2018-2019年陕西省西安市高新一中中考数学1模试卷(无答案)
陕西省西安市高新第一中学18年-19年学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
高新第一中学高一年级期中考试数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）．A ．2y =B ．3y =C ．y =D ．2x y x=【答案】B【解析】解：y x =的定义域为R ，对应法则是“函数值与自变量相等”．选项A ：,0||,0x x y x x x ⎧===⎨-<⎩≥；选项B ：2x y x =的定义域为{}|0x x ≠；选项C ：y x ==；选项D ：2y =的定义域为[0,)+∞． 故选B ．2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤【答案】A【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数()f x kx b =+在R 上是减函数，0k <． 故选A ．3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】解：∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，∴{}4A =，{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}1,2,4，{}1,3,4，{}2,3,4，{}1,2,3,4， 则集合A 的个数为8．故选B ．4．函数2()=1f x x -在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）．A ．83B ．43C ．23D ． 1【答案】B【解析】解：∵2()log f x x =在区间[2,2]a 上为单调增函数， 由题可得：221log (2)log 22a -=， ∴221log 22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴a =，点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性． （2）利用定义判断函数的单调性． （3）求导得函数单调性． 故选B ．5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】解：6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(,8][2,)-∞--+∞D ．(,2][8,)-∞+∞【答案】D【解析】解：二次函数2()28f x x kx =--的对称轴为4kx =， ∵函数2()28f x x kx =--在区间[1,2]上不单调， ∴124k<<，得48k <<． 故选B ．7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）．A ．有最大值4B ．有最小值4-C ．有最大值3-D ．有最小值3-【答案】B【解析】解：由于()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，则()f x 在(,0)-∞上也是减函数，在区间[,](0)a b a b <<上的最小值为3-，最大值为4，由于区间[,]b a --与[,]a b 对称，则可知()f x 在[,]b a --上最大值为3，最小值为4-． 借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示：8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。
2019年高新一中第一次中考模拟试题(卷)
2019年高新一中第一次中考模拟试题（卷）一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1.下列各数中比﹣1小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12.如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是（）A．B．C．D．3.如图AB∥CD,点E是CD上一点,EF平分∠AED交AB于点F,若∠AEC＝42°,则∠AFE的度数为（）A．42°B．65°C．69°D．71°4.已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1,﹣3）,则此正比例函数的关系式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．5.下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．2a+3a2＝5a3 D．6.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cos A＝,AE＝3,则tan∠DBE的值是（）A．B．2 C．D．7.在平面直角坐标系中,将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后,得到直线l2：y＝﹣2x+4,则下列平移作法正确的是（）A．将l1向右平移3个单位长度B．将l1向右平移6个单位长度C．将l1向上平移2个单位长度D．将l1向上平移4个单位长度8.如图所示,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH＝3,EF＝4,那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：39.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD垂直相交于点E,连结AC,OC,若∠A＝30°,OC＝4,则弦CD的长是（）A．B．4 C．D．810．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0,m）、（4,m）和（1,n）,若n＜m,则（）A．a＞0且4a+b＝0 B．a＜0且4a+b＝0 C．a＞0且2a+b＝0 D．a＜0且2a+b＝0 二、填空题（本大题共4小题,每小题3分,共12分）11．分解因式：x3﹣xy2＝．12．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB＝,则CD＝．第12题图第13题图13．如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO＝∠ADB＝90°,反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差为．14．如图,点A是直线y＝﹣x上的动点,点B是x轴上的动点,若AB＝2,则△AOB面积的最大值为．三、解答题（共11小题,共78分,解答题写出过程）15.（本题满分5分）计算：．16.（本题满分5分）解方程：＝﹣.17.（本题满分5分）如图,△ABC中,AB＝AC,请你利用尺规在BC边上求一点P,使△ABC∽△P AC（不写画法,保留作图痕迹）18.（本题满分5分）已知：如图,D是AC上一点,AB＝DA,DE∥AB,∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．19.（本题满分7分）某地区八年级期末将对学生进行身体素质统一测试（满分为100分）．某校为了率先了解学生的身体素质情况,在八年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试,并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据,回答下面问题：（1）计算样本中,成绩为98分的学生有人,并补全条形统计图；（2）若该校八年级共有2000名学生,根据此次模拟成绩估计该校八年级身体素质测试将有多少名学生可以获得满分．20.（本题满分7分）如图所示,某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是68°,求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米,参考数据：sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86）21.（本题满分7分）“低碳生活,绿色出行”,共享单车已经成了很多人出行的主要选择,今年1月份,“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆．（1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同,3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率．（2）考虑到共享单车市场竞争激烈,摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A,B两种规格的自行车100辆,且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆,B型车进价为700元/辆,设购进A 型车m辆,求出m的取值范围．（3）已知A型车每月产生的利润是100元/辆,B型车每月产生的利润是90元/辆,在（2）的条件下,求公司每月的最大利润．22.（本题满分7分）车辆经过某市收费站时,可以在4个收费通道A、B、C、D中,可随机选择其中的一个通过．（1）车辆甲经过此收费站时,选择A通道通过的概率是；（2）若甲、乙两辆车同时经过此收费站,请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率．23.（本题满分8分）如图,△ABC中,AB＝AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE,求tan C．24.（本题满分10分）我们定义：两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣,y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？（3）如图,二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A,点B、C分别在L1、L2上,点B,C的横坐标均为m（0＜m＜2）,它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′,C′,连结BB′,B′C′,C′C,CB．①若a＝3,且四边形BB′C′C为正方形,求m的值；②若m＝1,且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2,直接写出a的值．25.（本题满分12分）（1）如图(1),在四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°,则四边形ABCD 的面积为；问题探究：（2）如图(2),在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=135°,AB=2,BC=3,在AD、CD上分别找一点E、F,使得△BEF的周长最小,并求出△BEF的最小周长；（3）如图(3),在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=10,∠ABC=150°,∠BCD=90°,则在四边形ABCD内(包含共边沿)是否存在一点E,使得∠AEC=30°,且使四边形ABCE的面积最大。
【全国百强校】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高一第一学期期中考试数学试题
……外…………○…………装……学校:___________姓名：___……内…………○…………装……绝密★启用前陕西省西安市高新一中2018-2019学年高一第一学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={−1,0,1,2}，集合B ={y|y =2x −3,x ∈A}，则A ∩B =（ （ A ． {−1,0,1} B ． {−1,1} C ． {−1,1,2} D ． {0,1,2}2．集合{}|0 2 A x x =≤≤， {}|1 2 B y y =≤≤，下图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．方程 log 4x +x =7 的解所在区间是（ （ A ． (1,2) B ． (3,4) C ． (5,6) D ． (6,7)4．由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象函数不一定具有的性质是( ) A ． 在x 轴上截得的线段的长度是2 B ． 与y 轴交于点（0,3） C ． 顶点是(−2,−2) D ． 过点(3,0)5．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是( )A ． 0,10（）B ．C ．D ． 6．若0<a <b <1，则a b ,log b a,log 1ab 的大小关系为（ ）A ． a b >log b a >log 1ab B ． a b >log 1ab >log b aC ． log b a >log 1ab >a b D ． log b a >a b >log 1ab7．函数f (x )=x 2−1x +1的零点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 38．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=−f (x )，当x ∈[0,1]时 f (x )=2x −1，则（ ）A ． f (6)<f (−7)<f (112) B ． f (6)<f (112)<f (−7) C ． f (−7)<f (112)<f (6) D ． f (112)<f (−7)<f (6)9当12x x ≠时，，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)={1−2x , x ∈[0,1)1−|x −3|, x ∈[1,+∞). ，则关于x 的函数F(x)=f(x)−a(0<a <1)的所有零点之和为（ （A ． 2a −1B ． 1−2−aC ． −log 2(1+a)D ． log 2(1−a)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．