分式部分的经典提高题
初二数学分式基础与提升练习
二、解分式方程
（一）知识点
1、概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方
程.
2、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并
约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增
根 .因此，在解分式方程时必须进行检验
（二）基础与提升练习
1、解方程 （ 1） 4 ＝ 1；
19、 已知 xyz 1，求 x
y
z 的值．
xy x 1 yz y 1 zx z 1
20、 已知： a b c 0
求证： a 1 1
11 b
11 c
30
bc
cb
ab
21、计算
22 、计算
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23、计算：（ 1）
；（ 2）
24、A 玉米试验田是边长为 am的正方形减去边长为 1m的蓄水池后余下部分， B 玉米试验田是边长为 ( a－ 1)m 的正方形，两块试验田的玉米都收获了 500kg． (1) 哪种玉米田的单位面积产量高？ (2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
1.8 倍，结果提前 20 天完成任务， 若设原计划每天修水渠 x 米，则下面所列方程正确的是 （
）
3600 3600
3600
3600
A．
B．
20
x 1.8 x
1.8 x
x
3600 3600
3600 3600
C．
20 D ．
20
x 1.8x
x 1.8x
8、某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
11、华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用
分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
3．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍.若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.
中考数学总复习《分式》专项提升训练(附带答案)
中考数学总复习《分式》专项提升训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________限时：分钟1. 把分式aa+b的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值( )A. 不变B. 变为原来的2倍C. 变为原来的12D. 变为原来的4倍2. 分式x 2−xx−1的值为0，则x的值是( )A. 0B. −1C. 1D. 0或13. [2023·河南]化简a−1a +1a的结果是( )A. 0B. 1C. aD. a−24. 下表为张小亮的答卷，他的得分应是( )姓名：张小亮得分：判断题（每小题20分，共100分）（1）当x≠0时，分式1x有意义. （√）（2）当x=−1时，分式x+1x−2的值为0. （√）（3）a 2+b2a+b=a+b.（×）（4）nm =n2mn. （√）（5）x 3−xx+1÷x=x+1.（√）A. 40分B. 60分C. 80分D. 100分5. [2023·北京]若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是 .6. [2023·衡阳]已知x=5，则代数式3x−4−24x2−16的值为 .7. [2023·宁德二检]先化简，再求值：(1x−1+1)÷xx2−1，其中x=2.8. [2023·厦门二检]先化简，再求值：a 2−2a+1a2+a÷(1−2a+1)，其中a=√3.9. [2023·漳州二检]化简求值：(1x+1+1x2−1)÷xx−1，其中x=√2−1.提升练10. [2023·武汉]已知x2−x−1=0，计算(2x+1−1x)÷x2−xx2+2x+1的值是( )A. 1B. −1C. 2D. −211. 已知直线y=2x−4与双曲线y=2x 相交于点(m,n)，则1m−2n= .12. [2023·通辽]以下是某同学化简分式a−ba ÷(a−2ab−b2a)的部分运算过程：解：原式=a−ba ÷a−a−ba÷2ab−b2a……第一步=a−ba ⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2……第二步=a−ba2−a−b2ab−b2……第三步……（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程.综合练13. [2023·无锡]已知曲线C1，C2分别是函数y=−2x (x<0),y=kx(k>0,x>0)的图象，边长为6的正三角形ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C在x轴上（点B在点C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 .【参考答案】课时训练（四）分式A 基础练1. A2. A3. B4. B[解析]（1）（2）（3）判断正确；当n=0时，n 2mn 无意义，（4）判断错误；x3−xx+1÷x=x(x+1)(x−1)x+1×1x=x−1，（5）判断错误.∴张小亮答对了3道题.∴他的得分应是20×3=60（分）.5. x≠26. 137. 解：原式=1+x−1x−1⋅(x+1)(x−1)x=x+1当x=2时，原式=2+1=3.8. 解：原式=a 2−2a+1a2+a÷a−1a+1=(a−1)2a(a+1)⋅a+1a−1=a−1a.当a=√3时，原式=√3−1√3=3−√33.9. 解：原式=[x−1(x+1)(x−1)+1(x+1)(x−1)]÷xx−1=x(x+1)(x−1)⋅x−1x=1x+1.当x=√2−1时，原式=√2−1+1=√22.B 提升练10. A11. −2[解析]将点(m,n)的坐标分别代入y=2x−4和y=2x ，可得n=2m−4，n=2m，∴n−2m=−4，mn=2.∴1 m −2n=n−2mmn=−42=−2.12. （1）一（2）原式=a−ba ÷a2−2ab+b2a=a−ba⋅a(a−b)2=1a−b.C 综合练13. 6[解析]如图，连接AO，过点A,B分别作x轴的垂线，交x轴于点E,F.∵△ABC为等边三角形且AO⊥BC，∴∠BAO=30∘∴tan∠BAO=tan30∘=OBOA =√33.∵∠BFO=∠AEO=∠AOB=90∘∴∠BOF=90∘−∠AOE=∠EAO.∴△BFO∼△OEA.∴S△BFOS△AOE =(OBOA)2=1 3.∵S△BFO=|−2|2=1，∴S△AOE=3.∴k=6.。
