高中物理竞赛专题辅导 物体平衡的种类
高中物理竞赛辅导资料第二章物体的平衡
1 1 1 1 k k1 k 2 kn
弹簧串联后的劲度系数： k k1 k 2 k n 弹力的方向： 绳与链只能是沿绳的拉力， 杆可以是沿杆的也可以是不沿杆的弹力， 支承面的力垂直面， 面是曲面时与切面垂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。 三、摩擦力 物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。
高中奥赛辅导资料
第二章 静力学
编写与授课： 孙 洲 元
2010-8-6 目 录
第一节 常见的几种力 第二节 共点力作用下物体的平衡 第三节 力矩 有固定转轴物体的平衡 第四节 一般物体的平衡 第五节 平衡的种类 第六节 液体静平衡 第七节 单元综合例题解析 单元检测
1 / 85
第二章
第一节
物体的平衡
2 / 85
不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主 要讨论固体与固体间的摩擦。 （1）摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的” ，将发 生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情 况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为： f max 0 N 式中 0 称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N 为两物体间的正压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运 动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。表达式为： f N
图a
图b
因此接触面反作用于物体的全反力 F 的作用线与面法线的夹角 arctan
f0 ，不会大于摩擦角，即 N
物体平衡的种类及其判断方法
（１）受力 （力矩 ）分析法 ：当质点偏 离平衡位 置时 ，如 果 所受外 力指 向平衡 位置 ，则是稳定 平衡 ；如果外 力背 离平衡位 置 ，则 是不稳定平 衡 ；如果外 力为零 ，则是 随遇 平衡 。有 转轴的物 体 ，当它偏 离平 衡位 置 时，如果 所受 外 力矩 有把 物 体拉 回平衡 位置 的倾 向，物 体是 稳定 平 衡 ；如果外 力矩 有把 物体推 离原平衡 位 置的倾 向 ，则属 于不稳定平衡 ；如果外力矩 为零 ，则属 于随遇平衡 。
度不变 ，则为随遇平衡 ，如静止 于水平 面的均匀小 球 ，偏
离原来 位 置后 ，重 心 的高 度和重 力势 不变 ，小球仍 保
持平衡 。
（３）支面判断法 ：当具有支 面的物体平 衡 时，物 体所
受重力 的作用线在支面 内。若 物体偏 离平衡位 置后 ，重
力作 用线 在支 面内 ，物体 能 回到平衡 位置 ，则属 于稳定
中学 教 学 参考
解 题方 法 ｓ技巧
物 体 平 衡 的 种 类 及 其 判 断 方 法
江苏 盐城 市 东 台 中学 （２２４２００） 蒋 汉松
物理竞 赛 中把物体 的平衡 分为 ：稳 定平衡 、不稳 定 平衡和 随遇 平衡 。它 是处 于重 力场 以及其 他有 势场 的 物体在场作 用下 的三 种平 衡情 况。处于 势场 的物体 和 场一起具有势 能 ，而物体都有 向势能较 小位置运 动的趋 势 。
例如 ，在 凹面底部 的小球 ，由于某 种 因素 ，小球稍稍 偏 离平衡 位置 ，重 心升 高 ，重力 势 能增 大 ，重力 和支持力 不 再保持 平衡 ，合 力指 向原来 的平衡 位置 ，小球会 恢复 平衡 ，这种平衡是稳定平衡 。
力与物体的平衡之平衡的种类
力与物体的平衡之平衡的种类班级 姓名一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a ）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的．二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡．三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c ）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡．如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变．四、数学 sinα ·cosβ＝21 [sin （α＋β）＋sin （α－β）] sinα ·sinβ＝—21 [cos （α＋β）－cos （α－β）]θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∆=∆⋅⋅∆∆=∆+∆-∆+∆-∆++∆⋅∆∆=∆+∆∆+∆∆+∆∆∆∆=∆∑∑∑nniiisinsin212sincos)2sin3sinsin2sinsin(sin212sincos)2sin25cos2sin23cos2sin2(cos2sincos1、有一玩具跷板，如图所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．2、如图所示，均匀杆长为a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy平面内的曲线方程．3、一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？4、（1）如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O 转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中，（ ）（2）图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？5、一均匀光滑的棒，长l ，重Ｇ，静止在半径为Ｒ的半球形光滑碗内，如图2-16所示，Ｒ＜l /2＜2R．假如θ为平衡时的角度，Ｐ为碗边作用于棒上的力．求证：⑴Ｐ＝（l ／4R ）Ｇ； ⑵（cos2θ／cos θ）＝l ／4R ．6、如图所示，一个半径为Ｒ的14光滑圆柱面放置在水平面上．柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A ，另一端B 恰与水平面相切，试求铁链A 端所受拉力以及均匀铁链的重心位置．(A) (B) (C) (D) B B7、如图所示，两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？8、有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A 相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？答案1、分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则：在平衡位置，系统的重力势能为(0)2(cos )E L l mg α=-当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为 ()[cos cos()][cos cos()]E mg L l mg L l θθαθθαθ=-++--2cos (cos )mg L l θθ=-()(0)2(cos 1)(cos )P E E E mg L l θθ∆=-=--故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡．2、分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
