《高等数学》专升本(2015-2016)第四节 反常积分54 反常积分
第4节 反常积分
当 p 1 时,
a
1 dx p x
a
1 dx ln x a , x
, p 1 , 1 x 1 p 1 p a a x p dx , p 1. 1 p a p1 a 1 p 因此当p 1时, 广义积分收敛 , 其值为 , p1 当p 1时广义积分发散 .
a
a
dx a2 x2
0 0
x a π lim arcsin lim arcsin 0 . 0 a 0 0 a 2
34
高等数学
●
戴本忠
22
dx 例 8 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x 1 被积函数 f ( x ) 2 在积分区间 [1,1] 上除 解 x 1 x 0 处外连续, 且 lim 2 . x 0 x 0 dx 1 0 1 由于 2 [ ]1 lim ( ) 1 , 1 x x 0 x x 0 dx 1 dx 即反常积分 2 发散 , 所以反常积分 2 发散 . 1 x 1 x 如果疏忽了x 0是被积函数的瑕点, 就会得到 注意：
34
高等数学
●
戴本忠
16
二、无界函数广义积分的概念及计算
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b] 上连续, 在点a的 右邻域内无界 .取 0, 如果极限 lim 作 f ( x )dx .
a b b
0 a
f ( x )dx存在,
则称此极限为函数 f ( x )在区间(a , b]上的广义积分 , 记
lim arctan x lim arctan x
x x
高数54反常积分
对于两个相邻的无穷区间或瑕点区间，其反常积分可以拆分为两个单独的反常积分进行 计算。
绝对收敛与条件收敛
对于无穷积分和瑕积分，如果其绝对值积分收敛，则称该反常积分绝对收敛；如果原积 分收敛但绝对值积分发散，则称该反常积分条件收敛。
04
反常积分的收敛与发散
收敛性判断
01
02
03
柯西准则
比较判别法
高数54反常积分
• 引言 • 反常积分的类型与判断 • 反常积分的计算与性质 • 反常积分的收敛与发散 • 反常积分的应用举例 • 总结与展望
01
引言
反常积分的定义与性质
无界函数的反常积分
如果函数在积分区间内的某点或某段上无界，则称此 积分为无界函数的反常积分，也称为瑕积分。
无穷区间的反常积分
或无穷区间上进行积分的情况。研究反常积分有助于解决这些实际问题。
03
推动相关学科发展
反常积分与微分方程、复变函数等学科密切相关，研究反常积分有助于
推动这些相关学科的发展。
02
反常积分的类型与判断
无穷积分
定义
无穷积分是反常积分的一种，指 含有无穷上限或下限的积分，或 被积函数中含有无穷大的积分。
性质
研究成果总结
01
反常积分理论体系的 完善
通过对反常积分的深入研究，完善了 其理论体系，包括了对反常积分的定 义、性质、收敛性等方面的系统阐述 。
02
求解方法的创新
针对不同类型的反常积分，提出了多 种有效的求解方法，如分部积分法、 变量替换法、留数定理等，这些方法 在解决实际问题中具有重要的应用价 值。
瑕积分的计算方法
对于瑕积分，通常采用换元法或分部积分法将其转化为普通定 积分进行计算。在计算过程中，需要注意瑕点的处理以及积分
《反常积分课件》课件
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
第四节 反常积分
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
17/17
1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学
3/17
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学5.4反常积分
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
高等数学专升本教材目录
高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。
无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。
这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。
高等数学专升本教材目录及答案
高等数学专升本教材目录及答案一、导数与微分1. 函数的极限与连续2. 导数与微分基本概念3. 导数的计算方法4. 高阶导数与隐函数求导5. 微分中值定理与柯西中值定理二、一元函数微分学1. 函数的单调性与极值2. 函数的凸凹性与拐点3. 函数的图形与曲率4. 泰勒公式与应用5. 函数的极限、连续与导数的关系三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本不定积分表与常用积分公式3. 定积分的概念与性质4. 定积分的计算方法5. 反常积分与应用四、一元函数积分学1. 牛顿-莱布尼兹公式与基本积分表2. 定积分的应用3. 弧长、曲线面积与旋转体体积4. 广义积分的判敛准则5. 广义积分的计算方法五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 齐次线性微分方程3. 非齐次线性微分方程4. 二阶线性常系数微分方程5. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 多元函数的偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程求导4. 方向导数与梯度5. 多元函数的极值与条件极值七、多元函数积分学1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 牛顿公式与应用5. 曲线积分与曲面积分八、常微分方程与偏微分方程1. 线性常微分方程2. 高阶线性常微分方程3. 偏微分方程基本概念与分类4. 常见偏微分方程及其求解方法5. 偏微分方程的应用九、级数与幂级数1. 数项级数的收敛性与发散性2. 收敛级数的性质与判定法3. 幂级数的收敛半径与区间4. 幂级数的性质与求和5. 函数展开与傅里叶级数十、向量代数与空间解析几何1. 空间向量的基本概念与运算2. 空间直线与平面的方程3. 空间曲线与曲面的方程4. 空间解析几何中的重要定理5. 空间向量与几何应用本教材目录包含了高等数学专升本课程的各个重要章节，涵盖了导数与微分、一元函数微分学、不定积分与定积分、一元函数积分学、常微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程与偏微分方程、级数与幂级数以及向量代数与空间解析几何等内容。
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
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的收敛性.
