高考数学全国一卷导数

合集下载

导数21 大题(其他、中档、中上、未)-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——其他中下：1.（2022年湖北宜昌夷陵中学J39）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()f x ¢的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''=⎡⎤⎦'+⎣．已知函数()()()ln cos 10,0x f x ae x b x a b =---≥>，若0a =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为22．（1）求b ；（2）若函数()f x 存在零点，求a 的取值范围；（①）（3）已知1.098ln 3 1.099<<，0.048 1.050e <，0.0450.956e -<，证明：1.14ln π 1.15<<．（求导，中下；第二问，未；）导数——大题——其他中档：1.（2022年广东肇庆J36）已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+.（1）当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；（②）（2）若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（切线放缩，比较大小，中档；第二问，未；）导数——大题——中档、中上、未：1.（2022年河北演练二J40）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.（1）若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；（③）（2）设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221eax x >⋅.（中档，未；第二问，未；）2.（2022年湖北荆州中学J19）已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（④）（2）当x ＞1时，求证：12x x e e x x ---+＞sin sin(ln )x x -.（中档，未；第二问，未；）3.（2022年湖北荆门四校J21）已知函数3()ln()4f x ax x ax=++（其中实数0a >）的最小值为5，（1）求实数a 的值；（⑤）（2）若不等式()(4)5f x k x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围．（中上，未；第二问，未；）4.（2022年湖北襄阳五中J23）已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．（1）当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；（⑥）（2）当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a >．（中档，未；第二问，未；）2.（2022年河北衡水中学J15）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（⑦）（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（中上，未；第二问，未；）（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+-1.（2022年湖南师大附中J11）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.（⑧）（1）若1a =，比较(log 10f 与()5log 9f 的大小；（2）讨论函数()f x 的零点个数.（中档，未；第二问，未；）1.（2022年江苏江阴J61）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设()()ex f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（⑨）（中档，未；第二问，未；）（2）设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．1.（2022年山东枣庄一模J60）已知函数()()e sin xf x x a x a =-∈R ．（1）若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；（⑩）（2）当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．（中档，未；第二问，未；）①【答案】（1）1；（2）10,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将0a =代入并计算()1f ，()f x ''，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为()ln cos 1xx x a e+-=有根，然后令()()ln cos 1xx x g x e+-=并研究其性质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知1ln 1x x e-+≤，然后根据π3113π,π3ln 1ln 13πe e -+<+<判断即可.【详解】（1）当0a =时，()()ln cos 1f x x b x =---，()1f b =-．()()1sin 1f x b x x '=-+-，()()21cos 1f x b x x''=+-．∴()f x 在()1,b -处的曲率为3212122b k b +==⇒=．（2）()()()ln cos 1ln cos 10x xx x f x ae x x a e +-=---=⇒=令()ln 1h x x x =+-，则()111x h x x x-'=-=当()0,1∈x 时，()0h x '>，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，则ln 1x x +≤又令()x x m x e =，则()1'xxm x e -=当()0,1∈x 时，()0m x '>，当()1,∈+∞x 时，()0m x '<所以函数()m x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减所以()1(1)m x m e≤=令()()ln cos 1xx x g x e+-=，∴()ln 11x x x x g x e e e+≤≤≤，当且仅当1x =时取“=”，显然，当1a e>时，()f x 无零点．当10a e ≤≤时，()11g a e =≥，111cos 110ee g a e e ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫⎝⎭=<≤ ⎪⎝⎭∴存在1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0g x a =，符合题意．综上：实数a 的取值范围为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）知ln 11xx e e+≤，∴1ln 1x x e -+≤（当且仅当1x =时取“=”）∴π10.0483πln 13e e -+<<，∴0.048ln π1ln 3 1.0501 1.099 1.15e <-+<-+<又∵310.045π3ln 1πe e -+<<，∴0.045ln πln 31 1.09810.956 1.14e ->+->+->综上：1.14ln π 1.15<<．【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（ln 1x x +≤）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件ln 11xx e e+≤进行比较.②【答案】（1）证明见解析；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.③【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由()()(1,1)f m g n m n =>>，列出m 与n 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；(2)把()0F x =化成()f x a =的形式，根据导数确定()f x 的单调性与极值，画出简图，确定12,x x 与1的大小关系，利用(1)的结论，可以得到12,x x 与e a 的关系，进而可证得结论.【小问1详解】证明：由()()(1,1)f m g n m n =>>，得(1)ln |ln |ln 1m mn n m -==+，则有(1)ln 1121ln 1111e(e)m m m m m m m m m n mmm ----++++====<，所以m n >；【小问2详解】证明：令()(1)ln (1)0(0)F x x x a x x =--+=>，化简可得(1)ln 1x xa x -=+，即()f x a =，2212ln 2ln 1()(1)(1)(1)x x x x x f x x x x x +--'=+=+++，令1()2ln g x x x x=+-，221()10x x xg =++>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增且(1)0g =，则()g x 即()0f x '<时()0,1x ∈，()0f x '>时()1,x ∈+∞，可得()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，且有(1)0f =，由下图可知，1201x x <<<，0a >，又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e ax >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1(()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111((e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④22.【答案】解：（1）由题意可知f '（x ）=e x +e -x -a cos x ，①当0＜a ≤2时，由-1≤cos x ≤1可知-2≤-a ≤a cos x ≤a ≤2，又因为e x +e -x ≥2恒成立，所以f '（x ）=e x +e -x -a cos x ≥0恒成立，所以y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．又f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ＞0恒成立；②当a ＞2时，，且可知y =e x +e -x 与y =a cos x 必有一个交点，不妨设为x 0，所以y =f （x ）在[0，x 0）上为减函数，在[x 0，+∞）为增函数，又f （0）=0，所以f （x 0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a 的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证e x -e -x -2sin x ＞e ln x -e -ln x -2sin （ln x ），即证f （x ）＞f （ln x ）（此时a =2），由（1）问可知当0＜a ≤2时y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x ＞ln x ，不妨令g （x ）=x -ln x ，则所以y =g （x ）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g （x ）min =g （1）=1＞0所以g （x ）=x -ln x ＞0恒成立，即x ＞ln x ，所以原结论得证．⑤【答案】（1）2；（2）(],4-∞-.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，构造2()43(0)g x ax ax x =+->并由二次函数性质判断其零点0x 及区间符号，进而确定()f x 的单调性、极值，结合已知最值列方程得003ln2(41)6041x x ++-=+，再构造中间函数求零点，进而求a 的值；（2）令2(0)t x t =>问题转化为()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，构造中间函数研究()F t 的最值，并判断单调性，最后可求k 的范围．【小问1详解】由题设，2243()(0)ax ax f x x ax +-'=>且0a >，令2()43(0)g x ax ax x =+->，则()g x 在(0,)+∞上递增且(0)30=-<g ，所以()0g x =有唯一正实根，记为0x ，则200430ax ax +-=．当00x x <<时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0>g x 即()0f x '>，()f x 单调递增，所以极小值也是最小值为00003()ln()45f x ax x ax =++=．又200430ax ax +-=，可得00341ax x =+，故003ln2(41)6041x x ++-=+，令3()ln26(1)h t t t t =+->，其中041t x =+，则121()20t h t t t-'=-+=>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增且(3)0h =，而3t =，即012x =，从而2a =．综上，实数a 的值为2.【小问2详解】由题意，3ln(2)502x kx x+--≥恒成立，令2(0)t x t =>．令3()ln 5(0)2kt F t t t t =+-->，则2226()2kt t F t t-+-'=，令2()26(0)t kt t t ϕ=-+->ⅰ、当0k ≥时，(1)202kF =--<，不合题意，舍去，ⅱ、当0k <时，()0t ϕ=有唯一的正实根，记为0t ，且200260t kt -=<，则0(0,3)t ∈且0312kt t -=当00t t <<时，()0t ϕ<，即()0F t '<，当0t t >时，()0t ϕ>，即()0F t '>所以()F t 在0(0,)t 单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，则极小值也是最小值为00000036ln 5ln 62()kt t F t t t t +--+==-．要使()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则0()0F t ≥．令6()ln 6(03)m x x x x =+-<<，则26()0x m x x-'=<，即()m x 在(0,3)上递减，又(1)0m =，所以不等式()0m x ≥的解集为(]0,1，故001t <≤，又(]020062,0,1,k t t t -=+∈则k 的取值范围是(],4-∞-．【点睛】关键点点睛：（1）构造中间函数，并结合导数研究()f x 单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；（2）令2(0)t x t =>，根据已知确定隐零点0t 与参数k 的关系，并求出0t 的范围，进而求k 的范围.⑥【答案】（1）()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e 1x axh x x ---，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，故可将原问题转化为对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【小问1详解】当1a =时，()1e ln ln2x f x x x-=-+,则1122(1)(e )e (1)11()x x xx x x f x x x x ------'=-=，设1()=e1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；【小问2详解】证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x a xx x x f x x xx ------'=-=，设()=e1x ax h x x ---，则1()e 11x ah x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+，使得0000()e01x ax h x x -=-=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x -=-++>的极小值点，也是最小值点，则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥，又因为000e1x ax x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a->-+-，设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a->-+-，故对任意1x >，()1f x a>.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.⑦【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【详解】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()f x '-+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.（2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.a x x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101a x x x x x n''-<-=+-.因为2n ≥，所以11112(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121a x x n-<+-.【解析】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.⑧【答案】（1）(()25log 10log 9f f >（2）当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）利用导数判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数可求得()min 2f x a '=-，再分20a -≥和20a -<两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.【小问1详解】解：当1a =时，()()()1ln 1f x x x x =+--，()1ln 11ln x f x x x x x+'=+-=+，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为2445log 10log 10log 9log 91=>>>，所以(()25log 10log 9f f >；【小问2详解】解：()11ln ln 1x f x x a x a x x +'=+-=++-，令()1ln 1g x x a x =++-，则()()221110-'=-=>x g x x x x x，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 12g x g a ==-，即()min 2f x a '=-，①若20a -≥，即2a ≤，则()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上递增，因为()10f =，则1x =为()f x 的唯一零点；②若20a -<，即2a >，则()()min 10f x f ''=<，因为e 1a >，()1e 10e aaf '=+>，则()f x '在()1,+∞内仅有个零点，记为n ，因为0e 1a -<<，()e e 21a af a -'=-+设()e 21a h a a =-+，则当2a >时，()e 20ah a '=->，所以()h a 在()2,+∞内单调递增，从而()()22e 30h a h >=->，即()e 0af -'>，所以()f x 在()0,1内仅有一个零点，记为m ，于是，当()0,x m ∈或(),x n ∈+∞时，()0f x '>，当(),x m n ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),n +∞和()0,m 上递增，在(),m n 上递减，因为01m n <<<，()10f =，则()0f m >，()0f n <，故()f x 在(),m n 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 12e 0aa a a f a a a ----=-+--=-<，则()f x 在()0,m 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 120a a af a a a =+--=>，则()f x 在(),m +∞内有唯一零点，所以()f x 在()0,∞+内有3个零点.综上所述，当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.⑨【答案】（1）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()'f x 解析式，即可得()h x 解析式，利用导数求得()h x 的单调区间和最小值，结合题意，即可得m 的范围.（2）求得()f x ''解析式，令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->，利用导数可得()t x 的单调性，根据零点存在性定理，可得存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，进而可得f '(x )在x ＝x 2处取得极小值，即x 1＝x 2，所以11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，令()1ln s x m x =+，分析可得s (x 1)＜0，即可得证【小问1详解】由题设知()e (1ln )x m f x m x x'=++，则1ln (())0h m m x x x x ++>=，所以22(1)()m m m x h x x x x -'=-=当x ＞1时，h '(x )＞0，则h (x )在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x ＜1时，h '(x )＜0，则h (x )在区间(0，1)是减函数，所以h (x )min ＝h （1）＝512m +≥，解得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【小问2详解】222e 1ln e )n (1l x x m m m m m m x m x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'=⎭'令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->则2322()m m m t x x x x '=-+＝2233(1)1(22)0m x m x x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=>恒成立，所以t (x )在(0，＋∞)单调递增．又1(1)10,1l 3ln 20n 2122t m t m ⎛⎫=+>=-≤- ⎪⎝⎭<，所以存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，当x ∈(0，x 2)时，t '(x )＜0，即f ''(x )＜0，则f '(x )在(0，x 2)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，t '(x )＞0，即f ''(x )＞0，则f '(x )在(x 2，＋∞)单调递增；所以f '(x )在x ＝x 2处取得极小值．即x 1＝x 2，所以t (x 1)＝0，即11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，所以1122111(12)21ln 0m x m m m x x x x -+=-=<，令()1ln s x m x =+，则s (x )在(0，＋∞)单调递增；所以s (x 1)＜0因为f (x )的零点为x 0，则01ln 0m x +=，即s (x 0)＝0所以s (x 1)＜s (x 0)，所以x 0＞x 1【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.⑩【答案】（1）(],1-∞（2）若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点，证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，然后，分别讨论0a ≤，01a <≤和1a >时的单调性即可.(2)根据(1)的结论，分别讨论590a -≤≤，01a <≤和1a >时零点的个数.【小问1详解】'()(1)e cos x f x x a x=+-①若0a ≤，当[0,]x π∈时，0a -≥，sin 0x ≥，()e ()sin 0x f x x a x =+-≥，当且仅当0x =时取等号，可见，0a ≤符合题意.②若01a <≤，当[0,]2x π∈时，0'()(1)e cos 10f x x a x a ≥+-≥-≥；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，cos 0x <，'()(1)e (cos )0x f x x a x =++⋅->.可见，当[]0,x π∈时，'()0f x ≥，当且仅当1a =，且0x =时取等号.所以()f x 在[0,]π上单调递增，所以，()(0)0f x f ≥=.所以01a <≤符合题意.③若1a >，因为(1)e x y x =+在[]0,π上单调递增，cos y a x =-在[]0,π上单调递增，所以，'()(1)e cos x f x x a x =+-在[]0,π上单调递增，又'(0)10f a =-<，2'((1)e 022f πππ=+>，由零点存在定理及'()f x 的单调性，存在唯一的0(0,2x π∈，使得0'()0f x =.当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=，()f x 单调递减，所以，()(0)0f x f <=.可见，1a >不符合题意.综上，a 的取值范围是(],1-∞【小问2详解】①若590a -≤≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(),2x ∈ππ时，1sin 0x -≤<，0sin 1x <-≤，sin a x a -≥，又由e x y x =单调递增，则33()e sin e 3e 593 2.7590.0490x f x x a x a ππ=->+>->⨯-=>.可见，若590a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点.②若01a <≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0x ->，()e (sin )0x x f x x a x xe =+->>.可见，若01a <≤，()f x 在(0,2)π内无零点.③若1a >，由(1)，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=.()f x 单调递减；当0(,)x x π∈时，0'()'()0f x f x >=，()f x 单调递增.又(0)0f =，所以0()(0)0f x f <=.又()e 0f πππ=>，由零点存在定理及()f x 的单调性，存在唯一的10(,)x x π∈，使得1()0f x =.可见，()f x 在(]0,π内存在唯一的零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0,sin 0x a x <->，所以，()e sin e 0x x f x x a x x =->>，所以，()f x 在(,2)ππ内没有零点，可见，()f x 在(0,2)π有且仅有1个零点.综上所述，若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点.【点睛】关键点睛：通过导数讨论含参函数的单调性时，要对参数进行分类讨论，分类讨论时，要注意做到不重不漏；讨论含参函数的零点个数时，要利用零点存在定理来讨论零点个数，利用零点存在定理讨论零点个数时，要注意结合单调性讨论，属于难题。