力学竞赛中物体平衡的种类
向平衡 位置 为 稳定 平 衡 ；合 力 背 离 平衡 位 鼍
为不稳 定平衡 ；合 力为 零为 随遇 平衡．
解析 本 题也 是 一 道 物体 平 衡 种 类
２．力矩 比较法 ：假设 一个微扰 ，力矩使 的 问题 ，即要使 杆子 在该平 面 内为 随遇平 衡 ，
物体 回到平 衡 位 置 的 为稳 定 平 衡 ；力 矩 使 物 须杆 子 发 生 偏 离 时 杆 子 的 重 心 不 变 ，Ｙ。为
“偏 心杆 ”在此 位 置 的平 衡 是不 稳 定 平衡 ．当
杆与斜面夹角为 时，质心 Ｃ的高度以 Ｙ表 为 ３ Ｌ，重心在中间，ＲＯ］￣ ２块砖边线寺，
示 ，则
ｙ＝（ａ＋ｂ）ＣＯＳ ｓｉｎ —ｂｓｉｎ （ 一 ）＝ 第２块砖放在第 ３块砖上时最多伸出÷．现
每块均伸出詈，则总长为 ＋（ｎ一１）（詈），而
时 ，此杆 的 平衡 是 稳 定平衡 、随遇 平衡 还是 不 总重 心在 总长 度 的 中间．要 使 飞 檐 平衡 ，ｎ块
稳 定平衡 ？ 并证 明之．
砖 所 受 总 重 力 作 用 线 不 能 超 出 墙 壁 的 支
证 明 ：杆 ＡＢ 受 两 斜 面 支 持 力 及 重 力 这 面 ．即
体 偏 离平衡 位 置 的为不 稳 定 平 衡 ；合 力 矩 为 常量 ．
咽
§
一
又 由于 曰杆竖 直时 ｙ。＝ １。
的坐标为ｘ＝ａｓｉｎ ，ｙ＝ 。一号。
（１一ｃｏｓＯ）；消去 参数 得 ． ＋（２ｙ一口） ＝ａ
静 例３ 如图４
所 示 ，杆 长 ｆ＿ａ＋ｂ，质
心在 Ｃ点 ，杆 的 Ａ、Ｂ 两
平衡状 态就 是 随遇 的．
靠在 光 滑 的 固 定 曲 面 上 ， 且 均 处 于 Ｏｘｙ平 面 内．如
高一物理竞赛讲义八——平衡的种类
一般物体的平衡问题物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a ）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡．三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c ）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析：物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，减少者为不稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，不变者，为随遇平衡．如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置． 随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变．类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则：在平衡位置，系统的重力势能为(0)2(cos )E L l mg α=-当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为()[cos cos()][cos cos()]E mg L l mg L l θθαθθαθ=-++--2cos (cos )mg L l θθ=-()(0)2(cos 1)(cos )P E E E mg L l θθ∆=-=--故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡．例2．如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
5.3.2平衡的种类
⑶随遇平衡：当物体偏离平衡位置时，外力或 外力矩没有变化。特点：偏离平衡位置时，重 心高度不变。 3、稳度： 与重心的高度和支持面的大小有关，重心低， 支持面大，稳定度大。
四、经典实例 1、摩擦力的方向与运动的方向相反的问题
例4、一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为 a、b，且长轴 的长度为 l，蛋的一端可以放在不光滑的水平面上稳定直立。求蛋 尖的一端可以在一个圆形的碗内稳定直立，碗的半径r的条件。
C为质心，且圆弧MN＝rβ＝bα C’的位置应高于C的位置，则 C’M’cos(α-β)+MN(α-β）/2>CM α、β很小， Rcos (α-β）+ rβ (α-β）/2 > R rβ (α-β）/2 > 2Rsin2 (α-β）/2 得：r<bR/(R-b) 又R>l-a得r<b(l-a)/(l-a-b)
二、固定转动轴物体的平衡
1、力 矩 力的三要素是大小、方向、作用点，由于作用点 和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作 用于物体发生转动，这时外力的作用不仅取决于 外力的大小和方向，而且取决于外力的作用线与 转轴的距离——力臂（d）。力与力臂的乘积称为 力矩。力矩是改变物体转动状态的原因。
2、力偶矩
例1、如图，一个倾角为α的斜面以速度V0沿平行于底 边的方向匀速运动，滑块和斜面之间的摩擦系数为μ， 一块垂直于底面的光滑挡板限制滑块的运动方向，先 给滑块一个较大的速度沿挡板向下的速度，求滑块最 后稳定速度为多少。
f
f1 fcosθ＝mgsin α
V0
f＝ μ mgsin α
f2
高中物理竞赛——物体的平衡
高中物理竞赛——物体的平衡
一、共点力平衡
1、特征：质心无加速度。
2、条件：ΣF = 0 ，或 x F ∑ = 0 ，y F ∑ = 0
例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子
与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重
心位置。
解说：直接用三力共点的知识解题，几何
关系比较简单。
答案：距棒的左端L/4处。
（学生活动）思考：放在斜面上的均质长