11．设25a b m==，且112a b+=，则m=.12．若集合P={x|x2+x−6=0},S={x|ax+1=0}，且S⊆P，则实数a的可能取值组成的集合是___________.13．已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2018)=_______.14．若函数f(x)=log a(2x2+x)(a>0且a≠1)在区间（0，12）内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为_________.三、解答题15．已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x<1}.（1）分别求A∩B，(C R B)∪A；（2（已知集合C={x|a<x<a+1},若A∩C=C，求实数a的取值范围.16．计算：（1）823−(−78)+√(3−π)44+[(−2)6]12．（2）lg2−lg14+3lg5−log32⋅log49．17．已知函数f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R上的奇函数.（1）判断并证明f(x)在(−∞,+∞)上的单调性.（2）若对任意实数t,不等式f(kt2−kt)+f(2−kt)<0恒成立，求实数k的取值范围18．已知函数f(x)=(13)x.（1）当x∈[−1,1]时，求函数y=[f(x)]2−2af(x)+3的最小值g(a)；（2）在（1）的条件下，师傅是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m]，值域为[n2,m2]？若存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由.19．已知函数f(x)=x2−2ax+5(a∈R).（1）当a>1时，若g(x)=2x+log2(x+1)，且对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x)=g(x)成立，求实数a的取值范围；（2）当f (x )<(1−a )(x 2+x )+4时，求x 的取值范围. 20．当x >0时，求函数f (x )=(x+1x )4−(x 4+1x 4)(x+1x )3−(x 3+1x3)的最小值.21．设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a ≠0)满足条件： （1）当x ∈R 时f (x −4)=f (2−x )，且f (x )≥x ； （2）当x ∈(0,2)时，f (x )≤(x+12)2；（3）f (x )在R 上的最小值为0.求最大的m （m>1）,使得存在t ∈R ,只要x ∈[1,m ]，就有f (x +1)≤x参考答案1．B 【解析】 【分析】首先化简集合B 得B ={−5,−3,−1,1}，根据交集运算定义可得结果。
陕西省西安市高新一中2018_2019学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
2018-2019学年第一学期期中考试2021届高一数学试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先化简集合B得，根据交集运算定义可得结果。
【详解】集合B可化简为，所以，答案选B。
【点睛】本题考查了集合的化简，以及交集运算，属于基础题。
2.集合，，下图中能表示从集合到集合的映射的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在A中，当时，，所以集合到集合不成映射，故选项A不成立；在B中，时，，所以集合到集合不成映射，故选项B不成立；在C中时，任取一个值，在内，有两个值与之相对应，所以构不成映射，故选C不成立；在D中，时，任取一个值，在内，总有唯一确定的一个值与之相对应，故选项D成立．故选D3.方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．【详解】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数. ∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.4.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。
根据现有信息,题中的二次函数不一定具有的性质是( )A. 在x轴上截得的线段的长度是2B. 与y轴交于点（0,3）C. 顶点是(−2,−2)D. 过点(3,0)【解析】【分析】本题是条件开放题，根据已知点（1，0）和对称轴x=2，根据抛物线的对称性，探求二次函数的性质．【详解】A、抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；B、图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2时，图象必过（3，0）点，代入求得解析式即可得出与y轴的交点可以是（0，3），正确．C、顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；D、因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；故答案为：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称，函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在同一图象上．5.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵偶函数在内单调递减，∴在内单调递增，则不等式等价于，∴或∴或，∴不等式的解集是，故选D.点睛：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题；由于偶函数在内单调递减故在内单调递增，利用函数的性质可得等价于，从而解得的范围.6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．详解：∵0＜a＜b＜1，a b∈（0，1），log b a＞log b b=1，z=logb＜0，则的大小关系为．故选：D．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7.函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】令f(x)=0得=0，所以，再作出函数的图像得解.【详解】令f(x)=0得=0，所以，再作出函数的图像,由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.9.已知函数当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．10.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知：，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.设，且，则 .【答案】【解析】试题分析：．考点：指数式与对数式的综合运算．12.若集合，且，则实数a的可能取值组成的集合是___________.【答案】【解析】【分析】应先将集合P化简，又S⊆P，进而分别讨论满足题意的集合S，从而获得问题的解答. 【详解】由已知P={﹣3，2}．当a=0时，S=∅，符合S⊆P；当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=﹣．为满足S⊆P，可使﹣=﹣3或﹣=2，即：a=，或a=﹣．故所求的集合为{0，，﹣}．故答案为：【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题．在解答的过程当中充分体现了集合元素的特性、分类讨论的思想．13.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则_______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故答案为：2【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14.若函数在区间（0，）内恒有，则的单调递增区间为_________.【答案】(－∞，－)【解析】因为函数f(x)＝(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合.（1）分别求，；（2）已知集合求实数a的取值范围.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）先化简集合A和B,再求，. (2)由得，可得,解不等式即得.【详解】(1)由3⩽3x⩽27,即3⩽3x⩽33,∴1⩽x⩽3,∴A=[1,3].由log2x<1,可得0<x<2,∴B=(0,2).∴A∩B=[1,2).所以=.（2）由得，可得解得.综上所述：a的取值范围是 .【点睛】本题主要考查集合的化简与运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.计算：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出．【详解】（1）．（2）．【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.已知函数是定义在R上的奇函数.（1）判断并证明在上的单调性.（2）若对任意实数t,不等式恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用函数的奇偶性求出，判断f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，再利用函数单调性的定义证明函数在上的单调递减.（2）先化简不等式为f(kt2−kt)<−f(2−kt)=f(kt−2)，再利用函数的单调性得kt2−kt>kt−2，再分析得解.【详解】(1)由于定义域为R的函数是奇函数，则,解得，经检验成立；判断函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数。
2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷(解析版)
2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．实数的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．（﹣x）5＝﹣x5C．x3•x2＝x6D．3x2+2x3＝5x54．如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（）A．20°B．35°C．45°D．70°5．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（）A．16B．14C．12D．67．已知一次函数y＝kx+3和y＝k1x+5，假设k＜0且k1＞0，则这两个一次函数的图象的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若点M在AD边上，连接MO并延长交BC边于点M′，连接MB，DM′，则图中的全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对9．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB 互余，则EB的长是（）A．2B．4C．D．210．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（）A．a＞0且4a+b＝0B．a＜0且4a+b＝0C．a＞0且2a+b＝0D．a＜0且2a+b＝0二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．不等式1﹣2x＜6的负整数解是．12．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝．13．已知，直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）交于第一象限点C，若BC＝2AB，则S＝．△AOB14．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝6，BC＝3，则四边形的面积为．三、解答题（共11题，计78分，解答应写出过程）15．计算：2cos30°+﹣|﹣3|﹣（）﹣216．化简：（x﹣1﹣）÷．17．如图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC（不写画法，保留作图痕迹）18．在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A﹣国学诵读”、“B ﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果统计如下：（1）根据题中信息补全条形统计图．（2）所抽取的学生参加其中一项活动的众数是．（3）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A有多少人？19．如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE．求证：AF＝CE．20．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a 折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝，b＝；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？22．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．24．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0，2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M（1）求a的值，并写出点B的坐标；（2）有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，求t为何值时PA+PB最短；（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1，l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．