多边形面积二等分问题
多边形的面积计算
多边形的面积计算多边形是几何学中常见的图形，它由多条直线段组成的封闭图形。
计算多边形的面积是一项基本的几何运算，有多种方法可供选择。
本文将介绍几种常见的计算多边形面积的方法，以及它们的应用范围和计算步骤。
一、三角形分割法计算多边形面积最常用的方法之一是三角形分割法。
这种方法将多边形划分为一系列三角形，然后计算每个三角形的面积，并将它们相加得到多边形的总面积。
步骤如下：1. 将多边形内部的一个点作为切割点，连接该点与多边形的各个顶点，形成一系列三角形。
2. 计算每个三角形的面积，可以使用海伦公式或直角三角形的半边长度乘以高来计算。
3. 将每个三角形的面积相加得到多边形的总面积。
需要注意的是，选择的切割点的位置可以影响计算结果的准确性和计算难度。
理想情况下，切割点应该在多边形的重心或对称中心，以避免计算过程中的复杂性。
二、边界点法边界点法是另一种计算多边形面积的常用方法。
它利用多边形的顶点坐标，通过计算边界点和原点（或其他已知点）的向量积之和来求得多边形的面积。
步骤如下：1. 将多边形的顶点坐标按照顺时针或逆时针的方向排序。
2. 以原点（或其他已知点）为基准点，依次计算相邻顶点与基准点构成的向量的向量积。
3. 将每个向量积求和，并取绝对值，即可得到多边形的面积。
需要注意的是，边界点法只适用于简单多边形（顶点没有重合或相交）。
对于存在自交或重叠的多边形，需要先进行适当的处理，确保顶点符合计算条件。
三、格林公式格林公式是一种用于计算任意多边形面积的公式，它基于平面图形的环量定义。
格林公式通过计算多边形边界上的线积分来确定其面积。
公式如下：A = 1/2 * ∫(x*dy - y*dx)其中，A表示多边形的面积，(x, y)为多边形边界上的点，dx和dy分别为该点在x和y方向上的微小变化量。
格林公式的计算过程较复杂，需要对多边形的边界进行参数化，并进行曲线积分的计算。
这种方法适用于各种复杂多边形，但计算过程相对繁琐。
多边形面积二等分问题
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积” 了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段;也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单, 再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证; 所以,本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同,被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分;或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P为的边BC上的任意一点，求作直线戸（3,把厶ABC分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP; 2,取BC的中点D,作DQ〃AP,交AC于点Q;3,作直线PQ,如图0.则直线PQ就是所求作的直线。
等分图形面积
（2）若四边形ABCD是梯形． 点P在BC上什么位置?
A D
点P在线段CS上呢？
M B P S C N
T
P
设MC的中点为S． 点P在线段BS上时， 在线段CD上存在点Q，
设BN的中点为T． 点P在线段TC上时， 在线段AB上存在点Q， 直线PQ将△ABN面积 2等分．
直线PQ将△DMC面积 2等分．
经过边BC上的点P作直线将△ABC分割成 2个面积相等的图形．
A
（1）若点P与点B(或C)重合；
Q
取AC中点Q，连接PQ．
B
PA
C
（2）设BC边中点为M，点P与点M重合．
连接AP．
B
M P
C
（3）设BC中点为M，若点P与点B(C)、点M不重合． 如图，P在BM上．
A
Q
连接AP． 可能是AP吗？
满足条件的直线与三角形边的交 点Q可能在AB上吗？
等分图形面积
如何用直线将一个多边形分割成几个面积相等的图形？ n边形 m个面积相等的图形
如何研究这个问题？
从最简单的开始研究． n＝3，m＝2．
活动1：将△ABC分割成2个面积相等的图形．
A
作法：（1）取BC边中点M； （2）作直线AM． 则直线AM即所求的分割线．
B
M
C
