数学实验报告——科赫分形雪花

实验报告：科赫分形雪花一、算法描述科赫分形雪花
clear
n=1;p=[0 0;5,sqrt(75)]; A=[cos(pi/3), -
sin(pi/3);sin(pi/3) ,co s(pi/3)];
for k=1:3
j=1;
for i=1:n
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
r(j,:)=q1;
r(j+1,:)=q1+d;
r(j+2,:)=q1+d+d*A'; r(j+3,:)=q1+2*d;
j=j+4;
end
n=4*n;p=[];
p=[r;q2];
end
x=p(:,1);y=p(:,2);
plot(x,y)
hold on clear
m=1;p=[5,sqrt(75);
10 ,0];
A=[cos(pi/3), -
sin(pi/3);sin(pi/3
) ,cos(pi/3)];
for k=1:3
e=1;
for i=1:m
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
r(e,:)=q1;
r(e+1,:)=q1+d;
r(e+2,:)=q1+d+d*A';
r(e+3,:)=q1+2*d;
e=e+4;
end
m=4*m;p=[];
p=[r;q2];
end
x=p(:,1);y=p(:,2);
plot(x,y)
hold on
clear
n=1;p=[0,0;10, 0];
A=[cos(pi/3), -
sin(pi/3);sin(pi/3) ,
cos(pi/3)];
for k=1:3
j=1;
for i=1:n
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
r(j,:)=q1;
r(j+1,:)=q1+d;
r(j+2,:)=q1+d+d*A;
r(j+3,:)=q1+2*d;
j=j+4;
end
n=4*n;p=[];
p=[r;q2];
end
x=p(:,1);y=p(:,2);
plot(x,y)
二、证明科赫分形雪花图 Kn 的边数为:
用数学归纳法证明：
当n=1时，成立；假设当n=k时成立：
L（k）=3X4^(k-1)
当n=k+1时；因为雪花的边数增加，
每一边将变为四边
L（k+1）=4*L(K)
将L（k）=3Xn^(k-1)代入上式，得：
L（k+1）=3X4^k 满足L(n)=3X4^(n-1)
综上所述，对于任意的N>0，且N为正整数的等式均成立。

三、求科赫分形雪花图 Kn 的面积 :
设第一个等边三角形的面积为a
第n次图形变换新增面积为an
则第二个图形新增的面积为3*（1/9）*a，
即a2=3*(1/9)
)
(
lim
n
n
K
Area
∞
→
推出an=第n-1个图形的边数*新增小三角形的面积即an=3*4n-2*(1/9)n-1a
则第n个图形的面积Sn为an的前n项和
所以Sn=
34
*[1()] 49
4
1
9
n
a
a
-
+
-
取极限，得
12748 lim lim[1()]
42095
n
n
n n
S a a a →∞→∞
=+-=
所以分形雪花图Kn的面积为(8/5)a。