【精选】八年级上册分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：12x M +=，21xN x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值；②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1 【解析】 【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可； （2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可； ②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可． 【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下：M －N =()()21122121x x xx x -+-=++ ．∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0．（2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1．②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2．当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ；当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ；当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1． 【点睛】本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．2．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时． 【解析】 【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：20m n +，乙的工作效率为：200.5m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨， 根据题意可得：100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x ＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨，答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨，根据题意得：20m m y y a+=+解得；y ＝20ma ，经检验：y ＝20ma是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020ma a+； （3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时．【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.3．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求241x x +的值。
北京市石景山区实验中学八年级数学上册第十五章《分式》经典题(培优提高)
一、选择题1．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660(110%)x x -+=6，题中x 表示的量为（ ） A ．实际每天铺设管道长度 B ．实际施工天数C ．计划施工天数D ．计划每天铺设管道的长度2．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．2m =-C ．5m =D ．5m =-3．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x-= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 4．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ）A ．3B ．0C ．－3D ．－45．计算233222()mn m n -⋅-的结果等于（ ）A ．2mnB ．2n mC ．2mnD ．72mn6．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．128．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a bab+=( )A ．-2020B ．-2C ．1D ．29．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ） A ．18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x -=+ 10．下列计算正确的个数为（ ）①555•2a a a =；②5510b b b +=；③1644n n ÷=；④247••y y y y =；⑤()()23•x x x --=-；⑥()7214a a --=；⑦()()234214•a a a -=；⑧()242a a a ÷-=-；⑨()03.141π-=． A ．2B ．3C ．4D ．511．22()-n b a （n为正整数）的值是（ ）A ．222+n n b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-nn b a12．在代数式2π，15x +，221x x --，33x -中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个13．若分式2-3xx 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x >32 B ．x <32 C ．x =32D ．x ≠3214．如果111a b a b +=+，则b a a b+的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-15．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c d <<<B ．b a c d <<<C ．b a d c <<<D ．a b d c <<<二、填空题16．已知5a b +=，6ab =，b aa b+=______． 17．方程31x xx x -=+的解是______．18．化简23x x+=____． 19．关于x 的分式方程3122m x x-=--无解，则m 的值为_____． 20．分式2222,39a bb c ac的最简公分母是______．21．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．22．若分式2221x x --的值为正整数，则x =_____________． 23．