S△ABM＝ S△ACM（等底同高的三角形面积相等）．
X
Y
S△XST＝ S△YST
T
数量关系
SE
F
XY∥ST
位置关系
过X作XE⊥ST，过Y作XF⊥ST ，垂足为E、F． 因为S△XST＝ S△YST，所以XE＝YF． 所以XE∥YF．
反之，因为XE∥YF， 所以XE＝YF．
教学案例：如何在幼儿园大班教授图形二等分
作为一名幼儿园大班的老师，我们需要教授孩子们一些基础的图形知识，其中之一就是图形二等分。
对于孩子们来说，学习如何将图形平均分成两份可能是很难的，我们需要使用一些方法来帮助孩子们轻松理解这一概念。
我们可以向孩子们展示不同形状的图形，并问他们这些形状是否可以平均分成两份。
我们可以用手指或针对形状的中心点来画一条线来表示平均分割线。
我们可以告诉孩子们，如果通过这条线将形状分成两半，每一半应该有同样的重量、面积、长度或角度，这就是二等分的意义。
我们可以通过一些有趣的游戏和活动来帮助孩子们更好地理解这一概念。
例如，我们可以准备一些图形模板，要求孩子们将模板二等分。
我们还可以分组让孩子们一起玩一些团队游戏，比如找到可以用直线二等分的物品，或者画出一个二等分的图形等等。
我们还可以使用一些故事和绘本来帮助孩子们理解这一概念。
例如，可以讲述关于一位漂亮的公主和她的一个经纪人的故事，经纪人必须将一块巨大的蛋糕二等分，以满足公主和她的姐妹们的需求。
而不幸的是，经纪人可能会犯一些错误，公主和她的姐妹必须帮助他找到正确的平分蛋糕的方式。
我们还可以为孩子们提供一些实践机会来巩固他们的学习成果。
我们可以使用一些简单的手工制作来培养孩子们的动手能力，如让孩子们用纸板制作一些简单的图形，并用剪纸或蜡笔将其分成两份。
在教学该主题时，我们需要明确以下几点：需要将知识点简化、明确，让孩子们易于理解。
需要提供生动有趣的游戏、活动和故事，来使孩子们更好地理解这一概念。
同时需要为孩子们提供足够的实践机会，让他们能够深入体验这一知识点。
教授孩子图形二等分这一知识点，需要使用多种方法和手段来帮助孩子深入理解这一概念。
通过简化知识点、提供趣味游戏、故事等丰富的教学资源，以及实践机会，可以有效促进孩子们的学习成果，并使其在学习过程中获得乐趣。
6用一直线将四边形的面积二等分
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同理可得 Ａ Ｄ／ ／Ｂ Ｃ
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图（ Ｓ ）
图（ ９ ）
证明： 设梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ高为 ｈ ．
万方数据
四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为平行 四边形继而使用定理 ２ 可得定点 Ｋ为平行 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的对称中心．
初数 方 圆
犷 ３ 夕
三、 任意四边形面积的二等分
由定理 ５ 可知， 凸四边形中， 有且只有平行
Ｂ Ｃ ： 相交于点 Ｍ 、 Ｎ．
的直线把梯形面积二等分的充要条件是： 这条 直线必过梯形中位线的中点． 通过对定理 １ 到定理 ４ 的证明， 我们有下面
的重要定理 ：
求证： ５ 图 形 Ａ Ｂ １ Ｖ Ｍ＝５ 图 形 ”Ｃ Ｄ
Ａ Ｎ １ ／ 。 Ｐ ， Ｉ ＂ ＇ ． ｕ
， ／ ａ ｚ ＋（ ｂ 一 １ ） ２ ＋， ／ （ ａ 一 １ ） ２ ＋（ ｂ 一 １ ） ｚ ＞ ２ 在
小学五年级数学多边形的面积计算公式汇总附练习题
多边形面积计算公式1、长方形的面积=长×宽字母表示：S=ab长方形的长=面积÷宽 a=S÷b长方形的宽=面积÷长b=S÷a2、正方形的面积=边长×边长字母表示: S= a²3、平行四边形的面积=底×高字母表示：S=ah平行四边形的高=面积÷底 h=S÷a平行四边形的底=面积÷高 a=S÷h4、三角形的面积=底×高÷2字母表示：S=ah÷2三角形的高= 2×面积÷底h=2S÷a三角形的底= 2×面积÷高a=2S÷h5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母表示：S=(a+b)·h ÷2梯形的高=2×面积÷（上底+下底）h=2S÷(a+b)梯形的上底=2×面积÷高—下底a=2S÷h-b梯形的下底=2×面积÷高—上底b=2S÷h-a1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方米=10000平方厘米1米==10分米=100厘米多边形面积同步试题一、填空1．完成下表。
