极限存在准则
同济大学高等数学§1.3.1 极限存在准则
xn 单调增加（或单调减少）。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
定理2（单调有界原理）： 单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。
x1 x2 x3 xn xn1 a M
x
定理的几何解释：若数列{xn } 单调增加且有上界，即
n
n
※夹逼定理在肯定{yn} 收敛的同时也给出了其极
限当值n，在N实1 时际，应有用x时n ，a若nlim， y从n 而不a易求得xn，，则将yn 适当当n缩小N、2 时放，大有，z得n 两a个具，有从相而同zn极限a的辅，助数列
{x取n}N，{mzna}x，(N即1, 可N求2 )出，nl则im当ynn 。N 时，有
a xn yn zn a yn a ，
故 lim yn a 。
n
例 1．（1） a1,a2,, ak 为 k 个给定的正数， 求 lim n a1n a2n ak n 。
n
解：设a max{a1, a2 ,, ak } ，则
a n an n a1n a2n ak n n kan a n k ，
∵ lim a a ， lim a n k a ，
n
n
∴ lim n a1n a2n ak n a 。
n
lim n k 1
n
（2）求 lim 1 352n1. n 2 4 6 2n
解：令 xn
1 3 5 () 2n 1
246
2n
，
yn
2 4 6 () 2n ，
357
2n 1
定理3(Cauchy 收敛准则)：
数列an 收敛的充分必要条件是
0 N N使得m, n N有 am - an 。
极限存在准则 两个重要极限
y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y
1
1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn
a xn
a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)
1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn
lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1
1 2 ( xn
a xn
)(
n
1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
柯西极限存在准则
柯西极限存在准则
极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了收敛的充分必要条件;数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的ε,存在着这样的N,使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示,数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε,在上一切具有足够大号码的点Xn中,任意两点间的距离小于ε .
充分性证明：
1、首先证明Cauchy列有界
取ε=1,根据Cauchy列定义,存在自然数N,对一切n>N,有
Ian-aN+1I<1;
令M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|aN+1|+1}
则对一切n,成立|an|≤M;
所以Cauchy列有界;
2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界,所以根据Bolzano-Weierstrass定理有界数列有收敛子列存在一个子列ajn以A为极限;那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限;注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质,然后根据实数稠密性,考虑点领域的性质,然后就可以证明整个实数域的性质了
因为Cauchy列{an}的定义,对于任意的ε>0,都存在N,使得m、n>N时有
|am-an|<ε/2
取子列{ajn}中一个jk,其中k>N,使得
|ajk-A|<ε/2
因为jk>=k>N,所以凡是n>N时,我们有
|an-A|<=|an-ajk|+|ajk-A|<ε/2+ε/2=ε
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
1.6.极限存在准则
一、极限存在准则
二、两个重要极限
1
本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式：
lim
x 0
sin x x
1
lim (1
x
1 x
) e
x
为此先介绍判定极限存在的准则.
2
一、极限存在准则
1. 两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn }, { yn }及{ zn } 满足下列条件:
n n
2
n 1
2
,
又 lim
n n n
2
n
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
由两边夹定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
) 1.
7
注
利用两边夹准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可.
( )2 2
13
例
lim n sin
n
2 n
sin lim 2
n
2 n
2
2 n
例
求 lim3.
3
解
sin 3 ( x a )
x a
例
lim
sin
3 3
x
x 0
3x
sin x 1 lim 3 x0 3 x 3 1
(1
1
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
极限存在准则证明例题
极限存在准则证明例题
一个例题可以是证明序列${\{(-1)^n\}}$的极限不存在。
证明：
首先，我们注意到这是一个交替序列，即它的正负号交替出现。
这意味着对于任意的$n\in\mathbb{N}$，我们都有$(-1)^n=(-
1)^{n+2}$
接下来，我们假设这个序列有一个极限$L$。
根据极限的定义，我们知道对于任意的$\epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|(-1)^n-L|<\epsilon$。
如果我们取$\epsilon=1$，那么存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|(-1)^n-L|<1$。
然而，根据序列的性质$(-1)^n=(-1)^{n+2}$，我们可以找到一
个更大的整数$m>N$，使得$(-1)^m=(-1)^{m+2}=(-1)^m$，因
此$|(-1)^m-L|=|(-1)^m-(-1)^m|=0<1$。
根据以上的推理，我们可以看出无论我们取多小的$\epsilon$，都存在一个更大的整数$m$，使得$|(-1)^m-L|<\epsilon$。
这与
极限的定义相矛盾，因为极限的定义要求对于任意的
$\epsilon>0$，存在一个整数$N$，使得对于任意的$n>N$，$|a_n-L|<\epsilon$。
因此，我们可以得出结论这个序列${\{(-1)^n\}}$的极限不存在。
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式一、夹逼定理夹逼定理是指在一些区间内，对于一个函数f(x)在其中一点x=c左右两侧或者趋近于x=c的时候，都存在一个函数g(x)和函数h(x)，并且有以下关系：f(x)≤g(x)≤h(x)，当x→c时，有g(x)→L，h(x)→L，则有f(x)→L。
夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个函数比所要研究的函数小，一个函数比所要研究的函数大，并且这两个函数的极限相等，则可以推导出所要研究的函数的极限存在，并且与这两个函数的极限相等。
夹逼定理的应用非常广泛，特别是在计算不定型极限、无穷小量极限时，往往可以利用夹逼定理来确定极限的存在与值。
例如，在计算sinx/x的极限的时候，我们可以认为0<x<π/2，因此有0<sinx<x<π/2，又因为sinx是一个有界函数，所以我们可以得到0≤sinx/x≤1，根据夹逼定理，当x趋近于0时，sinx/x极限存在并且为1二、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的有效方法。
对于形如f(x)/g(x)型的不定型极限，其中f(x)和g(x)作为函数分别在其中一点x=c处连续，且f(c)=g(c)=0或者都是无穷小量的时候，可以用洛必达法则来求解极限。
具体求解方法如下：1.计算函数f(x)和g(x)的导数，即f'(x)和g'(x)。
2.当f'(x)/g'(x)在其中一点x=c处极限存在且不为0时，即存在f'(c)/g'(c)的时候，可以得到极限lim(x→c)(f(x)/g(x))=lim(x→c)(f'(x)/g'(x))=f'(c)/g'(c)。
洛必达法则的基本思想是通过两个函数的导数的极限来推导函数的极限。
利用洛必达法则，我们可以求解许多常见的不定型极限，比如0/0型、∞/∞型、0×∞型等。
例如，我们求解lim(x→0)(sinx/x)的极限，我们可以计算该极限的导数，f(x)=sinx, g(x)=x，导数分别为f'(x)=cosx, g'(x)=1，那么根据洛必达法则，我们可以得到该极限lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=1总结：夹逼定理和洛必达法则是数学分析中两个非常重要的极限公式。
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。
它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。
极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。
它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。
1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。
具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。
Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。
根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。
2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。
具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。
单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。
根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。
这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。
在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。
总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。
Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。