要使分式2xx 1+有意义，那么x 应满足的条件是________ ．24．方程111x x x x -+=-的解是______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．已知：4a b +=，2210a b +=，求11a b+=______． 三、解答题27．计算：（1）|﹣3|12（﹣2）2； （2）xy 2•（﹣2x 3x 2）3÷4x 5．28．列方程解应用题：为了响应绿色环保的倡议，我县教体局提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”的口号．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为800克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为320克，已知每页A4薄型纸比A4厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量（墨的质量忽略不计）． 29．先化简，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =． 30．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米．（1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？（2）若隧道的总长为2400米，甲、乙挖掘机工作20天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖m 米，同时乙比原来少挖m 米，最终，甲、乙两台挖掘机完成的时间相同，且各完成隧道总长的一半，请求出m ．。
分式方程实际问题专项提升经典练习题无答案
《分式方程实际问题》专项提升经典练习题一.选择:1.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的 时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器, 根据题意，下面列出的方程正确的是（）A 600 _480 %-40 xB 600 480%+40 x C 600 480x %+40D 600 480 x %-402 .某工厂原计划在x 天内完成120个零件，采用新技术后，每天可多生产2个 零件，结果提前3天完成.可列方程（）3 . 2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（） 4 .西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的 垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车 合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根 据题意可列出方程为（） A. L -2+I .2=1B . 2^+1_2=1 6 x 6x2120-120 +3B. 120-120 +3 %-2 x x %+2C.望+3= X120 %+2 D. 120 120 +3 x %-2 A.迎—-J=5% (1+20%)% B.”&5 x 20%%C 30 +5=30・ 20%% % n 30 _30-c • (1+20%)% %C. 9+^=1D.必+^=13 M 2 3 M5 .十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480 元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原 来游玩的同学有x 名，则可得方程（ ）6 .某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导 小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项 工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③二^^，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的工期 为X 天，根据题意列出了方程：生+上=1，则方案③中被墨水污染的部分应该是x %+57 .某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用 240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了 20本.求第一次买了多少本资料？若设第一次买了*本资料，列方程正确的是 240 120 ।B, G - T=48 .某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用 14 700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价 比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） 10 000 10=14 700 (1-40%) %%A 48£_480=4%+4 x 480 480 IB . 丁H 4C 480-480=4%-4 x D 480_480=4 x x+4 A.甲、乙合作了4天B.甲先做了 4天C.甲先做了工程的工 D.甲、乙合作了工程的工200 120 । -- - --- 4 120 240 4 C . - - --- 4 120 240 AD . 1-G 4A. 10 000-10= 14 700% (1+40%)% B. 10 000+10= 14 700 % (1+40%)% D 10 000 +10=14 700, (1-40%) x % C.9.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做的零件的个数为.10.甲、乙工程队分别承接了 160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： .11.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，则规定日期为____ 天.12.为了推广高效节能电器，某地实施了财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，客户每购买一台可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为____ 元.13.济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了 36天完成.乙工程队单独完成这项工作需要天.14.据报道，清明节期间，晋江消防大队出警多次.