1，3） ，对称轴为直线x=1 。
2、 抛物线 是
y
；
1 x2 2x 1 （2 －2，－3）
的开口方向 向上
直线x=－2
顶点坐标是
为
。
，对称轴
2021/7/24
2
二：考点研究1： 平移
y 3(x 1)2 1
x (-1,-1)
（草图）
2021/7/24
19
四、巩固知识：
y 2(x 1)2 3
二:轴对称、旋转 已知抛物线C1:y=2x2+4x+5 (1).抛物线C2与C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式. (2).抛物线C3与C1关于y轴对称,求抛物线C3的解析式. (3)将抛物线C1 绕原点在平面内旋转180度得抛物线C4, 求抛物线C4的解析式 (4)将抛物线 C1绕其顶点在平面内旋转180度,得到抛物
2021/7/24
16
考点y研究3： 旋转
9
8 7
6
zxxkw
5 4 3
2
2.将抛物线y 1 (x 4)2 4 2
绕原点旋转180度，
会得到哪条抛物线？
（4，4）
y 1 (x 4)2 4 2
1
3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
1
2
（－4，－4）
2021/7/24
17
三、方法小结
的图象是抛
物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平
移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
zxxkw
_y_=_2_(_x_+_2__)2_-_2_.
2021/7/24
(-2，-2)
22
4、（2007.德阳市）如图 已知 与x轴交于点
A(1,0)和B(5,0)的抛物线 l1 的顶点为 C(3,4)，抛物线 l2 与 l1 关于x轴对称，顶
zxxkw
学.科.网
2021/7/24
1
课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3的开口方向是向下 ； 顶点坐标是（1，3） ，对称轴为直线x=1 。
2、 抛物线 是
y
；
1 x2 2x 1 （2 －2，－3）
的开口方向 向上
直线x=－2
顶点坐标是
为
。
，对称轴
2021/7/24
2
二：考点研究1： 平移
y 3(x 1)2 1
x (-1,-1)
（草图）
2021/7/24
19
四、巩固知识：
y 2(x 1)2 3
二:轴对称、旋转 已知抛物线C1:y=2x2+4x+5 (1).抛物线C2与C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式. (2).抛物线C3与C1关于y轴对称,求抛物线C3的解析式. (3)将抛物线C1 绕原点在平面内旋转180度得抛物线C4, 求抛物线C4的解析式 (4)将抛物线 C1绕其顶点在平面内旋转180度,得到抛物
函数图像变换(平移、对称)PPT课件
1
的图象。
x2
练习
(1)
y
1 图象向左平移 2x
1 2
个单位得到
。
(2)f (x)图象恒过点(1,1),则f (x - 4)图象过
点。
(3)f (x)图像关于x 1对称，则f (x - 4) 图象关于 对称。
函数图象的变换
例2. 设f(x)= 1 (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)
小结 (对称变换） ： 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对 称
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x2 2x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
我们可将函数的图象先沿x轴向左平移2个单位再沿y轴向上平移3个单位得到函数横坐标不变纵坐标取相反数横坐标取相反数纵坐标不变横坐标纵坐标同时取相反数图象关于x轴对称图象关于y轴对称图象关于原点对称绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件小结对称变换
提示语
·为方便使用本课件，可在课后 下载使用PowerPoint软件进行修 改调整
For the convenience of using this courseware, you can download it after class and use PowerPoint software to modify and adjust it
得y=f(x) +k的图象。
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
二次函数图像平移,对称与旋转 课件
简称：“左加右减”
小试牛刀
1.将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下 平移2个单位后，则所得抛物线解析式为 （ A ） A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2． 2.将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单 位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式? y= -2(x+1)2+4(x+1)+6-2 y= -2x2+6
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称 的函数图象的解析式是（ D ） A．y=（x-1）2-4 B．y=-（x+1）2-4 C．y=（x+1）2+4 D．y=-（x+1）2+4 分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐 标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
2012河南5题3分在平面直角坐标系中将抛物线4先向右平移2个单位再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是向上平移3个单位再向左平移2个单位那么得到的抛物线解析式是2x3的图像关于原点o00对称的图像解析式3
二次函数图像平移,对称与旋转
------ 大路李初级中学：
侯群霞
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： y=a(x-h)2+k+n 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c+n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 ___________ 向下平移n个单位： 2+k-n y=a(x-h) 2 二次函数y=a(x-h) +k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c-n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 ___________
2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转 课件
(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴 向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴 向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二 、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简称“上加下减”