25．（1）如图1，半径为2的圆O 内有一点P ，且OP ＝1，弦AB 过点P ，则弦AB 长度的最大值为 ；最小值为 ．（2）如图2，等腰△ABC ，AB ＝12，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，将△ABC 放在平面直角坐标系中，使点A 与坐标原点O 重合，点B 在x 轴的正半轴上，在x 轴上方是否存在点M ，使得∠AMB ＝60°，且S △AMB ＝S △ABC ？若存在，请确定M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，△ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中∠ABC ＝90°，AB ＝80米，BC ＝60米，现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔想建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足∠ADC ＝60°，你认为葛叔叔的想法能实现？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．2018年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1．实数的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】直接利用实数的性质和相反数的定义分析得出答案．【解答】解：实数的相反数是：﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．（﹣x）5＝﹣x5C．x3•x2＝x6D．3x2+2x3＝5x5【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．【解答】解：A、原式＝x6，故本选项错误；B、原式＝﹣x5，故本选项正确；C、原式＝x5，故本选项错误；D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（）A．20°B．35°C．45°D．70°【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝35°，∵CD∥OB，∴∠BOC＝∠C＝35°，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣3），∴﹣3＝k即k＝﹣3，∴该正比例函数的解析式为：y＝﹣3x．故选：B．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（）A ．16B ．14C ．12D ．6【分析】根据等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵点E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ＝AC ＝．∵△CDE 的周长为21，∴CD ＝6，∴BC ＝2CD ＝12．故选：C ．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．7．已知一次函数y ＝kx +3和y ＝k 1x +5，假设k ＜0且k 1＞0，则这两个一次函数的图象的交点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析】根据一次函数的性质作出两个函数的大体图象，依据图象即可判断．【解答】解：∵k ＜0，∴一次函数y ＝kx +3经过第一、二、四象限；∵k 1＞0，∴y ＝k 1x +5经过第一、二、三象限．则两个函数的大体图象是：则两个一次函数的图象交点在第二象限．故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，即可取出两个一次函数的图象交点8．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若点M在AD边上，连接MO并延长交BC边于点M′，连接MB，DM′，则图中的全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，由全等三角形的判定依次可证△ABD≌△CDB，△MOD≌△M'OB，△MOB≌△M'OD，△BMD≌△DM'B，△MBM'≌△M'MD，Rt△ABM≌Rt△CDM'．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC∴△ABD≌△CDB（SAS）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC，且BO＝DO，∠MOD＝∠M'OB∴△MOD≌△M'OB（ASA）∴MO＝M'O，MD＝BM'，∵MO＝M'O，BO＝DO，∠BOM＝∠DOM'，∴△MOB≌△M'OD（SAS）∴BM＝DM'，且BD＝BD，DM＝BM'∴△BMD≌△DM'B（SSS）∵BM＝DM'，且DM＝BM'，MM'＝MM'∴△MBM'≌△M'MD（SSS）∵AB＝CD，BM＝DM'∴Rt△ABM≌Rt△CDM'（HL）综上所述：共6组全等三角形，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．9．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．2B．4C．D．2【分析】先根据垂径定理得出AB⊥CD，再由∠A与∠DOB计算∠DOB＝60°，根据直角三角形30度角的性质可得OD和OE的长，从而得结论．【解答】解：∵直径AB平分弦CD，CD不是直径，∴AB⊥CD，∴∠DOB＝2∠A，∵∠A与∠DOB互余，∴∠DOB＝60°，∵CD＝4，∴ED＝CD＝2，∴OE＝2，OD＝4，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（）A．a＞0且4a+b＝0B．a＜0且4a+b＝0C．a＞0且2a+b＝0D．a＜0且2a+b＝0【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则b+4a＝0，然后利用x ＝1，y＝n，且n＜m可确定抛物线的开口向上，从而得到a＞0．【解答】解：∵点（0，m）、（4，m）为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即﹣＝2，∴b+4a＝0，∵x＝1，y＝n，且n＜m，∴抛物线的开口向上，即a＞0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．不等式1﹣2x＜6的负整数解是﹣2，﹣1．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可．【解答】解：1﹣2x＜6，移项得：﹣2x＜6﹣1，合并同类项得：﹣2x＜5，不等式的两边都除以﹣2得：x＞﹣，∴不等式的负整数解是﹣2，﹣1，故答案为：﹣2，﹣1．【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．12．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°＝0.5．【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．【解答】解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．故答案为0.5．【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．13．已知，直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）交于＝．第一象限点C，若BC＝2AB，则S△AOB【分析】根据题意可以设出点C的坐标，从而可以得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积，本题得以解决．【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）交于第一象限点C，BC＝2AB，∴设点C的坐标为（c，），则OA＝c，OB＝×＝，＝•OA•OB＝×c×＝．∴S△AOB故答案为．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，解答本题的关键是用点C的横坐标正确表示出OA与OB的长．14．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝6，BC＝3，则四边形的面积为．【分析】连接AC，作CH⊥AB交AB的延长线于点H，根据直角三角形的性质求出BH，根据勾股定理求出CH，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC，作CH⊥AB交AB的延长线于点H，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝，由勾股定理得，CH＝＝，AC＝＝，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴四边形ABCD的面积＝×AB×CH+×AC×AC＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．三、解答题（共11题，计78分，解答应写出过程）15．计算：2cos30°+﹣|﹣3|﹣（）﹣2【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．化简：（x﹣1﹣）÷．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝×＝【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．如图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC（不写画法，保留作图痕迹）【分析】以AC为边、点A为顶点，作一个角等于∠B，角的另一条边与BC的交点即为所求．【解答】解：如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及作一个角等于已知角的尺规作图．18．在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A﹣国学诵读”、“B ﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果统计如下：（1）根据题中信息补全条形统计图．（2）所抽取的学生参加其中一项活动的众数是A﹣国学诵读．（3）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A有多少人？【分析】（1）由C项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以B的百分比求得B项目的人数，继而根据各项目的人数之和等于总人数求得D的人数即可补全图形；（2）根据众数的定义求解可得；（3）总人数乘以样本中A项目人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为12÷20%＝60（人），∴B项目人数为60×15%＝9，则D项目人数为60﹣（27+9+12）＝12（人），补全条形图如下：（2）由条形图知，A项目的人数最多，由27人，所以所抽取的学生参加其中一项活动的众数是A﹣国学诵读，故答案为：A﹣国学诵读；（3）估算全校学生希望参加活动A有800×＝360（人）．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE．求证：AF＝CE．【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE＝CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．20．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a 折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝6，b＝8；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【分析】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．【解答】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，∴a＝×10＝6；由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，∴b＝×10＝8；（2）设y1＝k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），∴10k1＝480，∴k1＝48，∴y1＝48x；0≤x≤10时，设y2＝k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k2＝800，∴k2＝80，∴y2＝80x，x＞10时，设y2＝kx+b，∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2＝64x+160；∴y2＝；（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040，解得n＝20（不符合题意舍去），当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040，解得n＝30，则50﹣n＝50﹣30＝20．答：A团有20人，B团有30人．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．22．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0，2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M（1）求a的值，并写出点B的坐标；（2）有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，求t为何值时PA+PB最短；（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1，l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，点P即为所求．