导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——单调性4：1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行．2. （1）求k 的值；3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；）4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1e g x -<+．5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x=-+． 6. （1）当34a =时，求()f x 的单调区间；（②）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明．8. ①()()21212f x f x x x a-<--； ②()222ln 223f x a <+-．9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③）11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.12. （单调性，最值，中下；第二问，未；）13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin xf x x =⋅.14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④）15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22xF x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=e x．;（⑤）2.(1)求证：当x>0时，f(x)>1+x+x223.(2)若不等式f(x)≥2x ln x+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]，4.求证：t>23．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；）20①【答案】（1）1k =；（2）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题设求导函数()f x '，再由(1)0f '=求参数k 值. （2）由（1）得1ln ()e xx x xf x x --'=且,()0x ∈+∞，构造函数()1ln h x x x x =--，结合导数研究()h x 的符号，进而求()f x 的单调区间.（3）由题设只需证2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，由（2）易得21ln 1e x x x ---≤+，再构造()e (1)x m x x =-+并应用导数判断e ),(1xx +的大小关系，即可证结论. 【小问1详解】由题设，1ln ()e xkx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，又()y f x =在(1,(1)f )处的切线与x 轴平行，即1(1)0ekf -'==， 1k ∴=.【小问2详解】由（1）得：1ln ()e xx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，令()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞，当(0,1)x ∈时，()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，又e 0x >，(0,1)x ∴∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；【小问3详解】由2()()()g x x x f x =+'，即1()(1ln )e xx g x x x x +=--，,()0x ∈+∞， 0x ∴∀>，22e ()1e 1ln (1e )1xg x x x x x --<+⇔--<++，由（2），对于()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞， ()ln 2h x x ∴'=--，,()0x ∈+∞，2(0,e )x -∴∈时()0h x '>，()h x 递增，2(e x -∈,)∞+时()0h x <，()h x 递减，22max ()(e )1e h x h --∴==+，即21ln 1e x x x ---≤+，设()e (1)xm x x =-+，则0()e 1e x x m x e '=-=-，(0,)x ∴∈+∞时()0m x '>，()m x 递增，即()(0)0m x m >=，则e 11x x >+，综上，22e 1ln 1e (1e )1x x x x x----≤+<++，故0x ∀>，()21e g x -<+，得证．【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，结合（2）中()h x 的单调性得到21ln 1e x x x ---≤+，再判断e ),(1x x +的大小关系.②【答案】（1）()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选①，不等式转化为证明212121ln ln x x x x ax x -<=-，变形为证明2212111212lnx x x x x x x x <=1()2ln ,1h t t t t t=-+>，即可证明；若选②，首先根据函数有两个极值点，证得212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，再变换为()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】22222()1(0)a x x af x x x x x-+-'=--=>，当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=，令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >，所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明①：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--，将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x a -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x a--<--，即212121ln ln x x x x ax x -<=-，因为120x x <<，所以210x x ->，只需证明2212111212lnx x x x x x x x <= 21x t x =，则1t >，只需证明21ln t t t <-，即12ln 0(1)t t t t-+<>，令1()2ln ,1h t t t t t=-+>，22221(1)()10t h t t t t--=--=<'，所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=，所以12ln 0(1)t t t t-+<>，综上可知，()()21212f x f x x x a-<--．证明②：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>设2()2g x x x a =-+-，因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->，所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=，可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='，当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈>⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <，由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <，所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．③【答案】（1）证明见解析；（2）e 21a -<< 【解析】【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可；（2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--；【小问2详解】函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x ah x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 0e 22F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(e t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)e,e t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减，所以max 3()(e)e e e e 1e e 102F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122ea <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④【答案】(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(],1-∞ (3)1008π【分析】（1）对函数求导()π2sin 4xf x e x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)（()()πsin cos 2sin 4x xf x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，增区间应满足：()0f x '>，22,4k x k k z ππππ≤+≤+∈减区间应该满足：()0f x '<，222,4k x k k z πππππ+≤+≤+∈（()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，（()()sin cos xg x e x x k '=+-令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，（()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，（()()min 00g x g ==，（1k ≤满足题意；（当π21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，（()0(0)0g x g <=不符合题意；（当π2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，（()()00g x g <=不符合题意，（1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)（()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+（()2cos xF x e x '=，设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=，从而切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=-，（()0000000π1πsin cos 2cos tan 222x xex x e x x x x -⎛⎫⎛⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在2015π2017π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. （1008πS =.⑤第11页共11页。