考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。
答案：解析：直接利用公式计算这三种图形的面积，对于学生来说完成的难度不大。
对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习，可引导学生进行比较，理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知识点。
2．下图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个空白三角形的面积分别是15平方厘米和25平方厘米。
中间涂色三角形的面积是（）。
考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。
五年级奥数专题二十：多边形的面积
五年级奥数专题二十:多边形的面积关键词：多边正方面积边长周长多边形奥数正方形之和厘米我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：正方形面积=边长×边长=a2，长方形面积=长×宽=ab，平行四边形面积=底×高=ah，圆面积=半径×半径×π=πr2，扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。
在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。
例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。
用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。
我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。
在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG 中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。
利用分割法和填补法”计算多边形的面积课件
= 40 cm2 = 42 cm2
6cm
X 4cm
全圖面積 :
Y
24 + 40 + 42
10cm
Z
= 106 cm2
8cm 4cm
4cm
利用分割法和填补法”计算多边形的面积
下一題
9
請選擇以甚麼方法去計算左 圖的面積
16m 8m
分割法
6m 12m
填補法
利用分割法和填补法”计算多边形的面积
10
利用填補法似乎更合適! 試試填補法吧!
分割法
10cm
填補法
4cm
利用分割法和填补法”计算多边形的面积
5
填補法 大長方形的面積 : 正方形 C 的面積 : 三角形 D 的面積 :
6cm
C 4cm
4cm
14 x 10 4x4 6 x 6 2
= 140 cm2 = 16 cm2 = 18 cm2
全圖面積 :
140 - 16 - 18
= 106 cm2
4cm A
3cm
20 x 10 6x2 8x3
= 200 cm2 = 12 cm2 = 24 cm2
全圖面積 :
20cm
8cm
200 - 12 - 24
B
18cm
= 164 cm2
10cm
批 改 利用分割法和填补法”计算多边形的面积
下一題
4
請選擇以甚麼方法去計算左 圖的面積
6cm
8cm
4cm 4cm
A 4cm B
2cm C
全圖面積 :
12 + 12 + 30
= 54 cm2
3cm 3cm 4cm
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成面积相等的两部分。
作法：（1）连结AC、BD;（2）取AC的中点E,作EF∥BD交BC于点F；（3）连结DF.如图3.则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
证明：∵E为AC的中点，∴S四边形ADEB=S四边形DCBE∵EF∥BD，∴S△DEQ=S△BFQ，∴S四边形ADFB=S△DFC= S四边形ABCD.