解 当 p = 1 时， 则
故积分发散. 当p1时
1 1
0x
dx
ln
x
1 0
.
1Байду номын сангаас
1 dx 1 x1 p
0 xp 1 p
0
1
1
p
,
发 散,
当 p 1时， 当 p 1时.
b
lim f ( x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的反常积分，记作
a
f ( x)dx,
即
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
b a
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b， 如果极限
即
a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
e 0 ae
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 5 设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续，
且 lim f ( x) , 取 e > 0 ，如果极限 xb be lim f ( x)dx. e 0 a
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上
的反常积分. 记作 b f ( x)dx，即 a
b
be
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
e 0 a
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 6 设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c (a, b)
外连续，且 lim f ( x) , 如果下面两个反常积分 xc
c f ( x)dx 与
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续，
且 lim f ( x) , 取 e > 0 ，如果极限 x a b lim f ( x)dx e 0 ae
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上
的反常积分， 记作
b
f ( x)dx,
当 p > 1 时，
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 .
证 p = 1 时，则
dx ln x
1x
1
所以该反常积分发散.
p 1 时，则
dx
1 xp
1 x 1 p 1 p 1
1 p1
,
当
p
1,
, 当 p 1.
综合上述，当 p > 1 时，该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
第五章 定 积 分
第四节 反 常 积 分
一、无穷区间的反常积分 二、无界函数的反常积分
一、无穷区间的反常积分
例 1 求由曲线 y = e-x，y 轴及 x 轴所围成开口
曲边梯形的面积.
解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取
b [0, + )，在 有 限 区 间
y
[0, b] 上， 以曲线 y = e- x
为曲边的曲边梯形面积为
(0,1)
b exdx 0
e x
b 0
1
1 eb
.
O
y = e-x
b
x
开口曲边梯形的面积
当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积， 即
A
lim
b
b exdx
a
lim b
1
1 eb
1.
y
(0,1) O
y = e-x
b
x
定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，取实 数 b > a， 如果极限
.
解
1 0 1 x2 dx
arctan
x
0
2
0
2
.
例 3 判断
cos
xdx
的
收
敛
性.
0
解
cos
xdx
sin
x
.
0
0
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以反常积分
发散 .
例 4 计算 0 xexdx.
解 用分部积分法，得
0 xexdx 0 xde x xex 0 0 exdx
c
f ( x)dx与
f ( x)dx
c
都收敛，则称上面两个反常函数积分之和为 f (x) 在无
穷区间
(-
,
+
)
内的反常积分，记作
f ( x)dx,
即
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx,
c
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
a
a
b
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
a
b c
f
( x)dx
F(x) c a
F
(
x
)
b c
F(c ) F(a) F(b) F(c ).
例 7 判断 1 dx 收敛性.
0 1 x
解
1 dx
1
2 1 x 2.
0 1 x
0
故积分的收敛.
例8
讨论反常积分
1 dx 0 xp
F() lim F( x), F() lim F( x).
x
x
则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为
a
f
( x)dx
F(x)
a
F()
F (a)，
b f ( x)dx F ( x) b F(b) F()，
f
( x)dx
F(x)
F()
F ( ) .
例 2
求
0
1
1 x
2
dx
b
f ( x)dx
a
c
都收敛，则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区
间
[a,
b]
上的反常积分，记作 b a
f
( x)dx,
即
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 F(a ) lim F( x)， x a
F(b ) lim F( x). F(c ) lim F( x) 或 F(c ) lim F( x).
xb
x c
x c
则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为
b f ( x)dx F( x) b F(b) F(a )
a
a
b f ( x)dx F( x) b F(b ) F(a).
ex 0 1.
其中 lim xex x
lim
x
x ex
lim
x
1 ex
0,
即 xex 0 0.
例 5 判断 dx 的收敛性.
e x ln x
解
dx d ln x lnln x
e x ln x e ln x
e
故该积分发散.
例 6
证明反常积分
1 1 x p dx,
b
lim f ( x)dx
a a
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b]
上的反常积分，
记作 b
f
( x)dx,
即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且 对任意实数 c， 如果反常积分