导数19 大题(切线)1-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——切线：1.（2022年江苏徐州J53）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（①）（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年江苏常州J59）已知函数()()ln xxe f x a x x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）讨论函数()f x 的零点个数．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年福建福州联考J01）已知函数()ln(1)ln x f x ae x b =-+-(1)若()f x 在0x =处的切线方程为1y =，（i ）求a ，b 的值；（ii ）讨论()f x 的单调性.（③）(2)若b a =，证明：()f x 有唯一的极小值点.（切线，中下；单调性，中下；第二问，未；）4.（2022年福建福州J05）设函数()1ex f x x a -=+，曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（1）求a ；（④）（2）若当[)2,x ∈-+∞时，()()1f x b x ≥-，记符合条件的b 的最大整数值､最小整数值分别为M ，m ，求M m +.注：e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年福建三明一中J39）已知函数()()ln()x f x e x a x a x =-+++，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；（⑤）（2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明：23341ln 2(ln (ln )(ln231n n en e +++++<-L ．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖南长沙一中J02）已知函数()()()e xf x x b a =+-．（0b >）在()()1,1f --处的切线l方程为()e 1e e l 0x y -++-=．（1）求a ，b ，并证明函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）；（⑥）（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ．且12x x <．证明：()2112e 11em x x --≤+-．（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年高考乙卷J04）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（⑦）（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年湖北华师附中J61）已知函数()e ln ()x f x x a x a R =-∈在1x =处的切线方程为2e 1)+y x b =-（.（1）求实数,a b 的值；（⑧）（2）（i ）证明：函数()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈；（ii ）证明：03141()1515f x <<.（切线，中下；第二问，未；）参考数据：ln 20.693≈e 1.648≈，0.55e 1.734≈，11303e 0.69-≈.2.（2022年河北演练一J39）已知函数()ln f x x bx a =++，其中,a b ∈R .（⑨）（1）若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值；（2）当1,1b a =≤-时，证明：2()ex f x x-≥.（切线，中下，单调性，极值，中下；第二问，未；）3.（2022年河北联考J42）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1).(1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；（⑩）(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围.（切线，中下，单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年湖北襄阳五中J24）已知函数()e 2xf x ax b =-+在0x =处的切线经过点()1,2.（1）若函数()f x 至多有一个零点，求实数a 的取值范围；（⑪）（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，且25x >，求证：12211x x a ax >-.（23e 2.7,e 7.4,e 20.1≈≈≈）（切线，中下；零点分析，中档，未；第二问，未；）1.（2022年湖南三湘名校J45）已知函数()x f x e =（其中e 是自然对数的底数）.过点(,1)(0)P m m >作曲线()y f x =的两条切线，切点坐标分别为()()()121212,e ,,e x x x x x x <.(1)若21x =，求m 的值；（⑫）(2)证明：12x x +随着m 的增大而增大.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖北武汉J01）定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.（⑬）（1）当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.（切线，中下；第二问，未；）3.（2022年湖北四校联考J17）已知函数()()e ln (0),ln x f x a x b x g x x x x=+->=+．（⑭）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2e 3y x =+-，求,a b ；（2）在（1）的条件下，若()()f m g n =，比较m 与n 的大小并证明．（切线，中下；第二问，未；）①【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.②【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1(0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．①当0a =时，()0e xxf x =>，()f x 无零点．②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-．当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e=时，()f x 只有一个零点．当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a a e f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a a a a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭．因为0a >，所以1ae >，于是()110af a a e ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->，所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点．③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点．综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．③【答案】(1)（i ）11a b =⎧⎨=⎩，（ii ）答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求出导数，由题可得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩即可求出；（ii ）根据导数的正负即可求出.（2）求出导数，构造函数()(1)1x g x ae x =+-，利用零点存在定理可判断函数的变化情况，得出单调性即可判断.(1)（i ）()11xf x ae x =-+'，由已知得，(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，故10ln 1a a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩；（ii ）1()(1)1xf x e x x '=->-+，显然()'f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<；0x >时，()0f x '>，因此()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．(2)()ln(1)ln xf x ae x a =-+-，则1(1)1()11x xae x f x ae x x '+-=-=++，令()(1)1x g x ae x =+-，0a >，1x ≥-，显然()g x 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)0g -<，10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以存在11,t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g t =，当1x t -<<时，()0<g x ；x t >时，()0>g x ，所以1x t -<<时，()0f x '<；x t >时，()0f x '>，即()f x 在(1,)t -上单调递减；在(,)t ∞+上单调递增，因此f (x )有唯一极小值点t ．④【答案】（1）e（2）8【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求出()f x 在1x =-处的切线方程，根据切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，即可求得a ；（2）法一：由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，构造函数()()1e1e x g x x b x -=--+，利用导数并讨论导数的正负，从而求得存在()02,x ∈-+∞，()()()01000min e 1e 0x g x g x x b x -==--+≥，分离参数，表示出()0101e x b x -=+，构造新函数，结合导数求得32e e3e 3b --≤≤，进而求得答案；法二：讨论x 的取值范围，从而分离出参数b ，在1x >，21x -£<的情况下，分别构造函数，利用导数判断单调性求的最值，最后确定32e e3e 3b --≤≤，由此可得答案；法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-可解得32e e13b --≥>-，从而取0m =，证明证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，令2x =，由()()1f x b x ≥-，解得3e b ≤，故取8M =，再证当8b =时，不等式()1e 81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，由此求得答案.【小问1详解】依题意得：()()11e x f x x -'=+，所以()10f '-=.又因为()211e f a -=-+，所以()f x 在1x =-处的切线方程为21ey a =-+，因为曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2211e e e a -+=-，解得e a =.【小问2详解】解法一:由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，设()()1e1e x g x x b x -=--+，则()()11e x g x x b -='+-，设()()x g x ϕ'=，则()()12e x x x ϕ-=+'，因为[)2,x ∈-+∞，所以()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在[)2,-+∞单调递增，即()g x '在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 2e g x g b -=-=-'-'，①若3e b -≤-，则()()20g x g '-'≥≥，所以()g x 在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 22e3e 0g x g b -=-=-++≥，解得32e e 3b --≥，所以332e e e 3b ---≤≤-；②若3e b ->-，则()()min 20g x g =-'<'，因为()g x '在[)2,-+∞单调递增，当3e 0b --<≤时，()100eg b ='->，则存在()2,0x ∈-使得()0g x '=，当0b >时，取{}max 0,ln 1n b =+，则()0g n >，所以存在()12,x n ∈-，使得()10g x '=，综上，当3e b ->-时，存在()02,x ∈-+∞，使得()00g x '=，即()0101e 0x x b -+-=，故当02x x -<<时，()0g x '<，则()g x 在()02,x -单调递减，当0x x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞单调递增，所以()()()01000min e1e 0x g x g x x b x -==--+≥,（*）由()0101e 0x x b -+-=，得()0101e x b x -=+，代入（*）得()()()000111200000e 1e 1e 1e e 0x x x x x x x x ----+-+=-+++≥，设()()211e e x F x x x -=---+，则()()()()2112e 21e x x F x x x x x --=-+---'=+，因为2x ≥-，所以由()0F x '=得1x =，当21x -<<时，()0F x '>，所以()F x 在()2,1-上单调递增，当1x >时，()0F x '<，所以()F x 在()1,+∞单调递减，又因为()32e e 0F -=-+<，()11e 0F =+>，()20F =，所以当2x >时，()0F x <，所以满足()012001ee 0x x x --+++≥的0x 的取值范围是022x -<≤，又因为()0101ex b x -=+，设()()11e x H x x -=+，则()()12e 0x H x x -+'=≥，所以()H x 在()2,-+∞单调递增，所以3e 3e b --<≤，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法二：由（1）知：()1e e x f x x -=+，则()1e 1e 0x x b x ---+≥，①当1x =时，左边等于1e 0+≥恒成立，此时b ∈R ；②当1x >时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≤-对任意()1,x ∈+∞恒成立.设()1e e 1x x h x x -+=-，则()()()2121e e1x x x h x x --'--=设()()211e e x k x x x -=---，则()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-.因为1x >，所以()0k x '>，所以()k x 在()1,+∞上单调递增.又因为()()220h k '==，所以2x =是()h x '在()1,+∞上的唯一零点，所以当12x <<时，()0h x '<，()h x 在()1,2上单调递减，当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 23e h x h ==，所以3e b ≤.③当21x -£<时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≥-，此时对于②中函数()k x 的导函数，()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-，可知当21x -£<时，()0k x '<，所以()k x 在21x -£<单调递减，且()325ee 0k --=-<，所以当21x -£<时，()()20k x k <-<，所以当21x -£<时，()0h x '<，所以()h x 在[)2,1-上单调递减，所以()3max 2e e (2)3h x h --=-=，所以32e e 3b --≥，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-得()32e 3e b --≥--，解得32e e 13b --≥>-，取0m =，下证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x g x x -=+，则()()11e x g x x -=+'，由()0g x '=可得1x =-，当21x -<<-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()2min 11e 0e g x g =-=-+≥，所以0m =符合题意；令2x =，由()()1f x b x ≥-得2e 20b -+≥，解得3e b ≤，取8M =，下证当8b =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x h x x -=+，则()()11e x h x x -=+'，令()0h x '=，则1x =-，所以当21x -<<-时，()0h x '<，则()h x 在()2,1-上单调递减，当1x >-时，()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()211e 0e h x h ≥-=->，所以当21x -≤≤时，()1e81e 0x x x ---+≥恒成立.当1x >时，10x ->，所以()()813e 1x x -<-，所以()()11e 81e e 3e 1e x x x x x x ----+>--+，设()()1e 3e 1e x k x x x -=--+，则()()11e 3e x k x x -'=+-，设()()x k x ϕ'=，则()()12e 0x x x ϕ-+'=≥，所以()k x '在()1,+∞单调递增，且()20k '=，所以当12x <<时，()0k x '<，则()k x 在()1,2单调递减，当2x >时，()0k x '>，则()k x 在()2,+∞单调递增，所以()()min 20k x k ==，所以()0k x ≥，所以()1e 81e 0x x x ---+≥，综上当8M =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，所以8M m +=.【点睛】本小题主要考查函数的单调性､导数､导数的几何意义及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查分类与整合思想､数形结合思想､一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象､数学抽象､数学运算､逻辑推理等，体现综合性与创新性.⑤【答案】（1）10x y -+=（2）①2②见解析【解析】【详解】试题分析：（1）将1a =代入到函数()f x ，再对()f x 求导，分别求出()0f 和()'0f ，即可求出切线方程；（2）①若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立，则先证明1x e x ≥+，构造新函数，求出单调性，再同理可证ln 1x x ≤-，即可求出a 的最大整数值；②由①得()ln 2x e x ≥+，令1t x t -+=，可得11ln tt t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析：（1）当1a =时，()()()1ln 1xf x e x x x =-+++∴()01f =，又()()'ln 1xf x e x =-+，∴()'01f =，则所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．（2）由题意知，()()'ln xf x e x a =-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立．①先证明1x e x ≥+．设()1x g x e x =--，则()'1xg x e =-，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=，即1x e x ≥+．同理可证ln 1x x ≤-∴()ln 21x x +≤+，∴()1ln 2xe x x ≥+≥+．当2a ≤时，()'0f x >恒成立．当3a ≥时，()'01ln 0f a =-<，即()()'ln 0xf x e x a =-+≥不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．②由①知，()ln 2x e x ≥+，令1t x t-+=，∴111ln 2ln t t t t e t t -+-++⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11ln t t t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．由此可知，当1t =时，0ln2e >．当2t =时，213ln 2e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，当3t =时，324ln 3e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，，当t n =时，11ln nn n e n -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．累加得0121n e e e e ---+++++> 23341ln2ln ln ln 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．