（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+3．想办法用m表示点C的坐标，分两种情形，利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）把A（0，2）代入抛物线的解析式可得，2＝a+3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线的顶点B坐标为（1，3）．（2）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，点P即为所求．∵A′（0，﹣2），B（1，3），∴直线A′B的解析式为y＝5x﹣2，∴P（，0），∴t＝＝时，PA+PB最短（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+3．由，解得x＝，∴点C的横坐标，∵MN＝m﹣1，四边形MDEN是正方形，∴C（，m﹣1），把点C的坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+3，得到m ﹣1＝﹣+3，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴移后抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+3．当点C 在x 轴下方时，C （，1﹣m ），把点C 的坐标代入y ＝﹣（x ﹣1）2+3，得到1﹣m ＝﹣+3，解得m ＝7或﹣1（舍弃），∴移后抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）2+3．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、正方形的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 25．（1）如图1，半径为2的圆O 内有一点P ，且OP ＝1，弦AB 过点P ，则弦AB 长度的最大值为 4 ；最小值为 ．（2）如图2，等腰△ABC ，AB ＝12，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，将△ABC 放在平面直角坐标系中，使点A 与坐标原点O 重合，点B 在x 轴的正半轴上，在x 轴上方是否存在点M ，使得∠AMB ＝60°，且S △AMB ＝S △ABC ？若存在，请确定M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，△ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中∠ABC ＝90°，AB ＝80米，BC ＝60米，现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔想建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足∠ADC ＝60°，你认为葛叔叔的想法能实现？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．【分析】（1）当AB 为直径时，弦最长；当OP ⊥AB 时，AB 最短，用垂径定理求解即可； （2）以C 为圆心，OC 长为半径作⊙C ，过C 作x 轴的平行线交⊙C 于M 1，M 2，点M 1，M 2即为所求的点；（3）由题意，AC ＝100，∠ADC ＝60°，即点D 在优弧ADC 上运动，当点D 运动到优弧ADC 的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD 为等边三角形，计算出△ADC 的面积和AD 的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【解答】解：（1）如图①，当OP ⊥AB 时，AB 最短，连接OB ，∵OP ＝1，OB ＝2，∴BP ＝，∴AB ＝2BP ＝， 当AB 为直径时，弦最长，为4，故答案为：4，（2）如图②，作CH ⊥AB 于H ，∵AB ＝12，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，∴∠COB ＝30°，OH ＝BH ＝， ∴OH ＝6，OC ＝12，以C 为圆心，OC 长为半径作⊙C ，过C 作x 轴的平行线交⊙C 于M 1，M 2，则∠OMB ＝∠OCB ＝60°，且S △AMB ＝S △ABC ，∴点M 1，M 2符合题意，∵点C 的坐标为（，6），∴存在点M ，坐标为M 1（，6），M 2（，6） （3）如图③，∵∠ABC ＝90°，AB ＝80米，BC ＝60米，∴AC ＝米，作△AOC ，使得∠AOC ＝120°，OA ＝OC ，以O 为圆心，OA 长为半径画⊙O ， ∵∠ADC ＝60°，∴点D 在优弧ADC 上运动，当点D 是优弧ADC 的中点时，四边形ABCD 面积和周长取得最大值，连接DO 并延长交AC 于H ，则DH ⊥AC ，AH ＝CH ，∴DA ＝DC ，∵∠ADC ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD ＝CD ＝100，∵AH＝CH＝50，∴DH＝，∴这个四边形鱼塘面积最大值为（平方米）；这个四边形鱼塘周长的最大值为100+100+60+80＝340（米）．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，构造辅助圆是解决本题的关键．。
陕西省西安市高新一中2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年中考数学一模试卷一．选择题（共10小题）1．下列各数中比﹣1小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．12．如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（）A．B．C．D．3．如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则∠AFE 的度数为（）A．42°B．65°C．69°D．71°4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．5．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n26．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2 C．D．7．直线y＝2x+1向右平移得到y＝2x﹣1，平移了（）个单位长度．A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：39．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB 互余，则EB的长是（）A．2B．4 C．D．210．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（）A．a＞0且4a+b＝0 B．a＜0且4a+b＝0C．a＞0且2a+b＝0 D．a＜0且2a+b＝0二．填空题（共4小题）11．分解因式：x3﹣xy2＝．12．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB ＝，则CD＝．13．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为．14．如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为．三．解答题（共11小题）15．计算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．16．解分式方程：．17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．18．已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．19．西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：（1）计算样本中，成绩为98分的学生有分，并补全条形统计图．（2）样本中，测试成绩的中位数是分，众数是分．（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．20．小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上測量的数据，计算电线杆PQ的高度（结果精确到1米，参考数据＝1.7，＝1.4）．21．“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择．（1）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B 型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围；（2）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（1）的条件下，求公司每月的最大利润．22．车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为；（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan C．24．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你写出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2）它们关于L1的对称轴的对称点分别为B，C，连接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值．25．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC ＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE 的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各数中比﹣1小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．1【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；B、﹣1＝﹣1，故B错误；C、﹣＞﹣1，故C错误；D、1＞﹣1，故D错误；故选：A．2．如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．【解答】解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，故选：C．3．如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则∠AFE 的度数为（）A．42°B．65°C．69°D．71°【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．【解答】解：∵∠AEC＝42°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，∵EF平分∠AED，∴∠DEF＝∠AED＝69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°．故选：C．4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣3），∴﹣3＝k即k＝﹣3，∴该正比例函数的解析式为：y＝﹣3x．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2【分析】结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本选项错误；B、（﹣b2）3＝﹣b6，故本选项正确；C、2x•2x2＝4x3，故本选项错误；D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误．故选：B．6．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2 C．D．【分析】在直角三角形ADE中，cos A＝，求得AD，再求得DE，即可得到tan∠DBE＝．【解答】解：设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t﹣2．∵cos A＝，∴．∴＝．∴t＝5．∴BE＝5﹣3＝2，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝2，故选：B．7．直线y＝2x+1向右平移得到y＝2x﹣1，平移了（）个单位长度．A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：∵将直线y＝2x+1平移后，得到直线y＝2x﹣1，∴2（x+a）+1＝2x﹣1，解得：a＝﹣1，故向右平移1个单位长度．故选：C．8．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出Rt△AHE≌Rt△CFG，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A．9．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB 互余，则EB的长是（）A．2B．4 C．D．2【分析】先根据垂径定理得出AB⊥CD，再由∠A与∠DOB计算∠DOB＝60°，根据直角三角形30度角的性质可得OD和OE的长，从而得结论．【解答】解：∵直径AB平分弦CD，CD不是直径，∴AB⊥CD，∴∠DOB＝2∠A，∵∠A与∠DOB互余，∴∠DOB＝60°，∵CD＝4，∴ED＝CD＝2，∴OE＝2，OD＝4，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，故选：D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（）A．a＞0且4a+b＝0 B．a＜0且4a+b＝0C．