方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会
通过长方体的重心吗？
解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三
个力（G 、f 、N ）必共点，由此推知，N 不可能通过
长方体的重心。
正确受力情形如图6所示（通常的受力
图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了）。
答：不会。
二、转动平衡
1、特征：物体无转动加速度。
2、条件：ΣM = 0 ，或ΣM + =ΣM -
如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。
3、非共点力的合成
大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。
作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。
高一物理竞赛讲义八——平衡的种类
一般物体的平衡问题物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种．一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的．图1—时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做—1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析：物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；物体系统偏离平衡位置，减少者为不稳定平衡；物体系统偏离平衡位置，不变两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则：在平衡位置，系统的重力势能为当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一势能为[cos comg L lθ-例2．如图1—4a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在曲线方程．又由于AB杆竖直时12Cy a=，那么B点的坐标为消去参数得类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦图1由∑FAy2由∑FAx=0得211122f N N+-=③由∑EA＝0得12f R f R=④由以上四式可得112N G=，232N G=而202f Nμ≤，11f Nμ≤μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力Ff与弹力FN的合力凡与接触面法线方向的夹1l和2l，12在各种情况得出小环的平衡条件f NF Fμ≤，由图1—9可知s i nt a nc o sf TN TF FF Fθμθθ≥==定义tanμϕ=，ϕ为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成为θϕ≤展开讨论则解此题就方便多了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
05 物体平衡的种类概念规律：1、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力F A和F B，其合力的大小F=F A+F B，合力作用点O满足AO·F A=BO·F B 的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力F A和F B的合成其合力的大小F=F B-F A(假如F B＞F A，则F和F B同向)其合力的作用点满足AO·F A=BO·F B的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
2、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，可以写成三个分量表达式：其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m，物体总质量等于块数(设为N块)乘以每块质量m，第一式可以改写成：即等于各小块的位置X i之和除以块数N。
因此，在假定每块质量相等时X C，就是所有X i的平均值。
如果其中有一块(设第i块)的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的X i应出现两次。
这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。
因此，X C是所有质量在X方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。
这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。
质心位置的求法：(1)定义法根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。
首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。
对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。
因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。
(2)实验室质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。
在此平面物体上，选两点A 和B(设A、B和质心不在同一直线上)，分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。
(3)对称法如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。
这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。
(4)分割法这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。
如下左图的棒锤，假设匀质球A质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l，求它的重心。
第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。
C在AB连线上，且AC·M=BC·m(如下右图)。
(5)负质量法容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。
不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。