其中有一次是发生火灾的地方离晋江消防大队有15千米，消防大队接到报警后马上出发，先经过市区3千米，然后直接驶向火灾发生地，共用了；小时，已知消防车驶出市区后的速度是它在市区速度的2倍，则消防车在市区行驶的速度为千米/时.15.杭州到北京的铁路长1 487 km，动车的原平均速度为x km/h，提速后平均速度增加了 70 km/h，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 h，则可列方程为一三.解答16.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的邑倍，甲队比3乙队多筑路20天.(1)求乙队筑路的总公里数.(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8,求乙队平均每天筑路多少公里.17.甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？18.今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元.已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了 500元.第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次采购的数量是第一次采购数量的两倍.(1)试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？(2)该公司将大蒜加工成蒜粉或蒜片,若单独加工成蒜粉,每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1 000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨，每吨大蒜获利600元.为出口需要，所有采购的大蒜必须在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？19.某工程队准备修建一条长1 200 m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务.求实际每天修建道路的长度.20.某人驾车从A地到B地,出发2小时后车子出了点毛病,耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达，已知A，B 两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.。
分式部分的经典提高题
分式部分的经典提高题分式总复定义：分式是指分母含有未知数的方程，例如 A/B（B中含有字母）。
通分：A/B = AA*M / BB*M (M ≠ 0)约分：A/B = A÷M / B÷M (M ≠ 0)分式方程转化为整式方程的思想：把分式方程转化为整式方程。
方法：两边同乘以最简公分母。
解法：依据等式的基本性质，必须验根。
应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用。
分式的有意义应用要判断分式是否有意义，需要看其分母是否为零。
例1：若 ab + a - b - 1 = 1/(a-1)(b+1)，试判断是否有意义。
解：ab + a - b - 1 = (b+1)(a-1)b+1)(a-1) = 0，即 b+1=0 或 a-1=0因此，分式中至少有一个无意义。
简化分式运算例2：计算 a² + a - 1 / a+1a-3.解：原式 = [a(a+1) - 1] / [a(a-3) + 1] = [(a-1) - (a+1)] /[a+1)(a-3)] = -2 / (a+1)(a-3)例3：解方程 1 - 2x / (x+7)(x+6) = 1 / (x-2)(x-3)。
解：最简公分母为 (x+1)(x+6)(x-2)(x-3)。
因为 x+7x+6 = (x+1)(x+6)，x-5x+6 = (x-2)(x-3)，所以可以采用“分离分式法”简化计算。
得到原方程变为 1 - 11 / (x²-5x+6) = 1 / (x²+7x+6)。
化简后得到 x²+7x+6 = x²-5x+6，解得 x = -1.经检验，x=-1是原方程的根。
以上是分式总复的知识点，其中包括了通分、约分、分式方程转化为整式方程的思想、简化分式运算和分式的有意义应用等内容。
在实际应用中，我们需要掌握这些知识点，以便更好地解决问题。
Q=mc(t-t')根据公式，Q表示热量，m表示物体的质量，c表示物体的比热容，t表示物体的初始温度，t'表示物体的最终温度。
中考数学总复习《分式》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《分式》专项提升练习题（附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列各式中，属于分式的是( ) A.1π B. a C.3a D.a 32.若分式x －2x ＋1无意义，则( ) A.x ＝2 B.x ＝－1 C.x ＝1 D.x ≠－13.分式方程2x －2＋3x 2－x＝1的解为( ) A.x ＝1 B.x ＝2 C.x ＝13D.x ＝0 4.下列运算中，错误的是( )A.=++x y y xx y y x -- B.=1+a b a b --- C.0.5+5+10=0.20.323a b a b a b a b -- D.=(0)a ac c b bc ≠ 5.把分式11361124x x -+的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是( ) A.3624x x -+ B.4263x x -+ C.2121x x -+ D.2234x x -+ 6.解分式方程1－x x －2＝12－x﹣2时，去分母变形正确的是( ) A.﹣1＋x ＝﹣1﹣2(x ﹣2) B.1﹣x ＝1﹣2(x ﹣2)C.﹣1＋x ＝1＋2(2﹣x)D.1﹣x ＝﹣1﹣2(x ﹣2)7.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图5－3－1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁8.化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为（ ） A.1x 2－4 B.1x 2＋2x C.1x －2 D.x －6x －29.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是( ) A.120x ＝150x －8 B.120x ＋8＝150x C.120x －8＝150x D 120x ＝150x ＋810.对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max{a ，b}表示a ，b 中的较大值，如max{2，4}＝4.按这个规定，方程max{x ，﹣x}＝2x ＋1x的解为( ) A.1﹣ 2 B.2﹣ 2 C.1＋2或1﹣ 2 D.1＋2或﹣1二、填空题11.