a＞0且2a+b＝0 D．a＜0且2a+b＝0【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则b+4a＝0，然后利用x＝1，y＝n，且n＜m可确定抛物线的开口向上，从而得到a＞0．【解答】解：∵点（0，m）、（4，m）为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即﹣＝2，∴b+4a＝0，∵x＝1，y＝n，且n＜m，∴抛物线的开口向上，即a＞0．故选：A．二．填空题（共4小题）11．分解因式：x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．故答案为：x（x+y）（x﹣y）．12．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝﹣1 ．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．13．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为 3 ．【分析】根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，设OC＝a，BD ＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2﹣b2＝6，再根据三角形的面积即可得出△OAC与△BAD的面积之差．【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC＝AC，AD＝BD．设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝6，∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝3．故答案为：3．14．如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为+1 ．【分析】作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，连接OD，则OD≤OC+CD，依据当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，即可得到△AOB的面积最大值．【解答】解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，由题可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，连接OD，则OD≤OC+CD，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，此时OD⊥AB，∴△AOB的面积最大值为AB×OD＝×2（+1）＝+1，当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时，同理可得，△AOB面积的最大值为﹣1（舍去）．故答案为：+1．三．解答题（共11小题）15．计算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．【分析】根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣4+1+|1﹣2×|＝﹣3+﹣1＝﹣4．16．解分式方程：．【分析】分式方程变形后去分母得到整式方程，解之，经检验即可得到答案．【解答】解：原方程可整理得：﹣1＝，去分母得：3﹣（x﹣3）＝﹣1，去括号得：3﹣x+3＝﹣1，移项得：﹣x＝﹣1﹣3﹣3，合并同类项得：﹣x＝﹣7，系数化为1得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的解．17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】作出AB的垂直平分线，可得BP＝AP，则∠PBA＝∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC．【解答】解：如图所示：点P即为所求，此时△BPA∽△BAC．18．已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC＝AE．19．西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：（1）计算样本中，成绩为98分的学生有14 分，并补全条形统计图．（2）样本中，测试成绩的中位数是98 分，众数是100 分．（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数；（2）根据中位数和众数的定义可得；（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得．【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）＝14（人），补全统计图如下：故答案为：14；（2）本次测试成绩的中位数为＝98分，众数100分，故答案为：98，100；（3）∵2000×＝800，∴估计该校九年级中考综合速度测试将有800名学生可以获得满分．20．小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上測量的数据，计算电线杆PQ的高度（结果精确到1米，参考数据＝1.7，＝1.4）．【分析】设QH＝x米，根据正切的定义分别用x表示出DH、PH，根据题意列式求出x，求出电线杆PQ的高度．【解答】解：设QH＝x米，由题意得，∠PDH＝60°，∠QDH＝30°，∴∠DPH＝30°，在Rt△QDH中，tan∠QDH＝，则DH＝＝＝x，在Rt△PDH中，tan∠PDH＝，则PH＝＝3x，∵∠PCH＝45°，∴CH＝PH，即6+x＝3x，解得，x＝3+，则PQ＝3x﹣x＝2x＝6+2≈9，答：电线杆PQ的高度约为9米．21．“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择．（1）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B 型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围；（2）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（1）的条件下，求公司每月的最大利润．【分析】（1）设购进A型车m辆，则购买B型车（100﹣m）辆，根据A型车不超过60辆且购买资金不超过60000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）设公司每月的利润为w元，根据总利润＝每辆的月利润×数量，即可得出w关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进A型车m辆，则购买B型车（100﹣m）辆，依题意，得：，解得：50≤m≤60．答：m的取值范围为50≤m≤60．（2）设公司每月的利润为w元，依题意，得：w＝100m+90（100﹣m）＝10m+9000．∵10＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m＝60时，w取得最大值，最大值为9600．答：公司每月的最大利润为9600元．22．车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为；（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：，（2）设两辆车为甲，乙，画树状图得：由树状图可知：两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan C．【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）由AC＝3AE可得AB＝AC＝3AE，EC＝4AE；连结BE，由AB是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．【解答】解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE＝＝2AE，在Rt△BEC中，tan C＝＝＝．24．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你写出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2）它们关于L1的对称轴的对称点分别为B，C，连接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值．【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数即可；（2）根据二次函数L1的解析式找出其友好同轴二次函数L2的函数解析式，代入a＝3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B′、C′的坐标，进而可得出BC、BB′的值，由正方形的性质可得出BC＝BB′，即关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出结论．【解答】解：（1）∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．25．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为3；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC ＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE 的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可证△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，可求AB＝BC＝，即可求四边形ABCD的面积；（2）由轴对称的性质可得BE＝EM，AB＝AM＝2，BF＝FN，BC＝CN＝3，可得△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，由勾股定理可求MN的长，即可得△BEF的最小周长；（3）由圆的内接四边形性质可得∠AEC＝30°，由矩形的性质可得BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，由勾股定理可得CE＝4+2＝AE，由当点E在AC的垂直平分线上时，S最大，即可求四边形ABCE的最大面积．四边形ABCE【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°∴△ABD≌△CBD（SAS）∴∠ADB＝∠CDB，且∠ADC＝60°∴∠ADB＝∠CDB＝30°，且∠BAD＝∠BCD＝90°∴AB＝BC＝∴四边形ABCD的面积＝2××3×＝3故答案为：3（2）如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD于点E，交CD于点F，过点M作MG⊥BC，交CB的延长线于点G，∵点B，点M关于AD对称∴BE＝EM，AB＝AM＝2，∴BM＝4∵点B，点N关于CD对称∴BF＝FN，BC＝CN＝3∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，且GM⊥BG，∴∠GBM＝∠GMB＝45°∴BG＝GM，且BG2+GM2＝BM2，∴BG＝4＝GM，∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2∴△BEF的最小周长为2（3）作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，∵四边形ABCE是圆内接四边形∴∠ABC+∠AEC＝180°∴∠AEC＝30°，∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形BCMN是矩形∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠ABN＝60°，且BN⊥AM∴∠BAN＝30°，∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝∴AM＝+2，CM＝1∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE∴点E在AC垂直平分线上，∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC长度是定值，点E在△ABC的外接圆上，∴当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大∴S四边形ABCE＝S四边形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4。
陕西省西安市高新第一中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析
陕西省西安市高新第一中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和S n中（）A．前6项和最小B．前7项和最小C．前6项和最大D．前7项和最大参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需a n≥0，进而求得n的范围．【解答】解：由等差数列求和公式S7=7×11+，d=35可得d=﹣2，则a n=11+（n﹣1）×（﹣2）=13﹣2n，要使前n项和最大，只需a n≥0即可，故13﹣2n≥0，解之得n≤6.5，故前6项的和最大．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用．考查了学生对等差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用．2. 已知集合，则下列结论正确的是A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由于，因此，故答案为C.考点：1、元素与集合的关系；2、集合间的并集、交集3. 双曲线的实轴长是（Ａ）２（Ｂ）（Ｃ）４（Ｄ）参考答案：C本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属简单题.双曲线方程可变为，所以,。
