人猫鸡米过河问题
人猫鸡米渡河问题的数学模型
重庆大学本科生数学模型作业报告人猫鸡米渡河问题的数学模型组员：唐新赵广志<指导教师：黄光辉人猫鸡米渡河问题的数学模型一、摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
二、问题的重述人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
关键词：人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，船需人划，穷举法三、模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件:1、船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一2、当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米四、符号说明五、问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
六、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， （3）设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
人、猫、鸡、米过河的方案
数学建模作业1.招出安全可行的人、猫、鸡、米过河的方案。
2.探究鱼体重与身长、胸围的关系。
3.速度为V 的风吹在迎风面积为S 的风车上，空气密度为ρ。
用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与V 、S 、ρ的关系。
1 解：(1)问题分析。
人不在时，猫和鸡、鸡和米任意一对都不能同时存在河的同岸。
（2）符号说明。
设人、猫、鸡、米分别对应1、2、3、4， Xi=1 为在河岸。
Xi=0 为在河对岸。
S=（X1，X2，X3，X4） 为河岸情况。
s=（1-X1.1-X2，1-X3，1-X4） 为河对岸情况。
Ai=1 为在船上。
Ai=0 为不在船上。
D=（A1，A2，A3，A4） 为渡河方式。
Sn 第n 次渡河后河岸情况。
Dn 第n 次渡河方式。
（3）建立模型。
由问题分析、符号说明知：两岸允许的状态为：河岸 河对岸 （1，1，1，1） （0，0，0，0） （1，1，1，0） （0，0，0，1） （1，1，0，1） （0，0，1，0） （1，0，1，1） （0，1，0，0） 可选择的渡河方式有：D=｛（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0）｝ 由状态转移律可得：DS S nnn n )1(1-+=+所以，安全的渡河方式即为在允许的渡河方案和河岸情况下，使得Sn 由初状态S1=（1，1，1，1）经过n 次得到Sn 1+=（0，0，0，0）（4）模型求解。
得到最优可行方案为：（1，1，1，1）-（1，0，1，0）+(1,0,0,0)-(1,1,0,0)+(1,0,1,0)-（1，0，0，1）+（1，0，0，0）-（1，0，1，0）=（0，0，0，0）最优方案需要7次渡河。
因此，解决问题的最优方案是：人先带鸡过河，然后回来带米过河，把鸡带回来，再把猫带到河对岸，最后回来把鸡带到河对岸。
2.解：（1）问题分析。
鱼的体重不能单独由身长或胸围决定，应由两者综合影响，故应在三者之间建立模型关系。
趣味数学
1、人带猫、鸡、米过河，船除需要人划外，至少能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡船次数尽量减少。
答案: 1 带鸡过去空手回来 2 带猫过去带鸡回来 3 带米过去空手回来 4 带鸡过去2、甲乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽的比是3：2，乙的长与宽的比是3：5，那么甲乙的面积是多少？答案: 甲长为24宽为16，乙长为15，宽为25。
甲面积为384，乙面积为375。
答案不唯一。
三.一块合金中铜和锌的比是3：2，现在加6克锌，共得锌的合金36克，新的合金中铜和锌的比是多少? 答案: 铜锌是1：14、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背会家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？25根。
先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。
回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。
再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，块A、5。
约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉 P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。
这时，约翰教授问P先生和Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，S先生听到如下的对话： P先生：我不知道这张牌。
Q先生：我知道你不知道这张牌。
P先生：现在我知道这张牌了。
Q先生：我也知道了。
听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。
请问：这张牌是什么牌？吃25根，还剩25根到家。
1、问5条直线最多将平面分为多少份？2、太阳落下西山坡，鸭儿嘎嘎要进窝。
四分之一岸前走，一半的一半随水波；身后还跟八只鸭，我家鸭子共几多？3、 9棵树种10行，每行3棵，问怎样种？4、数学谜语：（“／”是分数线） 3／4的倒数 7／8 1／100 1／2 3．4 1的任何次方以上每条打一成语。
安全过河问题
安全过河
一、问题提出
人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽可能少。
二、模型假设
不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。
符号说明：
三、模型的建立
人、猫、鸡、米分别记为i=1,2,3,4,当i在此岸时记为x i=1，否则记x i=0，则此岸的状态可用S=(x,1x2,x3,x4)表示。
记s的反状态为s'=(1-x,11-x2，1-x3，1-x4)，允许状态集合为D={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)} (1)
以及他们的5个反状态决策为乘船方案，记作d=(u,1u2,u3,u4)，当i在船上时记作u i=1，否则记为u i=0，允许决策集合为D={（1,1,0,0），（1,01,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）} （2）
记第k次渡河前的此岸的状态为s k，第k次渡河的决策为d k，则状态转移律为s k1+=s k+()1-k d k，(3)
设计安全过河方案归结为求决策序列d1，d2，···，d k∈D，使状态s k∈S按状态转移律由初始状态s1=（1,1,1,1）经n步达到s n1+=（0,0,0,0）。
四、模型的求解
从而我们得到一个可行的方案如下：
因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。
