大学考研高数复习资料-D1_6极限存在准则

xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
有 lim
n
f
(xn )
A.
证：“ ” 设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当 xx0
有 f (x) A .
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
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当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
n
f
(xn )不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使 lim
n
f
(xn )
不存在
.
法2 找两个趋于 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
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：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x)
e, 则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1x ) 2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2 x
)
2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在
第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
xx0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
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xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
t
11)
(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim(1 z) z
e
z0
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例6. 求
解: 令 t x, 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且
对上述 , N, 当
时, 有
于是当 n N 时 f (xn ) A .
故
lim
n
f
(xn )
A
“ ” 可用反证法证明. (略)
y
A
O x0 x
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定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
2n
1 π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π2) 1
由定理 1 知
不存在 .
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2. 函数极限存在的夹逼准则