故选C.4. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是 A. 线段 B. 直线的一部分 C. 点 D. 圆锥曲线参考答案：B略5. 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为（）A．B．C． D．参考答案：D略6. 已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是A． B．C． D．参考答案：C略7. 已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），则方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为（）A．0 B．﹣2 C．﹣8 D．8参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断函数f（x）的周期为2，从而化简可得f（x）﹣2=，作函数f（x）﹣2与y=在[﹣3，3]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函数f（x）的周期为2，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，作函数y=f（x）﹣2与y=在[﹣3，3]上的图象如下，易知点A与点C关于原点对称，故方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为0，故选：A．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用．8. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 双曲线M:（a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B，点P为双曲线M上除A、B 外的一个动点，若且,则动点Q的运动轨迹为（）A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线参考答案：C略10. 若，则下列不等式中总成立的是（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．参考答案：12. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .参考答案：略13. 设全集合,集合,,则集合.参考答案：略14. 不等式的解集是.参考答案：{}试题分析：由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}.考点：不等式选讲，绝对值不等式.15. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．参考答案：38,12.【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体如图，利用表面积与体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图得到几何体如图，所以几何体的表面积=4×2×4+（2×1+1×1）×2=38，体积V=4×2×1+4×1×1=12．16. 锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是．参考答案：由正弦定理得，所以，即，所以，又由余弦定理得，所以，所以△的面积．17. 函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为．参考答案：6【考点】正弦函数的图象．【分析】直接利用周期公式，即可得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为T==6，故答案为6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018-2019学年陕西省西安市高新一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年陕西省西安市高新一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x −x 2≤0}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤0}B. {x|−1<x ≤0或x =1}C. {x|0≤x <1}D. {x|0≤x ≤1} 【答案】A【解析】解：集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x −x 2≤0}={x|x(x −1)≥0}={x|x ≤0或x ≥1}， 则A ∩B ={x|−1<x ≤0}． 故选：A ．化简集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2. 设复数Z 满足z =|2+i|+2ii，则|z|=( )A. 3B. √10C. 9D. 10【答案】A【解析】解：满足z =|2+i|+2ii=−i(√5+2i)−i⋅i=2−√5i ，则|z|=√22+(−√5)2=3．故选：A ．利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知实数x 、y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0，若目标函数z =x 2+y 2的最大值和最小值分别为M 和N ，则MN =( )A. 3B. 5C. 4D. 72【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答此类题目的关键．由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】解：由实数x 、y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0得到可行域如图：目标函数z =x 2+y 2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值M ，最小值N ，由图得知，B 是距离原点最远的点，由{x +y =4x =1，解得x =1，y =3，可得B(1,3)， 所以目标函数z =x 2+y 2的最大值为12+32=10； M =10，由{x =1x =y得到A(1,1)， 所以目标函数z =x 2+y 2的最小值为12+12=2； 所以N =2， 则MN =5．故选：B ．4. 已知命题p ：对∀x >0，总有x <sinx ；命题q ：直线l 1：ax +2y +1=0，l 2：x +(a −1)y −1=0若l 1//l 2，则a =2或a =−1；则下列命题中是真命题的是( )A. p ∧qB. (¬p)∧(¬q)C. (¬p)∨qD. p ∨q【答案】D【解析】【分析】本题考查复合命题真假的判断，两条直线平行的判定，一元二次方程的解法，导数的运算，考查分类讨论的数学思想，考查运算求解能力，属于中档题．根据条件判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【解答】解：设f(x)=sinx −x ， 则f′(x)=cosx −1≤0，则函数f(x)在x >0上为减函数， 则当x >0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx <x 恒成立，即命题p 是真命题;若a =0，则两直线方程为l 1：2y +1=0，l 2：x −y −1=0， 此时两直线不平行，不满足条件， 若a ≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a −1)=2，即a 2−a −2=0得a =2或a =−1， 由1a ≠−1得a ≠−1，则a =2，即命题q 是假命题;则p ∨q 是真命题，其余为假命题．5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为8、2，则输出的n=()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】解：输入的a、b分别为8、2，n=1第一次执行循环体后a=12，b=4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后n=2，a=18，b=8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后n=3，a=27，b=16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后n=4，a=812，b=32，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后n=5，a=2434，b=64，满足退出循环的条件，故输出的n=5，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A. 38B. 316C. π8D. π16【答案】A【解析】解：质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含的基本事件有：(0,0)，(1,1)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(2,0)共6个，∴事件A 发生的概率为p =616=38．故选：A ．先求出基本事件总数N =42=16，再利用列举法求出m 2+n 2≤4包含的基本事件个数，由此能求出事件A 发生的概率．本题考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题．7. 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 图象上，设曲线：a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A. b >a >c B. a >b >c C. c >b >a D. b >c >a【答案】A【解析】解：点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 图象上， ∴m −1=1，m =2； ∴f(2)=2n =8，n =3，∴f(x)=x 3；f(x)是定义域R 上的增函数；且(54)0.2>1>(45)0.3>0>log 1254，∴f((54)0.2)>f((45)0.3)>f(log 1254)，即b >a >c ． 故选：A ．根据幂函数的定义求出m 和n 的值，写出f(x)的解析式，再根据f(x)的单调性比较a 、b 、c 的大小．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．8. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在区间[π2,π]上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A. [12,54]B. [12,34]C. (0,12]D. (0,2]【答案】A【解析】解：法一：令：ω=2⇒(ωx +π4)∈[5π4,9π4]不合题意 排除(D)ω=1⇒(ωx +π4)∈[3π4,5π4]合题意 排除(B)(C)法二：ω(π−π2)≤π⇔ω≤2，(ωx +π4)∈[π2ω+π4,πω+π4]⊂[π2,3π2]得：π2ω+π4≥π2,πω+π4≤3π2⇔12≤ω≤54．故选：A ．法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果． 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A. 4πB. 6πC. 8πD. 2π【答案】C【解析】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为√2的正方形，高为2，该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=√22+(√2)2+(√2)2=2√2，R=√2，所以外接球的表面积为：4πR2=8π．故选：C．由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力10.设A、B、P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率之积为14，则该双曲线的离心率为()A. √52B. √62C. √2D. √153【答案】A【解析】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A(x1,y1)，B(−x1,−y1)，P(x,y)，则x12a2−y12b2=1，x2a2−y2b2=1∴k PA⋅k PB=y1−yx1−x ⋅−y1−y−x1−x=−b2a2=−14，∴该双曲线的离心率e=√1+b2a2=√52．故选：A．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．11.一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A. 若n=9，则甲有必赢的策略B. 若n=11，则乙有必赢的策略C. 若n=6，则乙有必赢的策略D. 若n=4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n=9，则甲有必赢的策略，必赢策略如下：第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时；②当乙抓2球时，甲再抓2球时；③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球，则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜．故选：A．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解．本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：}；①M={(x,y)|y=1x②M={(x,y)|y=sinx+1}；③M={(x,y)|y=log2x}；④M={(x,y)|y=e x−2}．