又0121n e e e e ---+++++= 11111111n e e e e e⎛⎫- ⎪⎝⎭<=---，∴2334ln2ln ln 23⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 1nn e n e +⎛⎫++< ⎪-⎝⎭ ．点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.⑥【答案】（1）1,1a b ==；证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()10f -=，()111ef -=-+'，即可解得a 、b ，从而得到()()()1e 1x f x x =+-，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()y h x =，令()()()F x f x h x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（2）由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，即可得到11x x '≤，在设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，令()()()T x f x t x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，再说明22x x '≥，即可得证；【小问1详解】解：将1x =-代入切线方程()e 1e e l 0x y -++-=，有0y =，所以()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e e b f a -=-=-+'，若1ea =，则2e 0b =-<，与0b >予盾，故1a =，1b =．∴()()()1e 1x f x x =+-，()00f =，()10f -=，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()()111e y h x x ⎛⎫==-+⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-，即()()()()11e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，所以()()12e e x F x x =+-'，当2x -≤时，()()112e 0e ex F x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()12e ex G x F x x =+-'=，()()3e 0x G x x =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当()2,1x ∈--时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，综合得函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故()()10F x F ≥-=，即函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）．【小问2详解】解：由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，又函数()h x 单调递减，故()()()111f x h h x x =≥'，故11x x '≤，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，因为()00f =，()()2e 1xf x x '=+-，所以()01f '=，所以()t x x =．令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--，()()2e 2xT x x =+-'，当2x -≤时，()()2e 220xT x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()2e 2x H x T x x ==+-'，则()()3e 0xH x x =+>'，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当()2,0x ∈-时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，综合得函数()T x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00T x T ≥=，即()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故()()()222f x t t x x =≥'，故22x x '≥，又11x x '≤，所以()221112e e 111e 1em m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑦【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a - ,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+ ,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.⑧【答案】（1）2,2ea b ==-（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数的意义列方程组()()()'1211f e f e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即可解得；（2）（i ）求出导函数2()(1)e x f x x x '=+-.利用导数和零点存在对立即可证明；（ii ）求出0000001()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+，令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，利用导数判断出()y x ϕ=在(,1)2上单调递减，即可证明122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=；要证031()15f x >，即证0320312ln 15x x x x+>.令()x F x x =1(1)2x <<，利用导数证明出1()( 2.332F x F >≈；令32312ln 115()(1)2x G x x x+=<<，利用导数证明出1130max()(e ) 2.312G x G -=≈，得到()()G x F x <，即可证明.【小问1详解】定义域为(0,)+∞，'((e )1)xa f x x x=+-由题意知()()()()'1221121f e a e f e b e ⎧=-=-⎪⎨=-+=⎪⎩，解得2,2e a b ==-.【小问2详解】（i ）由（1）知()e 2ln x f x x x =-，2()(1)e xf x x x'=+-令()()h x f x '=，则22()(2)e 0xh x x x'=++>，从而()y h x =即()y f x '=单调递增又13e 8(1)2e 20,()022f f -''=->=<，故存在唯一的01(,1)2x ∈使得0()0f x '=x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞()'f x -0+()f x极小值从而()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈（ii ）00002()(1)e 0x f x x x '=+-=，()y f x =的极小值000000()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，则222'()0(1)x x x ϕ=--<+，从而()y x ϕ=在1(,1)2上单调递减，122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=，故041()15f x <下证031()15f x >0320312ln e15x x x x+>一方面令e ()xF x x =1(1)2x <<，则32e (21)()02x x F x x -'=>，则()F x 在1(,1)2上单调递增，从而1()()2e 2.332F x F >=≈另一方面，令32312ln 115()(1)2x G x x x +=<<，52113ln 10'()x G x x --=令()0'=G x 有1130e x -=x 11301(,e )2-1130e-1130(e,1)-()G x '+0-()G x极大值从而110.5530max 44()(e)e 1.734 2.31233G x G -==≈⨯≈从而()()G x F x <32312ln e15xx xx+>成立，故031()15f x >.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.⑨【答案】（1）极大值为(1)0f =，无极小值.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得1b =-，进而得'11()10xf x x x-=-==，再列表求解即可；（2）根据题意，只需证明2e ln e e xx x x a ≥+，由于函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，e 0x y x =>，故转化为证明2ln e t t a ≥+，再令()2ln ,0et t g t a t -->=，再求函数最值即可证明.【小问1详解】解：1a =，()ln 1f x x bx =++，'1()f x b x=+，因为曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，所以，'11(2)22f b =+=-，解得1b =-，所以，()ln 1f x x x =-+，'11()10xf x x x-=-==，解得1x =，所以，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表，x ()0,11()1,+∞'()f x ++()f x 单调递增极大值单调递减所以，当1x =时，()f x 有极大值(1)0f =，无极小值.【小问2详解】解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++，因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>.令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e e t t t t g --==，所以，当()20,et ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥，所以2ln ett a ≥+成立，所以2()ex f x x-≥成立，证毕.⑩【答案】(1)0=t ；()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.(2)b 的取值范围为(,2]-∞.【分析】（1）、先求出切线方程，根据切线经过点(1,1)即可求出t 的值；求出()f x '，分0m ≥，0m <两种情况讨论函数的单调区间即可;（2）、将原不等式转化为函数值在,()0x ∈+∞时恒大于零问题，分类讨论即可得到b 的取值范围.(1)2()e mx f x x mx t =+-+ ，()e 2mxf x m x m '∴=+-，(0)0f '∴=，又()01f t =+ ，∴切线方程为1y t =+，又切线经过点(1,1)，11t ∴+=，0t ∴=，故2()e mx f x x mx =+-，()()1e 2e 2mx mx f x m x m m x '=-=+-+.①、若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.②、若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调区间递减，在(0,)+∞上单调区间递增.综上所述：()f x 的单调递减为(,0)-∞，单调递增(0,)+∞.(2)当1m =时，2()e x f x x x =+-,22(2)(2)e 4e x x x f x f x -∴----=,()()e e 2x x x f x f x -----=,(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->-- ,()22e e 4e e 42x x x x x b x --∴----≥,()22e e 4e e (84)0x x x x b b x --∴---+-≥在,()0x ∈+∞上恒成立.设()22()e e 4e e (84)x x x xg x b b x --=---+-，,()0x ∈+∞()()()()22()2e e 2e e 422e e 2e e 22x x x xx x x x g x b b b ----⎡⎤'∴=+-++-=+-+-+⎣⎦，且e e2xx-+>.①、当2b ≤时，e e 20,e e 220x x x x b --+->+-+>,()0g x '∴≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()g x 在,()0x ∈+∞上单调递增，而()00g =，所以对0x >时，()0>g x .符合题意②、当2b >时，若x 满足2e e 22x x b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<--时，()0g x '<，而(0)0g =，因此(20ln 12x b b b <<-+-时，()0<g x ,不符合题意.综上:b 的取值范围为(,2]-∞.⑪【答案】（1）2e 2a ≤（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据切线过点()1,2可得2b a =，参变分离后研究()e 1xg x x =-的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到22e a >，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证22212e 20(4)t t t +->>，二次求导后得到证明.【小问1详解】()e 2x f x a =-'，∴()012f a '=-，∴0x =处的切线方程为()121y a x b =-++，切线过点()1,2，所以2b a =，∴()e 22x f x ax a =-+.∵()()1e 0,f f x =≠∴的零点不为1，∴e 21xa x =-在()(),11,-∞+∞ 上至多一个解.设1t x =-，则1e 2()t a g t t+==在()(),00,∞-+∞U 上至多一个解.1122111()()e e t t t g t t t t++-'=-=，令()0g t '>得：1t >，令()0g t '<得：01t <<或0t <，∴()g t 在(),0∞-和(]0,1上单调递减，[)1,+∞上单调递增，当0t <时，()0g t <恒成立，当0t >时，()g t 在1t =处取得极小值，且2(1)e g =，画出函数图象如图所示：所以22(1)e a g ≤=时，()f x 至多有一个零点，∴2e 2a ≤【小问2详解】由（1）知，要想有两个不同零点，则22e a >且12(0,1),(1,)t t ∈+∈∞，即()()121,2,2,x x ∈∈+∞，故要证12211x x a ax >-，只需证121ax x >-，由（1）知()()11110,1,1,2t x x =-∈∴∈，故只需证221x t a -=<，∵21222e (14)2t t x t a +==->.只需证：21222e (4)2t t t t +><，即22212e 20(4)t t t +->>，令()()()121e 24,e 4t t h t t t h t t ++=->'=-，15()e 4e 40t h t +''=->->，∴()h t '在()4,+∞上递增，∴()5416)e 0(h t h '>'=->，∴()h t 在()4,+∞上递增，∴()()54e 320h t h >=->，∴2122e 2t t +>，∴12211x x a ax >-【点睛】导函数研究函数零点问题，参变分离是一种重要方法，把零点问题转化为函数交点问题，通过构造函数，研究构造函数的单调性，极值和最值，数形结合得到答案.⑫【答案】(1)1em =(2)证明见解析【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程，由点P 在切线上列方程求m 的值；(2)由导数的几何意义可得1x ，2x 是方程11e x m x =+-的两根，设21(0)x x t t -=>由此可得()1222e 1e e tx x tt +-=，证明t 随着m 的增大而增大，12e x x +随着t 的增大而增大，由此证明12x x +随着m 的增大而增大.(1)因为21x =，所以切点为(1,)e ，又()e x f x '=，则(1)e f '=，所以切线方程为e(1)e e y x x =-+=，因为切线过点(,1)P m ，所以1e m =，解得1em =；(2)设切点为()00,e x x ，因为()()000 e x f x f x '==，则切线方程为()000e e x x y x x =-+，因为切线过点(,1)P m ，所以()0001e e xxm x =-+，整理得0011(0)e x m x m =+->，所以1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根，设1()1e xg x x =+-，则1()1e x g x '=-，令()0g x '=，解得0x =，当0x <时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以120x x <<，设1()g x m =的两根为()1212,0x x x x ''''<<，其中10m m >>，则由()g x 单调性可知，11220x x x x ''<<<<，所以2121x x x x ''->-，设21(0)x x t t -=>，即t 随着m 的增大而增大，因为12121111e e x x m x x =+-=+-，所以111111e e x x t x x t ++=++，整理得1e 1e e t x tt -=，所以21e 1e et x x tt +-==，所以()1222e 1e (0)e t x x t t t +-=>，设()22e 1()(0)et t h t t t -=>，则()()()()()2222322e e 1e 2e e 1e 1(2)e 2()e e t t t t t tttt t t t t t h t t t '⎡⎤-⋅-+⋅---++⎣⎦==，设()(2)e 2t t t t ϕ=-++，则()(1)e 1t t t ϕ'=-+，()(1)e 1t m t t =-+，则'()e 0t m t t =>所以()t ϕ'单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，即()0,()h t h t '>单调递增，所以12e x x +随着t 的增大而增大，又t 随着m 的增大而增大，所以12x x +随着m 的增大而增大.【点睛】本题解决的关键在于根据函数方程的思想确定1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根和构造函数证明12e x x +随着21x x -的增大而增大.⑬【答案】（1）2π144（2）π2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭.曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=.【小问2详解】()()sin cos f x x x k x=+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'.由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=.此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减；当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =.同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=.此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'.同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-.由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=-由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--.又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==.综上所述，π2k =.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.⑭【答案】（1）2,1a b ==（2）m n ≤，证明见解析【解析】【分析】（１）求导得()'f x ，再求(1)f '的值即得切线的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，对比系数即可得答案;(2)先证明e 1x x ≥+，再令()()()h x f x g x =-，利用前面的结论说明()0h x ≥，最后根据()g x 的单调性证明即可.【小问1详解】解：()()()()2e 1(0),1e ,1x x af x x f b f a x x-=+>'=-='，所以()y f x =在1x =处的切线方程为e y ax b a =+--，比较系数可得2,1a b ==.【小问2详解】m n ≤.证明：设()=e 1xx x ϕ--，则()=e -1xx ϕ'，令()>0x ϕ'，则0x >；令()0ϕ'<x ，则0x <则0x =是()ϕx 的极小值点同时也是最小值点，故()()00x ϕϕ≥=即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立）.令()()()h x f x g x =-，则()()ln e ln 1e ln 10xx x h x x x x x x-=+--=---≥，当且仅当ln 0=x x -=“”取“”，所以()(),f x g x ≥则有()(),f m g m ≥而()(),()()f m g n g m g n =∴≤，又()11,()g x g x x'=+∴ 单调递增，所以m n ≤.。