同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为—M的球A′的合成(如下左图)，用反向平行力合成的方法找出其重心C，C在AB连线上，且BC·(2M+m)=A′C·M．不难看出两种方法的结果都是：BC=M（R+l/2）/（M+m）证明方法与分割法相同。
有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质心。
通常把物体分割成n 个部分，求得这n个部分的质量分别为m1，m2，…，m n。
所受的重力相应为m1g，m2g，…m n g。
又求得它们的重心(质心)的坐标分别为(x1，，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(x n，y n，z n)。
由于这n个部分所受的重力G i=m i g(i=1，2，…，n)可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n个平行力合力的作用点位置(x C，y C，z C)，得出整个物体质心(重心)的位置坐标为上例中，以B点为原点，水平向右为。
轴正方向，则A、B的合质心的位置为：即：负号表示质心的位置在B点左侧（如上右图）。
用坐标法求物体的重心是比较方便的。
坐标法与分隔法—样，都是由平行力的合成方法推导出来的，有兴趣的读者可以尝试推导一下。
(6)巴普斯定理及其推论对于质量连续分布的物体，求质心的一般方法是利用质心定义的三个分量表达式。
但是，有时我们愿意采用处理这类问题的技巧，巴普斯定理提供了一种技巧。
巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。
当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体。
显然，巴普斯定理成立。
一般情况下，平面物体上海一质点运动保持与物平面垂直，而各质点速度并不相等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间将扫出一个不规则体积。
我们要证明巴昔斯定理仍能得到满足。
下面分步给出证明。
1)易知，质心为原点的质心参照系下，质心的位置坐标必为零。
对于平面物体情况，在物平面内建立坐标OXY(z轴垂直此面)，坐标原点O与质心C 重合，因质心X坐标X C＝0，得2)我们已经知道，刚体的一个无限小运动可以由刚体上任一参考点的无限小平动和绕此参考点的无限小转动叠加而成。
现在我们把平面物体的运动分成无限多个无限小运动。
每个无限小运动分解成随质心的无限小平动和绕质心的无限小转动。
为保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求，应满足：随质心的无限小平动必须垂直于物平面；绕质心的无限小转动的瞬时转动轴必须在物平面上。
3)讨论符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第i个无限小运动。
设随质心的第i个无限小平动位移的Z i，则平面物体扫过的体积元为其中S为平面物体面积。
设绕过质心在物平面上的转轴为y轴，第i个无限小转动产生的角位移为Δα。
利用X C＝0，得其中σ为平面物体质量面密度，对于质量均匀分布的平面物体，σ为常量。
ΔS i 为平面物体上面元的面积。
设各面元在无限小转动下转过的路径Δl i为因平面物体上各质点Δα相同，所以则此式表示，由无限小转动所引起的各面元在空间扫过的体积正好抵消(这只有在坐标原点选在质心上，才有此结论)。
对于整个运动过程，此结论依然成立。
因此，在满足巴普斯定理的运动要求下，面物体在空间扫过的体积为其中∑ΔZ i为平面物体运动中质心经历的路程。
巴普斯定理得证。
例1：求两直角边长分别为a、b的直角三角形，质量均匀分布，求质心的位置。
（x=b/3，y=a/3）例2：求均匀半圆盘的质心位置。
设圆半径为R。
（x=4R/3π）巴普斯定理的一个推论同样很实用。
此推论表述为一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。
这个推论的正确性，只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的结论得到。
例3：求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置。
设圆半径为R。
（x=2R/π）例4：如图 (a)所示，由匀质金属丝围成的封闭图形，其中曲线部分是半径为R的半圆，直线部分是直径。
求此封闭金属丝的质心位置。
（2R/（2+π））3、物体平衡的种类当物体达到平衡以后受到微小扰动而偏离平衡位置时，如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡。
如带正电的小球处在两个带等量负电荷小球连线的中点时。
如果平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡。
如带正电小球处在两等量正电荷小球连线的中点时。
如果平衡的物体受外界的微小的扰动偏离平衡位置时，这物体所受的合力仍为零，而能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡叫随遇平衡。
如与液体密度相同的实心物体浸没在液体内部。
4、物体平衡种类的判断方法（1）受力分析法当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的：如果所受的合外力为零，则质点处于随遇平衡状态。
（2）力矩比较法对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定状态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡状态。
（3）重心升降法对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚体两种），判断其平衡种类时，常可用重心升降法。
即若使物体稍微偏离平衡位置，如其重心升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置后其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置后其重心高度不变，则为随遇平衡。
（4）支面判断法具有支面的物体平衡时，物体所重力的作用线一定在支面内，如果偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体就能回到平衡位置，属于稳定平衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩会使物体继续远离原来的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突破口。