其中是“垂直对点集”的序号是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D是以x，y轴为渐近线【解析】解：对于①y=1x的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意(x1,y1)∈M，不存在(x2,y2)∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意(x1,y1)∈M，不存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={(x,y)|y=sinx+1}，对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如(0,1)、(π,0)，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={(x,y)|y=log2x}，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={(x,y)|y=e x−2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M(0,−1)，则N(ln2,0)，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D ．对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误； 本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若S 1=∫x 221dx ，S 2=∫1x 21dx ，S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______．【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=∫x 221dx =13x 3|12=73， S 2=∫1x21dx =lnx 12=ln2，S 3=∫e x 21dx =e x |12=e 2−e ，∵ln2<73<e 2−e ，∴S 2<S 1<S 3，故答案为：S 2<S 1<S 3，先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14. 已知点P(x,y)是抛物线y 2=4x 上任意一点，Q 是圆(x +2)2+(y −4)2=1上任意一点，则|PQ|+x 的最小值为______． 【答案】3【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线l ：x =−1圆C ：(x +2)2+(y −4)2=1的圆心C(−2,4)，半径r =1，由抛物线定义知：点P 到直线l ：x =−1距离d =|PF|，点P 到y 轴的距离为x =d −1，∴当C 、P 、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，∴(|PQ|+x)min =|FC|−r −1 =5−1−1=3故答案为：3．当C 、P 、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，即(|PQ|+d)min =|FC|−r ，由此能求出结果．本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于______． 【答案】13【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A(0,0)，B(1t ,0)，C(0,t)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴P(1,4)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t −1,−4)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,t −4)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(1t −1)−4(t −4)=17−(1t +4t)≤17−2√1t ⋅4t =13， 当且仅当1t =4t ，即t =12时，取等号， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13， 故答案为：13．建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为17−(1t +4t)，再利用基本不等式求得它的最大值．本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．16. 已知函数f(x)=x 2e 2x +a|x|e x +1(a ∈R)有四个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】a <−e −e −1【解析】解：函数f(x)=x 2e 2x +a|x|e x +1(a ∈R)有四个零点，由f(0)=1，x =0不为零点，即f(x)=0即有−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根， 设g(x)=(|x|e x )+1|x|e x ，当x >0时，g(x)=xe x +1xe x ≥2，当且仅当xe x =1，取得等号；当x <0时，g(x)=−xe x −1xe x 导数为g′(x)=−(x +1)e x +x+1x 2e x ， 可得0>x >−1时g(x)递增；x <−1时，g(x)递减， 可得x =−1处g(x)取得极小值e +e −1， 画出函数g(x)的图象，可得−a >e +e −1，即a <−e −e −1时，−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根， 函数f(x)由四个零点， 故答案为：a <−e −e −1．由题意可得−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根，设g(x)=(|x|e x )+1|x|e x ，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD =∠CDE =2π3，∠BAE =π3,DE =3BC =3CD =910km ．(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值． 【答案】解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CDcos∠BCD =27100，∴BD =3√310． ∵BC =CD ，∴∠CDB =∠CBD =π−23π2=π6， 又∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2． 在Rt △BDE 中，所以BE =√BD 2+DE 2=(3√310)(910)=3√35． (2)设∠ABE =α，∵∠BAE =π3，∴∠AEB =2π3−α．在△ABE 中，由正弦定理，得AB sin∠AEB =AEsin∠ABE =BEsin∠BAE =3√35sin π3=65，∴AB =65sin(2π3−α),AE =65sinα．∴S △ABE =12|AB||AE|sin π3=9√325[sin(2π3−α)sinα]=9√325[12sin(2α−π6)+14]≤9√325(12+14)=27√3100． ∵0<α<2π3，∴π6<α+π6<5π6．∴当2α−π6=π2，即α=π3时，S △ABE 取得最大值为27√3100，即生活区△ABE 面积的最大值为27√3100km 2． 注：第(2)问也可用余弦定理和均值不等式求解．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD ，在Rt △BDE 中，求解BE 即可．(2)设∠ABE =α，在△ABE 中，由正弦定理，求解AB ，AE ，表示S △ABE ，然后求解最大值．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查距离的求法，是中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示： (1)折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润； (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A 、B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对A 、B 两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表： 使用寿命 材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96，∑x i 6i=1y i =371． 参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n x −x)2．【答案】解：(1)由题意知，x =16×(1+2+3+4+5+6)=3.5， y =16×96=16，其中b ̂=(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=3517.5=2，a ∧=y −b ∧x =16−2×3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ∧=2x +9，2018年1月对于的是x =7，则y ∧=2×7+9=23，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为23百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50，∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图，在四棱锥A −BCFE 中，四边形EFCB 为梯形，EF//BC ，且2EF =BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且FG =√3，CF =√212，BF =52． (1)证明：平面FGB ⊥平面ABC ；(2)求二面角E −AB −F 的余弦值．【答案】证明：(1)由顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥AC ．取AC 的中点为O ，连结OB ，GB ． 在Rt △FGC 中，FG =√3，CF =√212， 所以CG =32.------(1分)在Rt △GBO 中，OB =√3，OG =12， 所以BG =√132.------(2分)所以，BG 2+GF 2=FB 2，即FG ⊥BG.------(3分)∵FG ⊥AC ，FG ⊥GB ，AC ∩BG =G ， ∴FG ⊥面ABC ．又FG ⊆面FGB ，所以面FGB ⊥面ABC.------(5分) 解：(2)由(1)知，OB ⊥FG ，OB ⊥AC ， 且AC ∩FG =G所以 OB ⊥面AFC ，且FG ⊥面ABC ．以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,−1,0)，B(√3,0，0)，F(0,−12,√3)，E(√32,−1,√3)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−1,√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√3).------(8分) 设平面ABE ，ABF 的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，n ⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x −y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x −y +√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,−12)，------(9分) {n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a −b =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a −12b +√3c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,−√3,−12)，------(10分) cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1517． 所以二面角E −AB −F 的余弦值为1517.------(12分)【解析】(1)顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥AC.取AC 的中点为O ，连结OB ，GB.计算BG 2+GF 2=FB 2，推出FG ⊥BG ，结合FG ⊥AC ，FG ⊥GB ，证明FG ⊥面ABC.然后证明面FGB ⊥面ABC ．(2)由(1)知，OB ⊥FG ，OB ⊥AC ，且AC ∩FG =G ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABE ，ABF 的法向量，利用向量的数量积求解即可．本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20. 已知曲线C 1：x 26+y 23=1，曲线C 2：x 2=2py(p >0)，且C 1与C 2的焦点之间的距离为2，且C 1与C 2在第一象限的交点为A ． (1)求曲线C 2的方程和点A 的坐标；(2)若过点A 且斜率为k(k ≠0)的直线l 与C 1的另一个交点为B ，过点A 与l 垂直的直线与C 2的另一个交点为C.设m 2=4|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |5|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，试求m 取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的焦点坐标为(±√3,0)，曲线C 2的焦点坐标为(0,p2)， 由C 1与C 2的焦点之间的距离为2，得√3+(p2)2=2，解得p =2， ∴C 2的方程为x 2=4y ．