分形实例
分形实例
2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkouski香肠。
编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。
图3-21 Minkouski香肠一次迭代（1）编辑实现上述迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkouski香肠的图形。
具体代码如下：function frat1(k)p=[0,0;10,0];A=[0,1;-1,0];n=1;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;endn=n*7;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2))axis equal将这个文件保存，文件名记为frat1.m. （2）绘制Minkouski香肠的图形代码：frat（3）运行结果：代码：frat（5）运行结果:(3)计算Minkouski香肠的维数根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.因此，Minkouski香肠的维数介于1与2之间。
具体计算如下：d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.40375、自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘出它的图形，并计算维数。
function frat2(k)p=[-5,5;5,5;5,-5;-5,-5;-5,5];A=[1.5,-0.5;0.5,1.5];n=4;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=n*4;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2)) axis equal。
分形图形（组图）
分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。
说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。
但是很少会有人知道。
其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。
曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。
这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。
是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。
分形理论及其应用
ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
ln C(r)
D2
lim
r 0
ln r
▪标度律与多重分形
(1)标度律
X1
X X
2 3
X
4
： (x1，x2， ，xm ) ： (x2，x3， ，xm1 ) ： (x3，x4， ，xm2 ) ： (x4，x5， ，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其 质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行 同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2 质量分别为 P12 ，P1P2 ，右两段的长度分别为 ， r2r1 r22 ， 质量分别为 ， P2P1 P22 ；如此操作下去就会得到一个不 均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
利用分形理论解释自然现象
利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。
它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。
分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。
本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。
首先，我们来看看山的形状。
山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。
这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。
分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。
其次，我们来看看云的形状。
云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。
这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。
分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。
另外，我们再来看看河流的走势。
河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。
这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。
分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。
总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。
通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。
希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。
愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。
分形理论简介ppt
进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。
由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数
盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r
自仿射性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
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两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）
N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
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线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r
相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
数学实验分形实例
数学实验分形实例(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验二分形（一）练习题1一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。
二. 问题描述对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
三．实验过程仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.源代码如下：function snow(R,k)p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];S=0;n=3;A=exp(1i*pi/3);for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; endn=4*n;clear pp=[r;q2];endfigureq(:,1)=real(p(:,1));q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2))fill(q(:,1),q(:,2),'b')for i=0:kS=S+(3.^)**(R.^2); endSaxis equal按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S = 图形如下:>>snow(1,2) S = 图形如下:>>snow(1,3) S = 图形如下:>>snow(1,4) S = 图形如下: >>snow(1,5) S = 图形如下:四．总结分析和心得体会根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：,其中即：面积公式，也就等于分形维数，根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4边长放大倍数c=3，维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=（二）练习题2一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。
55个惊人美丽的分形艺术作品
55个惊人美丽的分形艺术作品55个惊人美丽的分形艺术作品“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有”破碎”、”不规则”等含义。
Fractal by LynnDream Blooms by ColliemomThe Beginning by Magnusti78Fleur D’Apo by mynameishaloA Feeling by Magnusti78Autumn Dance by SilwenkaFantasy Lover by KLR620Cubik Olympic by digitalpaintersFurnace by Aexion… by LynnFairy Tree by NiroloSanctuary by Creativ82Alchemy by 404-Not-FoundFractal Art by Nathan SmithMelt the Ice by zueukTalisman V by hmnFractal Art by Nathan SmithIllusions by CygX1Evolution by trystianityNexus by NinthTabooGhostly Visage by tdierikxFractal Art by Nathan SmithI sleep only to dream of you by longan drink Aeries Reborn by theArchonAir by SilwenkaPerception Redefined by TyrantWaveForever Friend by Rhiannon104Night of the Phoenix by magnusti78Flying Carpet by wm-dDragon in the Evening Desert by Treehouse Charms The Awakening III – Rebirth by cyg1XRR2 – Wonderland Forever by magnusti78 Mycology by cyberxaosFractal Flowers CollectionLast of the Summer Flowers by Omron。
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2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkouski香肠。
编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。
图3-21 Minkouski香肠一次迭代
（1）编辑实现上述迭代的函数
在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkouski香肠的图形。
具体代码如下：function frat1(k)
p=[0,0;10,0];
A=[0,1;-1,0];
n=1;
for s=1:k
j=0;
for i=1:n;
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/4;
j=j+1;r(j,:)=q1;
j=j+1;r(j,:)=q1+d;
j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A';
j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A';
j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;
end
n=n*7;
clear p
p=[r;q2];
end
plot(p(:,1),p(:,2))
axis equal
将这个文件保存，文件名记为frat1.m. （2）绘制Minkouski香肠的图形
代码：frat（3）
运行结果：
代码：frat（5）
运行结果:
(3)计算Minkouski香肠的维数
根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.因此，Minkouski香肠的维数介于1与2之间。
具体计算如下：
d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.4037
5、自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘出它的图形，并计算维数。
function frat2(k)
p=[-5,5;5,5;5,-5;-5,-5;-5,5];
A=[1.5,-0.5;0.5,1.5];
n=4;
for s=1:k
j=0;
for i=1:n;
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
j=j+1;r(j,:)=q1;
j=j+1;r(j,:)=q1+d;
j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;
end
n=n*4;
clear p
p=[r;q2];
end
plot(p(:,1),p(:,2)) axis equal。