２０２２年高考数学全国乙卷导数压轴题解析

㊀㊀㊀讲题比赛获奖论文之六:２０２２年高考数学全国乙卷导数压轴题解析◉中央民族大学附属中学呼和浩特分校㊀李雪峰㊀㊀摘要:函数零点问题在高考压轴题中经常出现．在解题过程中,按照一定标准对参数分类讨论㊁把握细节确定方向㊁引入隐零点㊁区间卡根,这些方面都可能成为解决零点问题的障碍．所以,选取适当的角度观察㊁分析,根据题目中的关键信息制定策略㊁拟定解题思路,并在此基础上进行计算㊁推理论证,往往是解题的关键．只有明白了思考的底层逻辑,才能使分析问题㊁解决问题的能力有所提高．关键词:函数零点问题;分类讨论;数形结合;区间卡根１试题呈现(２０２２年高考数学全国乙卷第２１题)已知函数f (x )＝l n (１＋x )＋a x e －x．(１)当a ＝１时,求曲线y ＝f (x )在点(０,f (０))处的切线方程;(２)若f (x )在区间(－１,０),(０,＋ɕ)各恰有一个零点,求a 的取值范围．２试题解析本题的第(１)问不多赘述,下面给出第(２)问的几种不同的思考角度和解题方法．２．１思路一及解法２．１．１解题思路一的形成因为题中所给条件是函数零点问题,所以我们先观察函数值的正负情况以及何时为零．当a ȡ０时,若x ＞０,则f (x )＝l n (１＋x )＋a x e －x＞０恒成立,与题意不符．因此,下面只讨论a ＜０时的情形．通过观察易知f (０)＝０,当x ң－１时,f (x )ң－ɕ;当x ң＋ɕ时,f (x )ң＋ɕ．要使f (x )在区间(－１,０),(０,＋ɕ)各恰有一个零点,则可以猜测f (x )的图象大致如图１所示．图１由图１可知,fᶄ(０)＝a ＋１＜０显然为其必要条件,即a ＜－１．下面需要说明:①当a ȡ－１时,不符合题意;②当a ＜－１时,讨论函数f (x )的单调性,再根据零点存在定理说明在区间(－１,０)和(０,＋ɕ)上各恰有一个零点．思路一的思维导图如图２所示．函数f (x )零点问题观察函数的零点及正负情况确定讨论a 的标准说明a ȡ０和－１ɤa ＜０时不符合题意当a ＜－１时,利用隐零点讨论f (x )的单调性,并区间探点,说明a ＜－１时符合题意得出结论图２２．１．２具体解法解法１:由思路一的分析可知a ȡ０不合题意,下面只讨论a ＜０时的情形．由f (x )求导,得f ᶄ(x )＝e x ＋a (１－x ２)(x ＋１)ex．设g (x )＝e x ＋a (１－x ２)．当－１ɤa ＜０时,在区间(０,＋ɕ)上,有g (x )＝e x ＋a (１－x ２)＝(e x＋a )－a x ２＞０．所以,在区间(０,＋ɕ)上,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增,则f (x )＞f (０)＝０,这与题意不符．当a ＜－１时,g ᶄ(x )＝e x－２a x ,因为g ᵡ(x )＝e x－２a ＞０,所以g ᶄ(x )在区间(－１,＋ɕ)上单调递增．又因为g ᶄ(－１)＝e －１＋２a ＜０,gᶄ(０)＝１＞０,所以存在唯一x ０ɪ(－１,０),使g ᶄ(x ０)＝０．因此,当x ɪ(－１,x ０)时,g ᶄ(x )＜０,g(x )单调递减;当x ɪ(x ０,＋ɕ)时,g ᶄ(x)＞０,g (x )单调递增．(为直观起见,下面分别画出函数g ᶄ(x ),g (x ),f (x )的大致图象,如图３~５所示．)图３㊀㊀图４３２２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀试题研究命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀图５于是g (x ０)＜g (０)＝a ＋１＜０,又因为g (－１)＝１e ＞０,g (１)＝e ＞０,所以存在x １ɪ(－１,x ０),x ２ɪ(x ０,１),使g (x １)＝g (x ２)＝０．当x ɪ(－１,x １)时,g (x )＞０,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增;当x ɪ(x １,x ２)时,g (x )＜０,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减;当x ɪ(x ２,＋ɕ)时,g (x )＞０,fᶄ(x )＞０,f (x )单调递增．同时可知f (x １)＞f (０)＝０,f (x ２)＜f (０)＝０．(至此,利用隐零点求出了函数f (x )的单调区间．下面利用放缩法进行区间卡根,根据零点存在定理说明在区间(－１,０)和(０,＋ɕ)上各恰有一个零点．)当－１＜x ＜０时,因为x e －x＞－e(证明略),所以f (x )＝l n (１＋x )＋a x e －x＜l n (x ＋１)－e a ．由l n (x ＋１)－e a ＜０,得x ＜e e a －１．取m ＝e e a－１,则f (m )＜０,从而存在唯一s ɪ(m ,x １),使f (s )＝０．当x ＞０时,因为x e －xɤ１e (证明略),所以f (x )＝l n (１＋x )＋a x e －x＞l n (x ＋１)＋a e．由l n (x ＋１)＋a e＞０,得x ＞e －a e－１．取n ＝e －a e－１,则f (n )＞０,从而存在唯一t ɪ(x ２,n ),使f (t )＝０．所以,当a ＜－１时,函数f (x )区间(－１,０)和(０,＋ɕ)上各恰有一个零点．综上所述,a 的取值范围是(－ɕ,－１)．解法２:当a ȡ０时,在区间(０,＋ɕ)上,f (x )＝l n (１＋x )＋a x e －x＞０,与题意不符．下面只讨论a ＜０时的情形．由f (x )求导得f ᶄ(x )＝１x ＋１＋a (１－x )ex＝１x ＋１[１＋a (１－x ２)e x]．(注意常见的变形技巧:对数单身狗 ,指数找朋友．)设g (x )＝１＋a (１－x ２)ex,x ɪ(－１,＋ɕ)．求导,得g ᶄ(x )＝a (x ２－２x －１)ex,x ɪ(－１,＋ɕ)．易得g (x )在(－１,１－２)上单调递减,在(１－２,１＋２)上单调递增,在(１＋２,＋ɕ)上单调递增．当－１ɤa ＜０时,g (０)＝a ＋１ȡ０,又因为当x ＞１＋２时,g (x )＝１＋a (１－x ２)ex＞１,所以当x ＞０时,g (x )＞０,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增,从而f (x )＞f (０)＝０,这与题意不符．(为直观起见,给出g (x )的图象,如图６所示．)图６当a ＜－１时,g (０)＝a ＋１＜０,因为g (－１)＝g (１)＝１＞０,g (１－２)＜g (０)＜０,所以存在唯一x １ɪ(－１,０),x ２ɪ(０,１),使g (x １)＝g (x ２)＝０．此时f (x )在(－１,x １)上单调递增,(x １,x ２)上单调递减,在(x ２,＋ɕ)上单调递增．故f (x １)＞f (０)＝０＞f (x ２)．(为直观起见,给出g (x ),f (x )的图象,如图７．)㊀图７下面找点说明f (x )在区间(－１,０),(０,＋ɕ)上有零点．f (x )＝l n (１＋x )＋a xex (a ＜－１)．设m (x )＝x e x ,则x ɪ(－１,１)时,m ᶄ(x )＝１－xex ＞０,x ɪ(１,＋ɕ)时,m ᶄ(x )＜０．于是m (x )ɪ－e ,１e æèçöø÷．所以,可得l n (１＋x )＋ae＜l n (１＋x )＋a xex ＜l n (１＋x )－a e ．由l n (１＋x )＋a e＝０,解得x ＝e －ae－１＞０,f (e －a e－１)＞l n (１＋e －－１)＋a e＝０．由l n (１＋x )－a e ＝０,解得x ＝e e a－１．所以可得f (e a e －１)＜l n (１＋e a e－１)－a e ＝０．所以f (x )在区间(－１,０),(０,＋ɕ)上各恰有一个零点．综上所述,a 的取值范围是(－ɕ,－１)．点评:解法１和解法２的基本思路一样,都是按照一定的标准对参数a 进行分类讨论,然后借助隐零点将函数的定义域分成若干个单调区间,最后在每个单调区间上卡根,根据零点存在定理说明函数零点的情况．解法２在求导后将导函数等价变形,使再求导后只需解一个不含参的二次不等式,简化了运算．解题一般是按照由易到难的顺序进行思考,即先４２命题考试试题研究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀观察㊁猜想,再分析㊁思辨,最后论证㊁求解．题目越复杂越要注意细节,细节往往是打通解题思路的关键．２．２思路二及解法２．２．１解题思路二的形成函数零点的问题往往可以转化为两个函数图象交点问题,因此该题可以考虑参变分离,将函数零点的问题转化为直线与另一个函数图象交点问题,同时还可以避免参数讨论带来的麻烦．思路二的思维导图,如图８所示．函数f (x )零点问题转化为直线y ＝－a 与y ＝F (x )图象交点问题求导后,讨论F ᶄ(x )的符号及F (x )的单调性x ＞０时,求出F (x )在x ＝０处的极限,由图可得a ＜－１当x ＜０时,利用隐零点,讨论F (x )的单调性,并求出F (x )当x 趋于－１时的极限,由图可得a ＜－１得出结论图８２．２．２具体解法解法３:因为f (０)＝０,所以f (x )＝０等价于－a ＝e x l n (１＋x )x．令F (x )＝e x l n (１＋x )x (x ＞－１),则F ᶄ(x )＝e x[(x ２－１)l n (１＋x )＋x ]x ２(x ＋１)．令g (x )＝(x ２－１)l n (１＋x )＋x ,则gᶄ(x )＝x [１＋２l n (１＋x )]．(注意到g (０)＝０,所以先讨论g (x )在x ＞０时的正负情况．)当x ＞０时,gᶄ(x )＞０,则g (x )单调递增,g (x )＞g (０)＝０,从而当x ＞０时,F ᶄ(x )＞０,F (x )在(０,＋ɕ)单调递增．由导数定义,得㊀F (x )＞l i m x ң０F (x )＝l i m x ң０e xl n (１＋x )－e ０l n (１＋０)x －０＝[e xl n (１＋x )]ᶄ|x ＝０＝[e x １１＋x ＋e xl n (１＋x )]|x ＝０＝１．(为直观起见,下面给出F (x )的图象．)图９如图９所示,要使直线y ＝a 与F (x )图象在y 轴右侧恰有一个交点,则必然有－a ＞１,即a ＜－１．因为e e l n (１＋e －a )e－a＋a ＞l n (１＋e －a )＋a ＞l n e －a＋a ＝０,所以由零点存在定理可知,a ＜－１时,f (x )在区间(０,＋ɕ)恰有一个零点．当－１＜x ＜０时,令g ᶄ(x )＝０,得x ＝e －－１．易知g (x )在(－１,e －１２－１)上单调递增,在(e －１２－１,０)上单调递减,则g (e －１２－１)＞g (０)＝０．因为g (e －１－１)＝－e ２＋３e －１e２＜０,所以存在唯一x ０ɪ(e －１－１,e －１２－１),使g (x ０)＝０．(为直观起见,给出g (x ),F (x )的图象,如图１０．)㊀㊀图１０当－１＜x ＜x ０时,g (x )＜０,F ᶄ(x )＜０,F (x )单调递减;当x ０＜x ＜０时,g (x )＞０,F ᶄ(x )＞０,F (x )单调递增．所以F (x ０)＜l i m x ң０F (x )＝１．又因为l i m x ң－１F (x )＝＋ɕ,所以要使直线y ＝a 与f (x )图象在y 轴左侧恰有一个交点,则必然有－a ＞１,即a ＜－１．综上所述,当a ＜－１时,f (x )在区间(－１,０),(０,＋ɕ)各恰有一个零点．点评:解法３的好处在于对F (x )求导后避免了参数的讨论;难点在于当x 趋于０时F (x )的极限值不易求出,虽然可用洛必达法则,但是超出了高中所学．该解法绕开了洛必达法则,利用导数的定义求出F (x )在x ＝０处的极限,比较巧妙,不易想到．３试题链接下面给出两道高考真题,供读者练习．试题１㊀(２０１７年全国Ⅰ卷理科)已知函数f (x )＝a e ２x ＋(a －２)e x－x ．(１)讨论f (x )的单调性;(２)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围．试题２㊀(２０１８年全国Ⅱ卷理科)已知函数f (x )＝e x－a x ２．(１)若a ＝１,证明:当x ȡ０时,f (x )ȡ１;(２)若f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点,求a ．４总结函数零点问题是高考的常考内容,数形并用㊁合理分类是解题的关键．区间探点是一个难点,常常可以用放缩法解决．上述方法都是解决此类问题的典型方法,由于方法３中的极限值不易求出,考试中绝大多数考生选择了方法１和方法２．该题对学生的逻辑推理能力和运算能力要求较高,解题时要求学生注意细节㊁大胆猜想㊁合理分类㊁准确计算,这样才能将问题顺利解决．Z５２２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀试题研究命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

