动态规划习题概要
动态规划例题讲解精品PPT课件
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8
动态规划练习题(含答案)
动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下：对于从1到N的连续整集合合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。
举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：and {1,2}这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。
程序不能预存结果直接输出。
PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行，且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数，如果不存在则输出0。
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下：#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。
动态规划练习试题和解答
动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。
现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。
顶行和底行的差值是2。
这个差值是两行点数之和的差的绝对值。
每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。
现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。
对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。
输入格式：文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。
接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。
第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。
输出格式：只有一个整数在文件的第一行。
这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。
[题2] Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.输出:对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.样例输入: 样例输出：3 6 4602 130 150 03 75 0 807 120 110 0 100 110 120 04 60 70 60 503 0 135 1402 70 802 32 0 701 800 0[题3] 复制书稿（BOOKS）问题描述：假设有M本书（编号为1，2，…M），想将每本复制一份，M本书的页数可能不同（分别是P1，P2，…PM）。
动态规划讲解大全含例题及答案
动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。
不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。
动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。
因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。
基本模型多阶段决策过程的最优化问题。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
动态规划例题
动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。
例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。
我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。
那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。
如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。
因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。
基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。
最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。
举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。
此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。
通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。
这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。
因此，学习动态规划是非常有意义的。
动态规划习题
习题6-1. 考虑下面的网络图，箭头上的数字代表相连两个节点之间的距离。
（1）用动态规划找出从节点1到节点10的最短路。
（2）从节点4到节点10的最短路呢？6-2. 从北京到上海的包机的剩余装载能力为2000kg ，某一运输公司现有4种货物需要从北京运输到上海。
每种货物的单位、单位重量和单位运输费用如下表所示。
（1）用动态规划找出包机应该运输的每种货物的单位数。
（2）假设包机同意装载另一批货物，剩余装载能力降为1800kg ，计算结果会怎样变化？6-3. 假定有一个3阶段的过程，每一阶段的产量是需要做出决策的函数。
使用数学符号，问题表述如下：Max ()()()332211d r d r d r ++ s.t.1000321≤++d d d 每个阶段的决策变量和相应的返回值如下所示：6-4. 某制造公司为一家汽车工厂提供发动机的部件，以下是3个月的生产计划的数据。
量是10单位，并且生产批量是10的倍数（例如，10,20或者30单位）。
6-5. 某物流公司雇佣了8名新员工，现决定如何把他们分配到4项作业上。
公司给出了以下每项作业分配不同的作业人员的估计利润表。
(1) 用动态规划决定每项作业应该分配的新员工数目。
(2) 如果公司只雇佣了6名新员工，应该把这些员工分配给哪些作业？6-6. 一个锯木厂采购了一批20ft 长的原木，想要把这些原木切成更短的原木，然后把切后的小原木卖给制造公司。
制造公司已经订购了一批4种尺寸的原木：l 1=3ft ，l 2=7ft ，l 3=11ft ，l 4=16ft 。
锯木厂现在有2000个长度为20ft 的原木的库存，并希望有选择地裁截原木以最大化利润。
假定锯木厂的订单是无限的，唯一的问题就是确定把现有原木裁成的类型以最大化利润。
原木的利润如下表所示：任何裁截类型的长度限制如下：201173321≤++d d d 其中，i d 是长度为i l 的类型的裁截数目，4,3,2,1=i .（1）为这个问题建立动态规划模型，并使用模型解决问题。
动态规划基础讲解及经典案例分析解答
5、参考程序 III
动态规划解题的一般思路
许多求最优解的问题可以用动态规划来解决。 许多求最优解的问题可以用动态规划来解决。 首先要把原问题分解为若干个子问题。 首先要把原问题分解为若干个子问题。注意单纯的递归往往会导 致子问题被重复计算，用动态规划的方法， 致子问题被重复计算，用动态规划的方法，子问题的解一旦求出就 要被保存，所以每个子问题只需求解一次。 要被保存，所以每个子问题只需求解一次。 子问题经常和原问题形式相似，有时甚至完全一样， 子问题经常和原问题形式相似，有时甚至完全一样，只不过规模 从原来的n 变成了n-1，或从原来的 ×m 变成了 ×(m-1) ……等 从原来的 变成了 ，或从原来的n× 变成了n× 等 等。 找到子问题，就意味着找到了将整个问题逐渐分解的办法。 找到子问题，就意味着找到了将整个问题逐渐分解的办法。 分解下去， 分解下去，直到最底层规模最小的的子问题可以一目了然地看出 解。 每一层子问题的解决，会导致上一层子问题的解决，逐层向上， 每一层子问题的解决，会导致上一层子问题的解决，逐层向上， 就会导致最终整个问题的解决。 就会导致最终整个问题的解决。 如果从最底层的子问题开始， 如果从最底层的子问题开始，自底向上地推导出一个个子问题的 那么编程的时候就不需要写递归函数。 解，那么编程的时候就不需要写递归函数。