如果x ＝－1，那么分式 x －2x 2－4的值为________. 12.填空：a 2－2a ＋1a －1÷(a 2－1)＝ ． 13.分式方程1x －1＝a x 2－1的解是x ＝0，则a ＝ . 14.化简：(1＋1x －1)÷x 2＋x x 2－2x ＋1＝________. 15.端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x 元，列方程为 .16.若关于x 的分式方程x ＋m x －2＋2m 2－x ＝3的解为正实数，则实数m 的取值范围是_________三、解答题17.化简：(1－1x ＋1)÷x x 2－1.18.化简：a2－b2a÷(a﹣2a－b2a).19.解分式方程：xx－7﹣17－x＝2；20.解分式方程：2x2－4＋xx－2＝1.21.化简：(x＋2x2－2x－x－1x2－4x＋4)÷x－4x，并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值.22.对于分式方程x－3x－2＋1＝32－x，小明的解法如下：解：方程两边同乘(x﹣2)得x﹣3＋1＝﹣3①解得x＝﹣1②检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0③所以x＝﹣1是原分式方程的解.小明的解法有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.23.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支.(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？24.某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元(1)求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？(2)这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，预算金额不超过3000元.去到商场时恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果该学校此次需购买20个乙种足球，请问该学校购买这批足球所用金额是否会超过预算？参考答案1.C2.B3.A4.A5.B6.D7.D8.C.9.D10.D11.答案为：112.答案为：1a＋1.13.答案为：1.14.答案为：x－1 x＋1.15.答案为：54x＝540.9x﹣3.16.答案为：m＜6且m≠2.17.解：原式＝x＋1－1x＋1·（x＋1）（x－1）x＝xx＋1·（x＋1）（x－1）x＝x－1.18.解：原式=a ＋b a －b19.解：去分母，得x ＋1＝2x ﹣14，解得x ＝15经检验x ＝15是分式方程的解故原分式方程的解为x ＝15；20.解：去分母，得2＋x(x ＋2)＝x 2﹣4解得x ＝﹣3检验：当x ＝﹣3时，(x ＋2)·(x ﹣2)≠0故x ＝﹣3是原方程的根.21.解：原式＝＝1（x －2）2. ∵⎩⎨⎧x ≠0，x －2≠0，x －4≠0，∴⎩⎨⎧x ≠0，x ≠2，x ≠4，∴当0≤x ≤4时，可取的整数为x ＝1或x ＝3.当x ＝1时，原式＝1；当x ＝3时，原式＝1.22.解：有错误，错在第①步，正确解法为：方程两边同乘(x ﹣2)得x ﹣3＋x ﹣2＝﹣3解得x ＝1经检验x ＝1是分式方程的解所以原分式方程的解是x ＝1.23.解：(1)设第一次每支铅笔进价为x 元根据题意列方程得，﹣＝30，解得x ＝4经检验：x ＝4是原分式方程的解.答：第一次每支铅笔的进价为4元.(2)设售价为y 元，第一次每支铅笔的进价为4元则第二次每支铅笔的进价为4×54＝5元根据题意列不等式为：×(y﹣4)＋×(y﹣5)≥420，解得y≥6.答：每支售价至少是6元.24.解：(1)设购买一个甲种足球需要x元=×2，解得，x=50经检验，x=50是原分式方程的解∴x+20=70即购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；(2)设这所学校再次购买了y个乙种足球70(1﹣10%)y+50(1+10%)(50﹣y)≤3000解得，y≤31.25∴最多可购买31个足球所以该学校购买这批足球所用金额不会超过预算.。
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分式总复习【知识精读】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。
如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用ABABA MB MMABA MB MMx xA B B=⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()5113【分类解析】1. 分式有意义的应用例1. 若ab a b +--=10,试判断1111a b -+，是否有意义。
分析：要判断1111a b -+，是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11，与零的关系。
解: ab a b +--=10∴+-+=a b b ()()110即()()b a +-=110∴+=b 10或a -=10∴-+1111a b ，中至少有一个无意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2． 计算:a a a a a a 2211313+-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。
解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313=-+-+-=-+--=--+++-=--+-a a a a a a a a a a a a a 1113111331132213()()()()()()()例3． 解方程:11765556222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。
由于x x x x x x x x x x 222225556561561156-+-+=-+--+=--+故可得如下解法。
解: x x x x x x 222561561156-+--+=--+ 原方程变为1176115622-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156765602222x x x x x x x x x经检验，x =0是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用例4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b abb a -++-÷+-++的值。