由上述作图过程可知，不论是三角形，还是四边形，还是正五边形，对于它们的面积二等分，要不就是利用三角形的中线，要不就是利用梯形，目的都是为了得到面积相等的三角形，然后通过这样的两个三角形的互换，达到按照既定要求进行面积二等分的目的。实际上，面积相等的三角形并不一定等底等高，只要两个三角形底与高之积相等就可以，对于怎么样能够用尺规作图作三角形使之底与高之积等于已知常数，以后再单独讨论。最后以一个任意五边形的面积二等分来结束全文。
过四边形的顶点且二等分四边形面积的四条直线两两相交，把四边形的边分成了八条线段，如图5；很明显，其中的每一条线段都有另外一条线段与它是同两条面积等分线所截得的线段。为了叙述的方便，不妨称这两条线段为姊妹线段，如图5中的DN和BF。这八条线段中的任意一条线段上的任意一点都可以找一条面积等分线作对角线与之构造梯形，这个梯形的第四个顶点所在的线段必与这条线段是姊妹线段。所以，有了这四条过四边形顶点的面积等分线，就可以过四边形任意边上的任意点作直线把四边形面积二等分。对于四边形面积二等分来说这四条线的作用与三角形的中线的作用是一样的。
用这个方法，过四边形的每一个顶点都可以作出一条直线把四边形分成面积相等的两部分。再来说一下过任意边上的任一点如何作直线把四边形面积二等分。
如图4，已知任意四边形ABCD，P为DC上一点，求作一条直线PQ把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
作法：（1）连结AC、BD;（2）取AC的中点E,作EF∥BD交BC于点F；（3）连结DF.如图3.则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。（4）连接PF,作DQ∥PF交BC于点Q；（5）连接PQ。则PQ即为所求。
如图，已知P为正五边形ABCDE的边CD上的任意一点，求作直线PQ,把正五边形ABCDE分成面积相等的两部分。
作法①：1.连接AP；2，取CD的中点F，作FQ∥AP，交AE于点Q;3,作直线PQ，如图1.则直线PQ就是所求作的直线。
作法②：1.连接EP；2，取BC的中点F，作FQ∥EP，交AE于点Q;3,作直线PQ，如图2.则直线PQ就是所求作的直线。
证明：设AD、PQ的交点为O;∵D为BC的中点，∴S△ABD=S△ACD
= S△ABC,∵DQ∥AP,∴S△APQ=S△APD，∴S△AOQ=S△POD
∴S四边ABPQ=S△ABD-S△POD+S△AOQ=S△ABD= S△ABC。
∴直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分。
为了作出直线PQ，先作出BC边上的中线AD，然后以这条中线为一条对角线，以A、P、D为顶点构造梯形，这个梯形的第四个顶点一定要在三角形的边上，则另一条对角线所在的直线PQ就是所求作的直线。这里除了利用了三角形的中线的性质以外，还用到了梯形的性质，实际上是利用了等底等高的三角形面积相等的性质。此例给出的是点P在A、D之间时的情形；不过，有了此例，相信大家都会作点P在B、D之间时的直线PQ.由此可以说明过三角形任意一边上的任意一点都可以作出一条直线把三角形分成面积相等的两部分。
多边形面积
在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。如图，已知P为△ABC的边BC上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP；2，取BC的中点D，作DQ∥AP，交AC于点Q;3,作直线PQ，如图0.则直线PQ就是所求作的直线。
证明方法和三角形一样，就不重复了。
二．任意多边形。
任意多边形中，四边形的面积二等分最为简单；至于其他的多边形，随着边数的增加，面积二等分的难度会越来越大。由于那样的问题过于复杂，实用性不是太强，再加上初中阶段又不常见，所以就不一一说明了。接下来拟就四边形的面积二等分问题来详细说明一下，然后简单介绍一下任意五边形的面积二等分。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
中心对称图形的面积二等分非常简单；过对称中心的任意一条直线都把图形分成面积相等的两部分。初中几何中常见的是两个中心对称图形的组合图形，这时，只要把每一个图形的对称中说一下非中心对称图形的多边形面积二等分问题。这样的问题常见的可以分为两大类别：
一、边数为奇数的正多边形。这类多边形都是轴对称图形，它们的每条对称轴都是各自的面积二等分线。除此之外，由于图形的对称性，过任意边上的任一点作面积的等分线也不是太难；现仅以正五边形为例说明一下这类图形的面积二等分方法。
如图6，已知任意五边形ABCDE；求作直线AF，把五边形ABCDE分成面积相等的两部分。
作法：（1）如图：取BE的中点O,连结AO;连结CE取CE的中点P，连结BD,取BD的中点Q，（2）过点P作RS∥BD交BE于R交DE于S；连结DR；（3）过点Q作MT∥CE交BC于M交BE于T，连结CT；（4）连结OD,作RH∥OD交CD于H，连结OH；（5）连结AH,作OF∥AH交CD于F,连结AF;则AF即为所求。(HN也把五边形面积二等分)