导数3 小题(概念、运算、构造法,综合中下等)-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——小题（概念，计算）：1.（2022年广东潮汕名校联考J05）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（①）．2.3. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.（概念，中下；）1.（2022年山东历城二中J01）已知f (x )=cos x ，g (x )=x ，则关于x 的不等式()()0f x g x ''+≤的解集2.为②__________.（求导，易；）1.（多选，2022年河北衡水中学二调J09）下列命题正确的是（③）2. A.若()sin cos f x x x x =+，则()sin cos sin f x x x x x '=-+3. B.设函数()ln f x x x =，若()02f x '=，则0ex =4. C.已知函数()23e xf x x =，则()112ef '=5. D.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-6.（求导，易；）1.（多选，2022年江苏南京宁海中学J13）下列命题正确的是（④）2. A.“1a >”是“21a >”的充分不必要条件3. B.“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件4.C.命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”5. D.设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件6.（概念，易；）导数——小题（构造法、特例法、赋值法）：5.（2022年广东天河J15，单选8）设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()()21ln ,12x f x xf x x f '==-'+，则（⑤）6. A.()xf x 在()0,∞+单调递增 B.()xf x 在()0,∞+单调递减7. C.()xf x 在()0,∞+上有极大值12 D.()xf x 在()0,∞+上有极小值128.（构造法，中下；）9.（2022年广东佛山J11，单选8）设函数()f x 的导函数是()f x '，且()()f x f x x '⋅>恒成立，则（⑥）10.A.(1)(1)f f <- B.(1)(1)f f >- C.|(1)||(1)|f f <- D.|(1)||(1)|f f >-11.（构造法，中档；）12.（2022年广东汕头一模J22）已知ln 22a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（⑦）13. A.c b a >> B.a b c>> C.b a c>> D.b c a>>（构造法，中下；）3.（2022年江苏盐城三模J62，填空4）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223x f x e +≥的解集为⑧__________．（构造法，中档；）4.（2022年广东江门J18，填空3）若函数()g x 为定义在R 上的奇函数，()g x '为()g x 的导函数，当0x ≤时，()2g x x '<，则不等式2()g x x >的解集为⑨_______.（构造或者赋值，中下；）导数——小题（比较大小）：14.（2022年河北联考J42，单选8）已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，66a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，34b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，23c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（⑩）15.A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<（比较大小，中档；）16.（2022年河北沧州J30，单选8）已知12a >且122e a a -=，13b >且133e b b -=，14c >且144e c c -=，则（⑪）17. A.ln ln ln a b cbc ac ab << B.ln ln ln a c bbc ab ac <<18. C.ln ln ln c b aab ac bc<< D.ln ln ln b a cac bc ab<<（比较大小，中档；）导数——综合中下：7.（多选，2022年新高考全国一卷J01）已知函数3()1f x x x =-+，则（⑫）8. A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点9.C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线10.（三次函数，极值，零点，对称中心，切线；综合，中下；）11.（多选3，2022年福建漳州一中J21）已知函数()1xx f x e +=，则下列说法正确的是（⑬）12.A ．()()12f f >13.B ．函数()f x 的最大值为114.C ．若方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭15.D ．若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +>16.（单调性，最值，零点，综合，中下；）17.（多选4，2022年山东师大附中J61）函数()e cos xf x a x =-，下列说法正确的是（⑭）18. A.当1a =时，()f x 在()()0,f x 处的切线的斜率为119. B.当1a =时，()f x 在()π,-+∞上单调递增20. C.对任意()0,a f x '>在()π,-+∞上均存在零点21. D.存在()0,a f x '<在()π,-+∞上有唯一零点22.（切线，易；单调性，易；零点，中下；零点，中下；综合，中下；）①【答案】B②【14题答案】【答案】|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题可得sin 1x ≥，利用正弦函数的性质即求.【详解】由题可得sin 10x -+≤，即sin 1x ≥，又sin 1x ≤，所以sin 1x =，所以2,2Z x k k ππ=+∈，∴原不等式的解集为|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭③【答案】BD【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式求解即可.【详解】对于选项A ,即()sin cos sin f x x x x x '=+-，则选项A 不正确；对于选项B ,即()ln 1f x x '=+,则()00ln 12f x x =+'=，解得0e x =，则选项B 正确；对于选项C ,即()26e 3e xxf x x x '=+，则()16e 3e 9e f '=+=，则选项C 不正确；对于选项D ,即()()1232f x x f x''=++，()()124322f f ''=++，解得()924f '=-，则选项D 正确.故选：BD .④【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.⑤【答案】D【解析】【分析】令()()g x xf x =，由ln ()xg x x'=即可得到函数单调性，判断A 、B 选项；由单调性结合()()110f f '+=求得(1)f ，即可判断C 、D 选项.【详解】由题意知：0x >，()()ln xxf x f x x+='，令()()g x xf x =，则()()ln ()x g x xf x f x x +=''=，显然当()0,1x ∈时，ln ()0xg x x '=<，()()g x xf x =单减，当()1,x ∈+∞时，ln ()0xg x x'=>，()()g x xf x =单增，故A ，B 错误；()xf x 在()0,∞+上有极小值(1)f ，令1x =，则()()110f f '+=，又()112f '=-，则1(1)2f =，故()xf x 在()0,∞+上有极小值12，C 错误；D 正确.故选：D.⑥【答案】D【解析】【分析】构造函数()()2212g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦，利用导函数研究其单调性，求出结果.【详解】设()()2212g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦，则()()()()()12202g x f x f x x f x f x x '''=-=->⎡⎤⎣⎦恒成立，所以()()2212g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦单调递增，故()()11g g >-，即()()2211111122f f ⎡⎤⎡⎤->--⎣⎦⎣⎦，解得：()()2211f f >-，即|(1)||(1)|f f >-.故选：D⑦【答案】C【解析】【分析】由于1ln e e e b ==，所以构造函数ln ()(0)xf x x x=>，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】ln 22a =，1ln e e e b ==，ln 55c =，令ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,e)上递增，在(e )+∞，上递减，因为2e 5<<，所以(2)(e)f f <，(e)(5)f f >，因为ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 25(2)(5)0251010f f ---=-==>，所以(2)(5)f f >，所以b a c >>故选：C⑧【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥【解析】【分析】构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数()()22exf xg x +=，则()()()()222221()22222e x xx x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥可化为()(0)g x g ≥由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞．故答案为：[)0,+∞⑨【答案】(),0∞-##{x |x ＜0}【解析】【分析】构造函数()()2h x g x x =-，根据已知条件判断其单调性，几何g (x )是奇函数即可求解.【详解】∵g (x )是R 上奇函数，∴g (0)＝0，令()()2h x g x x =-，则()()2h x g x x '=-'，0x 时，()2g x x '<，0x ∴≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴x ＜0时，()h x h >(0)＝g (0)＝0，即0x <时，()20g x x >>，当x ＞0时，－x ＜0，∴h (－x )＞h (0)，即g (－x )－20x >，∵g (x )是奇函数，∴()2g x x ->，即x ＞0时，g (x )＜－2x ＜0，综上，x ＜0时，g (x )＞2x ＞0，x ＞0时，g (x )＜－2x ＜0﹒∴g (x )＞2x 的解集是(),0∞-.故答案为：(),0∞-.⑩【答案】A【分析】根据题意可得2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而构造函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由单调性即可求解.【详解】根据题意，()()tan ()tan ()0x f x f x x f x f x ''⋅>⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭，分析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即3226433f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.⑪【答案】A【解析】【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于122e a a -=，两边同取对数，则有1ln 2ln 2a a +=-，即111ln ln 2ln 222a a -=+=-，同理：11ln ln 33b b -=-；11ln ln 44c c -=-构造函数()ln f x x x =-，则()12f a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14f c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭对其求导得：()()10x f x x x-'=>∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；又 12a >，13b >，14c >1a b c∴<<<再构造函数()ln g x x x =，对其求导得：()()ln 10g x x x '=+>∴当10x e<<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x e>时，()0g x '>，()g x 单调递增；()()()g a g b g c ∴<<即：ln ln ln a a b b c c <<又0abc > ln ln ln a b cbc ac ab<<∴故选：A.⑫【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得33x >或33x <-，令()0f x '<得3333x -<<，所以()f x 在33(,33-上单调递减，在3(,3-∞-，3,)3+∞上单调递增，所以33x =±是极值点，故A 正确；因323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛-∞- ⎝⎭上有一个零点，当33x ≥时，()303f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC .⑬【答案】ABD【分析】利用导数研究()f x 的单调性，即可判断A 、B 的正误；由()f x 在(,0)-∞、(0,)+∞上的值域，即可知()0f x m -=恰有两个不等的实根时m 的取值范围；取120x x <<，要证120x x +>，即证21x x >-，构造函数()()()g x f x f x =--并利用导数研究单调性，进而确定()g x 在(,0)-∞上的符号，即可证120x x +>.【详解】由题意，()xx f x e -'=，当0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；即()f x 在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减，A ：()()12f f >，正确；B ：()f x 的极大值，也是最大值为(0)1f =，正确；C ：∵x →-∞时()f x →-∞，即(,0)-∞上()(,0)f x ∈-∞；x →+∞时()0f x →，即(0,)+∞上()(0,1)f x ∈；∴要使()0f x m -=恰有两个不等的实根，则01m <<，错误；D ：不妨设12x x <，()f x 在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减，若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x <<，要证120x x +>，即证21x x >-，()()120,,0,x x ∈+∞∈+∞ ，只需证明()121()()f x f x f x =<-，即证明()()11f x f x <-令()()()()11x x x x x x x x g x f x f x x e e e e e e---+-+=--=-=++-，(),0x ∈-∞()()x x g x x e e -'=+，当0x >时，()0g x '>，函数在(),0-∞上单调递增；所以()()00g x g <=，所以()()0f x f x --<，即21x x >-，故120x x +>，正确.故选：ABD⑭【答案】AD【解析】【分析】对于A,利用导数的几何意义即可判断；对于B ，求出()e sin x f x x '=+，作图象数形结合判断其正负，即可判断函数的单调性；对于C ，D ，令()e sin 0x f x a x '=+=，则x 1sinx e a -=构造函数令()x sinx (),π,0eF x x =∈-，利用导数求得其极值，从而说明当()π,x ∈-+∞时，3π4π422e ()22e F x -≤≤，即可判断.【详解】对于A ，当1a =时，()()e cos ,e sin xx f x x f x x '=-=+，()01f '=，故()f x 在()()0,f x 处的切线的斜率为1，A 正确；对于B ，当1a =时，()()e cos ,e sin x x f x x f x x '=-=+，作出函数e ,sin x y y x ==-在()π,x ∈-+∞上的图象如图示，可以看到e ,sin x y y x ==-在()π,0x ∈-有两交点，即()e sin xf x x '=+有两个零点12,x x ，不妨假设12x x <，当()1π,x x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增，故当1a =时，()f x 在()π,-+∞上不是单调递增函数，故B 错误；对于C ，()e sin x f x a x '=+，()π,0x ∈-，令()e sin 0x f x a x '=+=，则x 1sin ex a -=,令()x sin (),π,0e x F x x =∈-，π2cos sin 4()e e x xx x x F x --'==，令()0F x '=，得ππ+,1,Z 4x k k k =≥-∈，故当π5π(2π,2π)44x k k ∈++π20,()04x F x '-><，()F x 递减，当5ππ(2π,2π2π)44x k k ∈+++时，π2)0,()04x F x '-<>，()F x 递增，所以当5π2π+,1,Z 4x k k k =≥-∈时，()F x 取到极小值，即当3π5π,,44x =- 时，()F x 取到极小值，又3π5π443π5πsin()sin 44e e--<> ，即3π5π(()44F F -<< ，又因为在3π(π,]4--上，()F x 递减，故3π43π2()(42F x F ≥-=-，当π2π+,0,Z 4x k k k =≥∈时，()F x 取到极大值，即当π9π,,44x = 时，()F x 取到极大值，又π9π44π9πsinsin 44e e >> ，即π9π(()44F F >> ，故π4π2()()42e F x F ≤=，当()π,x ∈-+∞时，3π4π422e ()22e F x -≤≤，所以当3π412e 2a -<-即3π422e a <，时，()'f x 在()π,-+∞上无零点，故C 错误；当π4122e a -=，即π42e a =-时，1=-y a 与sin ex x y =的图象只有一个交点，即存在()0,a f x '<在()π,-+∞上有唯一零点，故D 正确，故选：AD【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性和利用导数解决函数的零点问题，综合性强，计算量大，解答时需要灵活的应用相关知识，比如涉及到的三角函数的性质以及数形结合的方法等，解答的关键是构造函数，利用导数判断函数单调性，确定极值，解决问题.。