人猫鸡米过河问题
一、问题的重述人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
二、模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。
三、符号说明,1=i 人 ,2=i猫 ,3=i 鸡 ,4=i米 1=i x在此岸 0=i x在对岸 ()4321,,,x x x x s =此岸状态 ()4321'1,1,1,1x x x x s ----=对岸状态()4321,,,u u u u d = 乘船方案1=i ui 在船上时 0=i u i 不在船上k s 第k 次渡河前此岸的状态k d第k 次渡河的决策四、问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
五、模型建立与求解Ⅰ.模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1）以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， (3) 设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
人带着猫、鸡、米过河问题
摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
问题的重述：人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。
符号说明i=1人i=2猫i=3鸡i=4米Xi=1在此岸在对岸xi=0S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案ui=1i在船上时ui=0i不在船上Sk第k次渡河前此岸的状态dk第k次渡河的决策问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i 在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。
记s 的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}（1）以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当i 在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为(3)设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。
习题参考解答
《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
人猫鸡米过河模型
人猫鸡米过河模型人、鸡、米、猫过河模型摘要研究目的：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
关键词：过河模型、模仿、商人过河一．问题的提出模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
二．模型的假设与符号说明假设：1、假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。
2、当人不在场时，猫一定会吃鸡，鸡一定会吃米。
3、不考虑外界其他影响。
符号说明三、问题分析考虑到猫不能和鸡在一起，鸡不能和米在一起这个因素人每次只能带一样过去，且还得开船。
四、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为：()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为人鸡米猫()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， （3） 设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
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摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
问题的重述：
人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
模型假设
不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。
符号说明
i=1人
i=2猫
i=3鸡
i=4米
Xi=1在此岸
xi=0在对岸
S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态
S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态
d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案
ui=1 i在船上时
ui=0 i不在船上
Sk第k次渡河前此岸的状态
dk第k次渡河的决策
问题分析
安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
模型建立与求解 Ⅰ. 模型的建立：
人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i 在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。
记s 的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为
S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)} （1） 以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当i 在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为
D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} （2）
记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为 (3)
设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。
Ⅱ. 模型的求解：
从而我们得到一个可行的方案如下：
因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。
模型评价与推广
（Ⅰ）优点：
1、模型简单，切合实际，易于理解；
2、建立了合理、科学的状态转移的模型。
3、结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；（Ⅱ）缺点：
由于问题的求解没有使用LINGO或MATLAB软件，当状态和决策过多时，采用上述方法求解显得繁琐，容易出错。
（Ⅲ）推广：
正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。
参考文献：
【1】杨启帆，边馥萍. 数学建模. 浙江大学出版社，1990
【2】姜启源，谢金星，叶俊. 数学建模. 第三版.北京：高等教育出版社，2003。