沿x轴平移
向左平移m个单位： y=a(x-h+m)2+k 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为__________ 2+b(x+m)+c 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 y=a(x+m) __________ 向右平移m个单位： y=a(x-h-m)2+k 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为__________ 2+b(x-m)+c 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 y=a(x-m) __________
变式训练
1. 将二次函数y=x2+2x+6的图象向右平移1个单位，再 向上平移3个单位，求平移后的解析式? 分析： y=（x-1）2+2（x-1）+6+3 即:y=x2+8 2.已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、 y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系 下抛物线的解析式为( B ）. Ａ. y=2（x-2）2+2 Ｂ. y=2（x+2）2-2 Ｃ. y=2（x-2）2-2 Ｄ. y=2（x+2）2+2 分析： 若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2 个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移 两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为 y=2（x+2）2-2 答案：B
3.（2012)与抛物线y=-x2-2x-4关于x轴对称的图象表示为 ____ Y=x2+2x+4 4.（2012)与抛物线y=-2x2+x-1关于y轴对称的图象表示为—— Y= -2x2-x-1 5（2009•黔东南州）二次函数y=x2-2x-3的图像关于原点 O（0，0）对称的图像解析式—— Y=-x2-2x+3
图像对称
对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
小试牛刀
1.与抛物线y=x2-2x-4关于x轴对称的图象表示为( A ) A．y=-x2+2x+4 B．y=-x2+2x-4 C．y=x2-2x+6 D．y=x2-2x-4
图像旋转
绕原点旋转180°顶点纵横坐标与a全部符号变相反 绕顶点旋转180°顶点坐标符号不变，a符号变相反
小试牛刀
1.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°,则旋 2-1 y= -x 转后的抛物线解析式是 _________ 2.将抛物线y=x2-2x+3绕它的顶点旋转180°，所得 2+2x+1 y= -x 抛物线的解析式是 _____________
简称：“左加右减”
小试牛刀
1.将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下 平移2个单位后，则所得抛物线解析式为 （ A ） A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2． 2.将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单 位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式? y= -2(x+1)2+4(x+1)+6-2 y= -2x2+6
回顾中考
1.（2012河南5题3分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的 抛物线解析式是（ B ） (A)Y=(X+2)2+2 (B) Y=(X-2)2-2 (C) Y=(X-2)2+2 (D) Y=(X+2)2+2 2.（2013枣庄）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再 向左平移2个单位，那么得到的抛物线解析式是（ A ） (A)Y=3(X+2)2+3 (B) Y=3(X-2) 2 +3 (C) Y=3(X+2)2-3 (D) Y=3(X-2)2-3
二次函数图像平移,对称与旋转
------ 大路李初级中学：
侯群霞
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： y=a(x-h)2+k+n 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c+n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 ___________ 向下平移n个单位： 2+k-n y=a(x-h) 2 二次函数y=a(x-h) +k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c-n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 ___________
6（2012宁波）把二次函数y=(x-1)2+2的图像绕原点旋转1800 得到的抛物线解析式是——
y=-(x+1)2-2 7（2009）把二次函数Y=(X+2)2+2的图像绕顶点旋转1800得到 的抛物线解析式为—— Y=-(X+2)2+2
思考探讨
抛物线的图像平移可以类比点的平移规律吗？如 果可以，请试试动脑找出来吧。
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称 的函数图象的解析式是（ D ） A．y=（x-1）2-4 B．y=-（x+1）2-4 C．y=（x+1）2+4 D．y=-（x+1）2+4 分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐 标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
4.在平面直角坐标系中，函数图象A与二次函数y=x2+x-2 的图象关于x轴对称，而函数图象B与图象A关于y轴对称， y=-x2+x+2 那么函数图象B对应的函数关系式为_________________ 分析：∵函数图象A与二次函数y=x2+x-2的图象关于x 轴对称， ∴函数图象A的解析式为：y=-x2-x+2， ∵函数图象B与图象A关于y轴对称 ∴函数图象B的解析式为： y=-x2+x+2
分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐 标互为相反数”得变后解析式为：-y=x2-2x-4 即： y=-x2+2x+4 答案：A
2.如果某二次函数的图象与已知二次函数y=x2-2x的图象 关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ B ） A．y=-x2+2x B．y=x2+2x C．y=-x2-2x D．y=x2−2 分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为 相反数∴ y=（-x）2-2（-x）即：y=x2+2x 答案：B