分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、ｂ的值,又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。
解：由已知得a b -=-=3010，，解得a b ==31，原式=+-++-÷+-++[()()()]()42222a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a=---+÷-+-++=---+⋅+-++=-++[()()()]()()()()()()()a b ab a b a b a b ab b ab a b b aa b ab a b a b ab a b a b a b b aa b a b222222221 把a b ==31，代入得:原式=1124. 用方程解决实际问题例5． 一列火车从车站开出,预计行程4５０千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误３０分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解:设这列火车的速度为x 千米/时根据题意，得450312450312x x x=+-. 方程两边都乘以12x ，得540042450030=+-x x解得x =75经检验，x =75是原方程的根 答：这列火车原来的速度为75千米/时。
5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例6． 已知x y y =+-2332,试用含x 的代数式表示y,并证明()()323213x y --=。
解：由x y y =+-2332,得3223xy x y -=+ ∴-=+∴-=+∴=+-322332232332xy y x x y x y x x ()()()()()323233226964321332323213x y y y y y y x y -=+--=+-+-=-∴--= 6、中考原题:例1．已知M x y xy y x y x y x y 222222-=--+-+，则Ｍ＝＿____＿_＿__。
分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同,即可求出M 。
解: 2222xy y x yx y x y --+-+ =-+-+-=-=-222222222222xy y x xy y x y x x y Mx y ∴=M x 2例２.已知x x 2320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是_＿＿__＿___。
分析:先化简所求分式，发现把x x 23-看成整体代入即可求的结果。
解：原式=--+=-+--=-()()x x x x x x x 112113222x x x x 2232032--=∴-= ∴=-=原式x x 2327、题型展示：例１. 当x 取何值时，式子||x x x -++2322有意义？当x 取什么数时,该式子值为零? 解：由x x x x 232120++=++=()()得x =-1或-2所以，当x ≠-1和x ≠-2时，原分式有意义由分子||x -=20得x =±2当x =2时，分母x x 2320++≠当x =-2时,分母x x 2320++=，原分式无意义。
所以当x =2时，式子||x x x -++2322的值为零 例2. 求x m n x mn x m n x mn x m x n 222222---+--⋅--()()的值，其中x m n ===-2312。
分析:先化简,再求值。
解：原式=-++-⋅+-+-()()()()()()()()x m x n x m x n x m x m x n x n =--()()x m x n 22 x m n x m x n m n ===-∴===-=-2312231416，，，∴=--=--原式()()()()x m x n m m n n 222223 ==-⨯-=m n 2222414416916()()【实战模拟】1． 当ｘ取何值时，分式2111x x+-有意义？2. 有一根烧红的铁钉，质量是m ，温度是t 0，它放出热量Q 后,温度降为多少?（铁的比热为c ）3. 计算：x y y x y x y y x ++-+-242442222４. 解方程:x x x x x x x x ++-++=++-++21436587５． 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做，刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。
现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。
问规定日期是多少天？6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，,求x y z x y z+--+2的值。
【试题答案】1. 解:由题意得x x≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪0110 解得x ≠0且x ≠1∴当x ≠0且x ≠1时，原式有意义２. 解:设温度降为t,由已知得:Q mc t t t t Qmct t Qmc =--==-()000答：温度降为()t Q mc0-。
3. 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。
因此灵活运用法则会给解题带来方便。
同时注意结果要化为最简分式。
解:原式=+-+-++-()()()()x y x y y x y x y y x y x 224242222 =--+-=+-+-=-+-=+x x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y2232222242224222222()()()()()()()4. 解：原方程化为111113115117++--+=++--+x x x x ∴+-+=+-+11131517x x x x 方程两边通分,得213257()()()()x x x x ++=++ ∴++=++()()()()x x x x 5713化简得832x =-解得x =-4经检验:x =-4是原方程的根。
说明:解分式方程时,在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法,减少繁琐计算。
5. 分析：设规定日期是x 天,则甲的工作效率为1x,乙的工作效率为13x +，工作总量为1 解：设规定日期为x 天根据题意，得2113231()x x x x +++-+=解得x =6经检验x =6是原方程的根答：规定日期是6天。
6. 解： 436012702x y z x y z --=++=()()， 由(１)(2）解得x zyz ==⎧⎨⎩32∴+--+=+--+=x y z x y z z z zz z z 23232243。