2023年高考数学客观题专题六函数与导数

2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;

2020年高考文科数学全国卷1附答案解析版

1| 2
PF1 ||
PF2 | 中计算即可.
由已知，不妨设 F1 2，0，F2 2，0，
则a
1，c
2 ，因为| OP | 1
1| 2
F
1F2
|，
所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上，即 △F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，
【解析】根据已知条件求得q 的值，再由a 6 a 7 a 8 q a5 1a 2 a3 可求得结果. 设等比数列an的公比为q ，则 a 1 a2 a3 a1 1 q q 2 1 ， a2 a3 a4 a1q a1q 2 a1q3 a1q 1 q q 2 q 2 ，因此， a6 a7 a8 a1 q5 a1 q6 a1 q7 a1 q5 1 q q 2 q5 32 .
数学试卷第 6 页（共 6 页）
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I卷
文科数学答案解析
一、选择题 1．【答案】D 【解析】首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得 A 由 x2 3x 4＜0 解得1＜x＜4，
所以 A x | 1＜x＜4，又因为 B 4，1，3，5，所以 A B 1，3，
xi，yi i 1，2，，20得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃ 至 40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和
温度 x 的回归方程类型的是
（）
A. y a bx
B. y a bx2
C. y a bex
D. y a b ln x
6.已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点1，2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
数学试卷第 4 页（共 6 页）
毕业学校
姓名
考生号

考点10 导数的概念及其几何意义(解析版)