由{x 2=4y x 26+y 23=1，解得A(2,1)，(2)当直线AB 的斜率存在时，∴设直线AB 的方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1，由{y =kx −2k +1x 26+y 23=1，得(2k 2+1)x +4k(1−2k)x +2(1−2k)2−6=0则x A x B =2(1−2k)2−62k 2+1，∵x A =2， ∴x B =(1−2k)2−32k 2+1，又直线AC 的方程为y −1=−1k x +2k +1，即y =−1k x +2k +1， 由{y =−1k x +2k +1x 2=4y ，得x 2+4k x −4−8k =0， 则x A x C =−4−8k ， ∵x A =2， ∴x C =−2−4k ，∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+k 2|x B −x A |=√1+k 2⋅|(1−2k)2−32k 2+1−2|=√1+k 2⋅|4k+4|2k 2+1，同理|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(1k )2⋅|x C −x A |=√1+1k 2⋅|4+4k |， ∴m 2=4|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |5|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4k 210k 2+5=410+5k 2，∵k ≠0， ∴0<m 2<25，即m ∈(−√105,0)∪(0,√105).∴综上所述：m ∈(−√105,0)∪(0,√105).【解析】(1)由题意可得√3+(p2)2=2，解得p =2，即可求出交点坐标，(2)当直线AB 的斜率存在时，可设直线AB 的方程为y −1=k(x −2)，根据韦达定理和弦长公式，即可求出m 的取值范围．本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于难题．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t=0时，不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(3)若g(x)=e x+ax，当t≤2时，证明：g(x)>f(x)．【答案】解：(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax，x>0，∴f′(x)=1x −ax2=x−ax2，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，若0<x<a，则f′(x)<0，函数单调递减，若x>a，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，(2)∵不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设ℎ(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴ℎ′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴ℎ(x)在(0,1]上单调递增，∴ℎ(x)max=ℎ(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设ℎ(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosθy =1+2sinθ(θ为参数)；直线l ：θ=α(α∈[0,π))，ρ∈R 与曲线C 相交于M ，N 两点．以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)记线段MN 的中点为P ，若|OP|≤λ恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】解：(1)因为曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosθy =1+2sinθ(θ为参数)， 故所求方程为(x +1)2+(y −1)2=4． 因为{x =ρcosθy =ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√2cos(θ+π4)=2．(2)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0，得ρ2+2ρ(cosθ−sinθ)−2=0， 设M(ρ1,α)、N(ρ2,α)， 则：ρ1+ρ2=2√2sin(α−π4)， 由|PO|=|ρ1+ρ22|，得|PO|=√2|sin(α−π4)|≤√2，当α=3π4时，|OP|取最大值√2，故实数λ的取值范围为[√2,+∞)．【解析】(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用三角函数的恒等变换和极径求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用．23. 已知函数f(x)=|2x −4|+|x +1|，(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若不等式f(x)<2x +a 的解集为A ，B ={x|x 2−3x <0}，且满足B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x −4|+|x +1|≤9， 故{x >23x −3≤9，或{−1≤x ≤25−x ≤9，或{x <−1−3x +3≤9；…(2分) 解得：2<x ≤4，或−1≤x ≤2，或−2≤x <−1； …(4分) 不等式的解集为[−2,4]；…(5分) (Ⅱ)易知B =(0,3)；…(6分)所以B ⊆A ，又|2x −4|+|x +1|<2x +a 在x ∈(0,3)恒成立；…(7分) ⇒|2x −4|<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立；…(8分)⇒−x −a +1<2x −4<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立；…(9分) 故{a >x −3在x ∈(0,3)恒成立a >−3x +5在x ∈(0,3)恒成立⇒{a ≥0a ≥5⇒a ≥5…(10分) 【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出B ，根据集合的包含关系求出a 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
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2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷
一．选择题(共10小题)
1．下列各数中比1-小的数是( )
A ．2-
B ．1-
C ．13
-
D ．1
2．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图AB CD ∥，点E 是CD 上一点，EF 平分AED ∠交AB 于点F ，若42AEC ∠=︒，则
AFE ∠的度数为( )
A ．42︒
B ．65︒
C ．69︒
D ．71︒
4．已知正比例函数(0)y kx k =≠的图象经过点(13)- ，，则此正比例函数的关系式为( ) A ．3y x =
B ．3y x =-
C ．1
3
y x =
D ．1
3
y x =-
5．下列运算正确的是( ) A ．224a a a +=
B ．236()b b -=-
C ．23222x x x =
D ．222()m n m n -=-
6．如图，在菱形ABCD中，DE AB
⊥，
3
cos
5
A=，3
AE=，则tan DBE
∠的值是( )
A．1
2
B．2C．
5
2
D．
5
5
7．直线21
y x
=+向右平移得到21
y x
=-，平移了( )个单位长度．
A．2-B．1-C．1D．2
8．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若3
EH=，4
EF=，那么线段AD与AB的比等于( )
A．25:24B．16:15C．5:4D．4:3
9．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且43
CD=，连接AC，OD，若A
∠与DOB
∠互余，则EB的长是( )
A．23B．4C3D．2
10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0)m ，、(4)m ，和(1)n ，，若n m <，则( ) A ．0a >且40a b += B ．0a <且40a b += C ．0a >且20a b += D ．0a <且20a b += 二．填空题(共4小题)
11．分解因式32x xy -的结果是 ．
12．把两个同样大小的含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若2AB =，则CD = ．
13．如图，OAC △和BAD △都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数3
y x
=在第一象限的图象经过点B ，则OAC △与BAD △的面积之差OAC BAD S S -△△为 ．
14．如图，点A 是直线y x =-上的动点，点B 是x 轴上的动点，若2AB =，则AOB ∆面积的最大值为 ．
三．解答题(共10小题)
15．(本题满分5分)计算：()(
)
2
2312sin 60π
-+-+-︒．
16．(本题满分5分)解方程：
31
133x x
-=
--．
17．(本题满分5分)如图，ABC △中，AB AC =，请你利用尺规在BC 边上求一点P ，使ABC PAC △∽△(不写画法，保留作图痕迹)
18．(本题满分5分)已知：如图，D 是AC 上一点，AB DA =，DE AB ∥，B DAE ∠=∠．求证：BC AE =．
19．(本题满分7分)西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．
试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
(1)计算样本中，成绩为98分的学生有 分，并补全条形统计图． (2)样本中，测试成绩的中位数是 分，众数是 分．
(3)若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
20．(本题满分7分)
小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ ，他很想知道电线杆PQ 的高度。
于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测倾器和皮尺来到山脚下进行测量，测量方案如下： 如图，首先，小明站在地面上的点A 处，测得电线杆顶端点P 的仰角是45︒；然后小明向前走6米到达点B 处，测得电线杆顶端点P 和电线杆底端点Q 的仰角分别是60︒和
30︒．设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ 的
高度(结果精确到1米)．(参考数据3 1.7≈2 1.4≈．)
21．(本题满分7分) “低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择．(1)考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两
种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围．
(2)已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在(1)的
条件下，求公司每月的最大利润．
22．(本题满分7分)
、、、四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可车辆经过某高速收费站时，有A B C D
能性相同，车辆可随机选择其中的一个通过．
(1)一辆车经过此收费站时，则选择A通道通过的概率为；
(2)两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求两辆车选择不同通道通过的概率．
23．(本题满分8分)如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ． (1)试说明DF 是O ⊙的切线； (2)若3AC AE =，求tan C ．
24．(本题满分10分)我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数“互为友好同轴二次函数”．例如：2245y x x =+-的友好同轴二次函数为225y x x =---．
(1)请你分别写出21
53
y x x =+-的友好同轴二次函数；
(2)如图，二次函数21:41L y ax ax =-+与其友好同轴二次函数2L 都与y 轴交于点A ，点B 、C 分别在1L 、2L 上，点B ，C 的横坐标均为(02)m m <<，它们关于1L 的对称轴的对称
点分别为B '，C '，连结BB '，B C ''，C C '，CB ．若3a =，且四边形BB C C ''为正方形，求m 的值；
25．(本题满分12分)问题提出：
(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，3AD CD ==，90BAD BCD ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为 ； 问题探究：
(2)如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，135ABC ∠=︒
，AB =3BC =，在AD 、CD 上分别找一点E 、F ，使得BEF ∆的周长最小，并求出BEF ∆的最小周长；
问题解决：
(3)如图3，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，10CD =，150ABC ∠=︒，90BCD ∠=︒，则在四边形ABCD 中(包含其边沿)是否存在一点E ，使得30AEC ∠=︒，且使四边形ABCE 的面积最大．若存在，找出点E 的位置，并求出四边形ABCE 的最大面积；若不存在，请说明理由．
图③
图②
图①
B
C
B
B。