动态规划题目分析共21页文档
动态规划讲解大全含例题及答案
动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。
不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。
动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。
因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。
基本模型多阶段决策过程的最优化问题。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
45道动态规划题目分析
分析
• d[i,j]表示是否有可能i和j相遇, 则第i个人能 取得最后的胜利当且仅当d[i,i]为true • 状态转移: 考虑相遇前的最后一步, 则d[I,j] 为true当且仅当
– 能找到一个k, 使得i能遇k, k能遇到j, 且 – i或者j能打败k
• 状态有O(n2)个, 转移有O(n)个, 共O(n3)
• 状态O(kn2)个, 决策O(n), 转移时间O(1)(先预处理), 总时间O(kn3)
机器人的名字
• 考虑一种基于重复子串的压缩方法 • 用[St]k表示k个相同的子串St(其中St称为重复子串， k是一个单字节整数，只占一个字符位置) • 如果这k个子串并没有连在一起，则可以在[St]k的 后面加上{S1}t1{S2} t2…{Sr} tr（1<ti<k，ti<ti+1）， 表示在第ti个St的后面放置Si，Si称为插入子串 • St和Si也都可以是压缩后的字符串 • 比如I_am_WhatWhat_is_WhatWhat的压缩结果 为I_am_[What]4{_is_}2，长度为19 (例子中的空 格用下划线“_”表示，数字2和4实际上是用单字 节二进制表示的) • 名字不会以空格开始或结尾，大小写敏感
• 原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋 盘的总分为其所含各格分值之和。现在需 要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘， 并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
(a) 允许的分割方案
(b) 不允许的分割方案
分析
• 变形均方差公式
n n 1 1 n 2 2 ( n( x ) 2 x i 2 2 x x i ) x i ( x ) 2 n n i 1 i 1 i 1
– d[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2] – d[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2] – 其中x1<=a<=x2
动态规划问题标准版文档
线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航
状态 状态 状态 状态 天飞机的飞行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。 1 2 n 在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为
g=g(u1)
精品课程《运筹学》
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制
定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新 分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量， 使在五年内产品的总产量达到最高。
决策达到最优效果。 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段；
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。 机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。 要求制定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产量达
解决。
优策略。 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。
机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。 在高负荷下进行生产时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为
动态规划习题详解
动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
动态规划专项练习题解共32页文档
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
动态规划专项练习题解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
c++动态规划试题+分析
我们设机器人走到(i,j) 位置时拾到最多垃圾数为 f[i][j] ，由于机器人只能朝右和下走， 只 会跟机器人上一位置拾到最多的垃圾数有关，因此很容易写出状态转移方程。 F[i][j]=max{f[i-1][j],f[i][j-1]}+a[i][j],(1<=i<=n,1<=j<=m) 初始值：f[1][i]=f[1][i-1]+a[1][i] ，f[i][1]=f[i-1][1]+a[i][1] 时间复杂度为：O(nm) 我们再来看第二问： 在最优解的情况下求方案总数， 我们只要每次在最优解的情况下统 计路径条数即可，见图 2： 设 g[i][j] 表示在位置(i,j)达到拾到 f[i][j]垃圾时的路径总数，有如下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程： g[i][j]=g[i-1][j]*x+g[i][j-1]*y 当 f[i][j]=f[i-1][j]+a[i][j] 时，x=1，否则 x=0； 当 f[i][j]=f[i][j-1]+a[i][j] 时，y=1，否则 y=0；