考点10 导数的概念及其几何意义【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 【答案】B【思路导引】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+，故选B ．【专家解读】本题考查了导数的几何意义，考查曲线切线的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是正确理解导数的几何意义．【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．【答案】2y x =【思路导引】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可．【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，∴切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =，故答案为：2y x =．【专家解读】本题考查了曲线切线方程的求法，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用导数的几何意义解题．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.3.会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数）【2020年高考全国Ⅲ卷文数15】设函数()e x f x x a =+，若()e14f '=，则a = ．【答案】1【思路导引】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值．【解析】由函数的解析式可得()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =，故答案为：1．【专家解读】本题考查了导数的导数的运算法则及基本运算，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用导数的运算法则计算导数．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．2.命题方向预测：导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有：(1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用．3.课本结论总结：1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线和斜率，即0'()k f x =.相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．4.名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环.5.课本经典习题：(1)新课标A 版选修2-2第6页，例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时，原油的温度（单位：℃）为2()715(08)y f x x x x ==-+≤≤.计算第2h 与第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【解析】在第2h 和第6h 时，原油温度的变化的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f ，根据导数的定义，2(2)(2)4()73y f x f x x x x x x x∆+∆-∆+∆-∆===∆-∆∆∆，∴0'(2)lim 3x yf x ∆→∆==-∆，同理可得'(6)5f =，在第2h 与第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-与5，它说明在第2h 附近，原油温度大约以3℃/h 的速度下降；在第6h 附近，原油温度大约以5℃/h 的速率上升，一般地，0'()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.【经典理由】结合具体的实例，给出了结论：0'()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率.(2)新课标A 版选修2-2第17页，例4 求下列函数的导数（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e-+=；（3）sin()y x πϕ=+(其中π，ϕ均为常数)；【解析】（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数，根据复合函数求导法则有2'''()'(23)'4812x u x y y u u x u x =⋅=⋅+==+；（2）函数0.051x y e -+=可以看作函数u y e =和0.051u x =-+的复合函数，根据复合函数求导法则有0.051'''()'(0.051)'0.050.05u u x x u x y y u e x e e -+=⋅=⋅-+=-=-；（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数，根据复合函数求导法则有'''(sin )'()'cos cos()x u x y y u u x u x πϕπππϕ=⋅=⋅+==+.【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法.6.考点交汇展示： (1)导数与点线距离相结合例1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线40x y --=的最小距离是（） AB ．3C．D．【答案】C【解析】要使点P 到直线40x y --=的最小距离，只需点P 为曲线与直线40x y --=平行的切线切点，即点P 为斜率为1的切线的切点，设000(,),0P x y x >，02001ln ,|21x x y x x y x x ==-'=-=，解得01x =或012x =-（舍去），点(1,1)P 到直线40x y --==2ln y x x =-上任一点到直线40x y --=距离最小值为例2．（2020·重庆南开中学高三）点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（） A ．1 B ．3- C ．2D．-【答案】B【解析】对于函数ln y x =，定义域为()0,∞+，'1y x =在()0,∞+上为减函数，令'11y x==，解得1x =，故函数ln y x =导数为1处的切点坐标为1,0A ，点1,0A 到直线0x y a -+==解得1a =或3a =-.结合图象可知，要使满足到直线y x a =+的点P 有且仅有3个，则1a =不符合，所以3a =-.(2)导数与函数图象相结合例3.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．例4.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()4242f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A. ()()24a f f <'<'B. ()()24f a f '<'<C. ()()42f f a ''<<D. ()()24f f a ''<< 【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以()()()()2,2,4,4f f 两点连续的斜率()()4242f f --大小，在点()()2,2f 处的切线斜率()'2f 与点()()4,4f 的切线斜率()'4f 之间， ()()'2'4f a f ∴<<，故选B.(3)导数与不等式相结合例5．（2020·山东省山东师范大学附中高三）己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是_______________. 【答案】4【解析】对()ln y x b =+求导得1y x b'=+，因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，所以011x b=+即01x b =-，所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -，由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当12b a ==时，等号成立.所以11a b+的最小值是4. 例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数()ln f x x x =. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处切线方程；（2）当1a >时，求证：存在10,c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得对任意的(),1x c ∈，恒有()()1f x ax x >-. 【答案】(1)10x y --=；（2）证明见解析.【解析】(1)由()ln f x x x =,得()ln 1f x x '=+，∴()()10,11f f '==，故所求切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=；(2)证明：由()()1f x ax x >-,得ln (1)x x ax x >-，考虑到0x >，可得()ln 1x a x >-，设()()ln 1g x x a x =--，则111()a x ax a g x a x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭'=-==-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，∴()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.由()g x 在区间1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数及()10g =,得当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x >，① 又()()ln 10aa a a g ee a e ae ----=--=-<,则存在01,,a x e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x =.又()g x 在区间01,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内是增函数，∴当01,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >.②由①②可知,存在01,c x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()0g x >恒成立，即存在10,c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得对任意的(,1)x c ∈，恒有()(1)f x ax x >-.【考点分类】热点1 导数的运算1．（2020·陕西省高三）已知函数2()(1)e 2x f x f x '=-+，则'(0)=f （）A ．2eB ．2e 1- C ．2ee 1- D ．42ee 1-- 【答案】B【解析】由已知得()(1)e 2xf x f x ''=-，令1x =，则(1)(1)e 2f f ''=-，解得2(1)e 1f '=-，所以2()e 2e 1xf x x '=--，所以2(0)1'=-f e ， 2.已知'()f x 是()sin cos f x x a x =+的导函数，且2'()44f π=，则实数a 的值为（） A ．23 B ．12 C ．34D ．1 【答案】B【解析】由题意可得'()cos sin f x x a x =-，由2'()44f π=可得222224a -=，解之得12a =，选B.3.曲线在点处切线为，则等于( )A.B. C. 4 D. 2【答案】C 【解析】由题意可得,而==，选C.【方法规律】导数运算时，要注意以下几点：1.尽可能的把原函数化为幂函数和的形式；2.遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量；3.求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量.热点2 导数的几何意义1．（2020·全国高三其他（理））曲线cos sin x y x =在点π,14⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为（）. A ．π2102x y --+=B ．π2102x y ---=C ．π2102x y +-+=D ．π2102x y +--= 【答案】D【解析】2222sin cos 1sin sin x x y x x--'==-，切线斜率为2k =-，∴切线方程为π124y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即π2102x y +--=. 2．（2020·湖南省高三其他（理））已知直线2y kx x =-与曲线ln y x x =在x e =处的切线平行，则实数k 的值为_______. 【答案】4【解析】对ln y x x =求导数，得'ln 1y x =+.当x e =时，'2y =.故曲线在x e =处的切线的斜率为2．而已知直线的斜率为2k -，∴22k -=，故4k =.3．（2020·辉县市第二高级中学高三）过原点()0,0作函数()322f x x x =+图象的切线，则切线方程为______．【答案】0y =或0x y +=【解析】()322f x x x =+,则2()34f x x x '=+,设切点为32000(,2)x x x +,则切线的斜率2000()34k f x x x '==+,故切线方程为:3200(2)y x x -+=2000(34)()x x x x +-,因为切线过点(0,0),所以3200(2)x x -+=2000(34)()x x x +-,即320002200x x x +=⇒=或01x =-,故当00x =时,切线方程为0y =,当01x =-时,切线方程为0x y +=,4．（2020·定西市第一中学高三其他（理））已知曲线()1:e 0=>xC y x x 和222:ex x C y --=，若直线l 与12,C C 都相切，且与2C 相切于点P ，则P 的横坐标为（）A．3 B1C ．352D．12【答案】C【解析】设()00,P x y ，另设l 与1C 相切于点()11,M x y ，则10001122,x x x y y x e e--==．由xy xe =得(1)x y x e '=+，由22x x y e --=得23x xy e '--=．因为l 是1C 和2C 的切线，所以()1001231x x x x e e--=+，即()()01201211x x x e x e --+=+．又(1)x y x e =+在(0,)+∞单调递增，所以012x x -=．又因为()1101101x y y x e x x -=+-，即()10101211021x x x x x e e x e x x ---=+-，所以()()1111111112x x x x e x e x e x x +=+--，即11111x x x =+-，解得112x +=或12（不合，舍去）．所以01322x x -=-=，【方法规律】曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解． (1)点00(,)P x y 是切点的切线方程为000'()()y y f x x x -=-． (2)当点00(,)P x y 不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标11'(,())P x f x ；第二步：写出过11'(,())P x f x 的切线方程为111()'()()y f x f x x x -=-；第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()'()()y f x f x x x -=-可得过点00(,)P x y 的切线方程．热点3 导数的几何意义的应用1．（2020·江苏省丰县中学高三）若点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（） AB．2C ．12D ．1【答案】A【解析】设(,)P x y ，则12(0)y x x x '=->，令121x x-=，则(1)(21)0x x -+=，0x，1x ∴=，1y =∴，即平行于直线2y x =-且与曲线2y x lnx =-相切的切点坐标为(1,1)．点P 到直线2y x =-的最小距离就是平行于直线2y x =-且与曲线2y x lnx =-相切的切点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得|112|22d -+==．2.已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是．【答案】)0,1[-【解析】由导数的几何意义y '=αtan 1242++-=x x x e e e 214++-=x x e e 2124+⋅-≥x x e e 1-≥，又因为0>x e ，所以0tan <α，故)0,1[tan -∈α.3.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，设切点分别是，所以切线方程分别为：，化简为，所以消，得令，，所以f(x)在单调递减，，，填.3.（2020·辉县市第二高级中学高三已知函数32()f x ax bx =-在点(1, (1))f 处的切线方程为31=0x y +-.（1）求实数a ，b 的值；（2）若过点()1,4()m m -≠-可做曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）()4,4-. 【解析】（1）由切线方程知：()13112f =-⨯+=-，()13f '=-，又()232f x ax bx '=-，2323a b a b -=-⎧∴⎨-=-⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知：()323f x x x =-，则()236f x x x '=-，4m ≠-，()1,m ∴-不在()f x 上，又()1369f '-=+=，可知切点横坐标不为1-，设切点坐标为()32000,3x x x -，01x ≠-，则切线斜率322000003361x x m k x x x --==-+，整理得：3026m x x =-+，过()1,m -可作()f x 三条不同的切线，30026m x x ∴=-+有三个不为1-的解；令()()3261h x x x x =-+≠-，则()()()266611h x x x x '=-+=-+-，∴当(),1x ∈-∞-和()1,+∞时，()0h x '<；当()1,1x ∈-时，()0h x '>，()h x ∴在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，由此可得()h x 图象如下图所示：30026m x x =-+有三个不为1-的解等价于y m =与()h x 有三个不同的交点，由图象可知：44m -<<，∴实数m 的取值范围为()4,4-.【解题技巧】导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如：（1）因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题；（2）利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可.【易错点睛】利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外，在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题.【热点预测】1．函数()3sin 4cos f x x x =+的图象在点T (0， f (0))处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积等于（） A ．43B ．53C ．73D ．83【答案】D【解析】()3sin 4cos f x x x =+，()3cos 4sin f x x x '=-，(0)4f =，(0)3f '=，则切线l 的方程为43(0)y x -=-，令0x =，解得切线l 在y 轴上的截距4b =，令0y =，解得切线l 在x 轴上的截距43a =-，则直线l 与坐标轴围成的三角形面积18||||23S a b ==.2.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.3．（2020·安徽省六安中学高三）已知函数()()210xf x e ex x =-++≥，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（）A ．10ex y e -+-=B ．0x y +=C ．0x y -=D ．10ex y e ++-= 【答案】A 【解析】()()210x f x e ex x =-++≥，()2x f x ex e '∴=-，则()11f =，()1f e '=，因此，函数()y f x =在1x =处的切线方程为()11y e x -=-，即10ex y e -+-=.4.设1n y x+=(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201712017220172016log log ......log x x x +++的值为 ( ). A. 2017log 2016-B. －1C. 2017log 20161-D. 1【答案】B【解析】令()1n f x x+=，则()()1nf x n x +'= ，切线的斜率为()11k f n ='=+ ，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得1111nx n n =-=++，所以201712017220172016log log ......log x x x +++ ()2017122016log ......x x x = 2017201712320161log ......log 123420172017⎛⎫=⋅⋅==- ⎪⎝⎭ 5. 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【解析】记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．6．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）已知点P 在直线1y x =-上，点Q 在曲线22x y =上，则PQ 的最小值为（） A ．14B ．18C．2D．4【答案】D【解析】设与直线1y x =-平行的直线l 的方程为y x m =+， ∴当直线l 与曲线22x y =相切，且点Q 为切点时，,P Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22122x y y x =⇔=，所以y x '=，01x ∴=，012y ∴=， ∴点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =-， ,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =-和1y x =-间的距离， ,P Q ∴两点间距离的最小值为4=. 7.已知曲线2x ay ey x +==与恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是A. [)2ln22,-+∞B. ()2ln2,+∞C. (],2ln22-∞- D. (),2ln22-∞- 【答案】D【解析】设直线(0)y kx b k =+>为它们的公切线，联立2{y kx b y x=+=可得240k b +=①，x a y e +=求导可得x ay e+=，令x a e k +=可得ln x k a =-，所以切点坐标为()ln ,ln k a k k ak b --+，代入x ay e+=可得ln k k k ak b =-+②.联立①②可得2444ln 0k k ak k k ++-=，化简得444ln a k k +=-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+， ()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．
分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+， ()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。

（2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即。

首先来画一下函数图象。

)1ln(sin x x +
=
从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ
,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。

解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-
+， 21sin ())(1x 'x g x =-+
+. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()g'x 单调递减，而(0)0,()02
g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时， ()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.
（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知， ()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时， ()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.
（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知， ()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，而(0)=0f '， 02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()0f 'β=，
且当(0,)x β∈时， ()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减. 又(0)=0f ， 1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π
⎤∈ ⎥⎝⎦
时， ()0f x >.从而， ()f x 在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦π没有零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时， ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点.
（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦
时， ()0f 'x <，所以()f x 在,2π
⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭， ()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点. 综上， ()f x 有且仅有2个零点.。