第六节极限存在准则两个重要极限

长春工业大学
第二个重要极限
高等数学
设
xn
(1
1 )n n
可以证明 (1)xnxn+1
nN
(2)xn3
根据准则II 数列{xn}必有极限, 此极限用e来表示, 即
lim (1 1)n e n n 我们还可以证明
lim (1 1)x e x x 这就是第二个重要极限
1
注: 在极限 lim[1(x)](x) 中 只要(x)是无穷小 就有
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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注
当0 x 时
2 0 1 cos x 1 cos x
2sin2 x 2 x 2 x2
222 lim(1 cos x ) 0
x0
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第一个重要极限
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lim sin x 1 x0 x 注:
准则II
单调有界数列必有极限
准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向
移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而
对有界数列只可能后者情况发生
x1 x2x3 x4x5 xn
AM
准则 设函数f ( x)在点x0的某个左领域内单调并且有界
则f ( x)在x0的左极限f ( x0 )必定存在.
x0
x0
e2.
练习
1. lim( x 2)x e2.
x x
2.
lim(
x
x
3 x3
2
)
x2
1.
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作业：p-55 习题1-6 1 （3），（5），（6） 2 （3），（4） 4 （1）, (2)
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第六节极限存在准则 两个重要极限
一 、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限
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一、准则I及第一个重要极限
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
a
lim
n
zn
a
那么数列{xn }的极限存在
当 n N时, 恒有
a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim
n
xn
a.
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第一个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
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BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
在极限
lim
sin(x) (x)
中
只要(x)是无穷小
就有
lim
来自百度文库
sin(x) (x)
1
这是因为 令u=a(x) 则u0 于是
lim
sin(x) (x)
lim sin u 1 u0 u
例1. 求
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解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
t
或
lim (1 1)x lim (1 1 )x(1)
x x x x
[lim (1
x
1 x
)
x]1
e1
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lim (1 1)x e x x
1
lim[1(x)](x) e ((x)0)
1
例6 lim(1 sin 2x) x
x0
1
1 sin 2 x
解: lim(1 sin 2x) x lim[(1 sin 2x)sin2x ] x
且
lim
n
xn
a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
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准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件
(1)ynxnzn(n=1 2 3 )
1
lim[1(x)](x) e
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lim (1 1)x e x x
1
lim[1(x)](x) e ((x)0)
例例35 求 lim (1 1)x x x
解 令t=-x 则x 时 t 于是
lim (1 1)x x x
lim (11)t t t
lim
t
1 (11)t
1 e
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
1 12 2
1 2
2
2
例4
3x3 x 1
lim
x
2x2
1
sin
x
解
lim
x
3x3 x 2x2 1
sin
1 x
lim
x
x(3x2 1) 2x2 1
sin
1 x
lim
x
(3x2 2x2
1) 1
(sin
1 x
/
1 x
)
3 2
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二、准则II及第二个重要极限
(2)
lim
n
yn
a
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
证 yn a, zn a,
lim
n
zn
a
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1, N2},上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
例2. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例例23 求 lim 1cosx
解
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
( x)2