using namespace std; int n,m,a[200005],b[200005],f[200005]; void init() { int i,j=0; cin>>n>>m; for(i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(i=1;i<m;i++)if(a[i]<a[m])b[++j]=a[i];//去掉前面大于等于 a[m]的数 b[++j]=a[m]; for(i=m+1;i<=n;i++)if(a[i]>a[m])b[++j]=a[i];//去掉后面小于等于 a[m]的数 } int ERLIS()//上升子序列 { int i,L,r,mid,len=1; f[1]=b[1]; for(i=2;i<=n;i++) { L=1;r=len; if(f[len]<b[i]){len++;f[len]=b[i];continue;} while(L<=r) { mid=(L+r)/2; if(f[mid]<b[i])L=mid+1;else r=mid-1; } f[L]=b[i]; } return len; } int main() { init(); cout<<ERLIS()<<endl; } 3、采药 .cpp/c/pas) （medic medic.cpp/c/pas) 【问题描述】 辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最 有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都 是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间， 每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果 你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？ 【输入格式】 输入文件的第一行包含两个正整数 N,M。M 表示总共能够用来采药的时间，N 代表山 洞里的草药的数目。 接下来的 N 行每行包括两个的整数，分别表示采摘某株草药的时间 T i 和这株草药的价 值 V i。 【输出格式】 输出文件仅包含一个整数表示规定时间内可以采到的草药的最大总价值。 【样例输入输出】 medic .in medic .out medic.in medic.out 39 3 10 10 81 12 】 【数据规模和约定 数据规模和约定】 50%的数据中 N ，M≤1000；
动态规划总结经典题目(经典中的经典)
动态规划总结——经典问题总结本文着重讨论状态是如何表示，以及方程是怎样表示的。
当然，还附上关键的，有可能作为模板的代码段。
但有的代码的实现是优化版的。
经典问题总结最长上升子序列（LIS）问题描述如下:设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。
求最大的m值。
这里采用的是逆向思维的方法，从最后一个开始想起，即先从A[N]（A数组是存放数据的数组，下同）开始，则只有长度为1的子序列，到A[N-1]时就有两种情况，如果a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列a[n-1],a[n]；如果a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列a[n-1]或者a[n]。
有了以上的思想，DP方程就呼之欲出了（这里是顺序推的，不是逆序的）：DP[I]=MAX（1,DP[J]+1）J=0,1,...,I-1但这样的想法实现起来是）O(n^2)的。
本题还有更好的解法，就是O(n*logn)。
利用了长升子序列的性质来优化，以下是优化版的代码：//最长不降子序const int SIZE=500001;int data[SIZE];int dp[SIZE];//返回值是最长不降子序列的最大长度,复杂度O(N*logN)int LCS(int n) { //N是DATA数组的长度,下标从1开始int len(1),low,high,mid,i;dp[1]=data[1];for(i=1;i<=n;++i) {low=1;high=len;while( low<=high ) { //二分mid=(low+high)/2;if( data[i]>dp[mid] ) {low=mid+1;}else {high=mid-1;}}dp[low]=data[i];if( low>len ) {++len;}}return len;}最长公共子序列（LCS）给出两个字符串a, b，求它们的最长、连续的公共字串。
动态规划经典题目分析
寻宝游戏
SAMPLE INPUT 55 00010 10000 01000 00020 00000 6 101211 SAMPLE OUTPUT 3 数据范围 2≤N、M≤100，1≤Len≤250。表格和数列中的每一项都小于100。
分析
设F[i,x,y]表示ai与表格中位于(x,y)的数向对 应，且数列{ai}的前1～i-1项与表格中所有bi 位置为(x,y)的数列的最小接近程度。 B1和B2~Bn是有点不一样的。 因为B2~Bn都和前面的数有位置关系，而 B1没有。 所以初始化条件为 F[1,x,y]=(a[1]-table[x,y])2
代码
program CQF_CMI; var value,last:array[0..200000] of longint; n:longint; procedure init; var i,j:longint; begin readln(n); for i:=1 to n do read(value[i]); readln; end;
数字游戏
小W发明了一个游戏，他在黑板上写出了一行 数字a1，a2，a3，……，an，然后给你M个回合 的机会，每会回你可以从中选择一个数字擦去它， 接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi。如此 重复m个回合，所有你擦去的数字之和就是你所 得的分数。 小W和他的好朋友小Y玩了这个游戏，可是他 发现，对于每个给出的a和b序列，小Y的得分总 比他高，所以他就很不服气。于是他想让你帮他 算算，对于每个a和b序列，可以得到的最大得分 是多少。
算法
建立一个数组last。 Last[i]表示长度为i的子序列中最小的最后一 个数。 特别的last[0]=负无穷 假如现在已经处理了前i-1个数，考虑加入 第i个数。