第六节极限存在准则两个重要极限
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
0106极限存在准则两个重要极限
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
第六节极限存在准则
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
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第二个重要极限
高等数学
设
xn
(1
1 )n n
可以证明 (1)xnxn+1
nN
(2)xn3
根据准则II 数列{xn}必有极限, 此极限用e来表示, 即
lim (1 1)n e n n 我们还可以证明
lim (1 1)x e x x 这就是第二个重要极限
1
注: 在极限 l(2)
lim
n
yn
a
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
证 yn a, zn a,
lim
n
zn
a
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1, N2},上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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注
当0 x 时
2 0 1 cos x 1 cos x
2sin2 x 2 x 2 x2
222 lim(1 cos x ) 0
x0
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第一个重要极限
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lim sin x 1 x0 x 注:
x0
x0
e2.
练习
1. lim( x 2)x e2.
x x
2.
lim(
x
x
3 x3
2
)
x2
1.
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高等数学
作业：p-55 习题1-6 1 （3），（5），（6） 2 （3），（4） 4 （1）, (2)
且
lim
n
xn
a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
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准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件
(1)ynxnzn(n=1 2 3 )
1
lim[1(x)](x) e
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lim (1 1)x e x x
1
lim[1(x)](x) e ((x)0)
例例35 求 lim (1 1)x x x
解 令t=-x 则x 时 t 于是
lim (1 1)x x x
lim (11)t t t
lim
t
1 (11)t
1 e
例2. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例例23 求 lim 1cosx
解
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
( x)2
在极限
lim
sin(x) (x)
中
只要(x)是无穷小
就有
lim
sin(x) (x)
1
这是因为 令u=a(x) 则u0 于是
lim
sin(x) (x)
lim sin u 1 u0 u
例1. 求
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解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
t
或
lim (1 1)x lim (1 1 )x(1)
x x x x
[lim (1
x
1 x
)
x]1
e1
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lim (1 1)x e x x
1
lim[1(x)](x) e ((x)0)
1
例6 lim(1 sin 2x) x
x0
1
1 sin 2 x
解: lim(1 sin 2x) x lim[(1 sin 2x)sin2x ] x
准则II
单调有界数列必有极限
准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向
移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而
对有界数列只可能后者情况发生
x1 x2x3 x4x5 xn
AM
准则 设函数f ( x)在点x0的某个左领域内单调并且有界
则f ( x)在x0的左极限f ( x0 )必定存在.
当 n N时, 恒有
a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim
n
xn
a.
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第一个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
高等数学
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
1 12 2
1 2
2
2
例4
3x3 x 1
lim
x
2x2
1
sin
x
解
lim
x
3x3 x 2x2 1
sin
1 x
lim
x
x(3x2 1) 2x2 1
sin
1 x
lim
x
(3x2 2x2
1) 1
(sin
1 x
/
1 x
)
3 2
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二、准则II及第二个重要极限
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第六节极限存在准则 两个重要极限
一 、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限
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一、准则I及第一个重要极限
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
a
lim
n
zn
a
那么数列{xn }的极限存在