3、参考程序 I
int main(void) { int m; scanf("%d", &N); for( int i = 1; i <= N; i ++ ) for( int j = 1; j <= i; j ++ ) scanf("%d", &D[i][j]); printf("%d", MaxSum(1, 1)); return 0; }
动态规划习题完整版
动态规划习题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】动态规划专题分类视图数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
【输入格式】输入文件box.in有若干行。
第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。
【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有Ck 个,每个重量均为Wk,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。
表示用这些砝码能秤出的不同重量数。
【输入样例】22223【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。
【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。
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第七章动态规划规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。
在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。
将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。
显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。
当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。
多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。
动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。
动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。
当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。
在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。
动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。
20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。
1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。
该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。
1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。
在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。
爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。
梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
§7.1 动态规划的基本理论1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。
其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。
由于每一阶段都有一个决策，所以每一阶段都应存在一个衡量决策效益大小的指标函数，这一指标函数称为阶段指标函数，用g n 表示。
显然g n 是状态变量S n 和决策变量d n 的函数，即g n = r （S n ，d n ），如图7-1（b ）所示。
显然，输出是输入和决策的函数，即：),(1n n n d S f S =+ （7-1）式（7-1）即为状态转移律。
在由N 个阶段构成的过程里，前一个阶段的输出即为后一个阶段的输入。
1.2 动态规划的基本概念动态规划的数学描述离不开它的一些基本概念与符号，因此有必要在介绍多阶段决策过程的数学描述的基础上，系统地介绍动态规划的一些基本概念。
1． 阶段（stage ）阶段是过程中需要做出决策的决策点。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用k 来表示。
阶段的划分一般是根据时间和空间的自然特征来进行的，但要便于将问题的过程转化为多阶段决策的过程。
对于具有N 个阶段的决策过程，其阶段变量k ＝1，2，…，N 。
2． 状态（state ）状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。
状态既反映前面各阶段系列决策的结局，又是本阶段决策的一个出发点和依据；它是各阶段信息的传递点和结合点。
各阶段的状态通常用状态变量S k 来加以描述。
作为状态应具有这样的性质：如果某阶段状态给定后，则该阶段以后过程的发展不受此阶段以前各阶段状态的影响。
换句话说，过程的历史只能通过当前的状态来影响未来，当前的状态是以往历史的一个总结。
这个性质称为无后效性（the future is independent of the past ）或健忘性（the process is forgetful ）。
3． 决策（decision ）决策是指决策者在所面临的若干个方案中做出的选择。
决策变量d k 表示第k 阶段的决策。
决策变量d k 的取值会受到状态S k 的某种限制，用D k （S k ）表示第k 阶段状态为S k 时决策变量允许的取值范围，称为允许决策集合，因而有d k （S k ）∈D k （S k ）。
4． 状态转移律（transformation function ）状态转移律是确定由一个状态到另一状态演变过程的方程，这种演变的对应关系记为S k+1 = T k （S k , d k ）。
5． 策略（policy ）与子策略（sub-policy ）由所有阶段决策所组成的一个决策序列称为一个策略，具有N 个阶段的动态规划问题的策略可表示为：)}(,),(),({2211N N S d S d S d从某一阶段开始到过程终点为止的一个决策子序列，称为过程子策略或子策略。
从第k 个阶段起的一个子策略可表示为：)}(,),(),({11N N k k k k S d S d S d ++6． 指标函数指标函数有阶段指标函数和过程指标函数之分。
阶段指标函数是对应某一阶段决策的效率度量，用g k = r （S k ，d k ）来表示；过程指标函数是用来衡量所实现过程优劣的数量指标，是定义在全过程（策略）或后续子过程（子策略）上的一个数量函数，从第k 个阶段起的一个子策略所对应的过程指标函数常用G k,N 来表示，即：),,,,,,(11,N N k k k k N k d S d S d S R G ++=构成动态规划的过程指标函数，应具有可分性并满足递推关系；即：N k k N k G g G ,1,+⊕=这里的⊕表示某种运算，最常见的运算关系有如下二种：（1） 过程指标函数是其所包含的各阶段指标函数的“和”，即：∑==Nkj j N k g G ,于是N k k N k G g G ,1,++=（2） 过程指标函数是其所包含的各阶段指标函数的“积”，即：∏==Nkj j N k g G ,于是N k k N k G g G ,1,+⨯=7． 最优指标函数从第k 个阶段起的最优子策略所对应的过程指标函数称为最优指标函数，可以用式（7-2）加以表示：}{)(1~N k k d k k g g g opt S f Nk ⊕⊕⊕=+ （7-2）其中“opt ”是最优化“optimization ”的缩写，可根据题意取最大“max ”或最小“min ”。
在不同的问题中，指标函数的含义可能是不同的，它可能是距离、利润、成本、产量或资源量等。
1.3 动态规划的数学模型动态规划的数学模型除包括式（7-2）外，还包括阶段的划分、各阶段的状态变量和决策变量的选取、允许决策集合和状态转移律的确定等。
如何获得最优指标函数呢？一个N 阶段的决策过程，具有如下一些特性： （1） 刚好有N 个决策点；（2） 对阶段k 而言，除了其所处的状态k S 和所选择的决策k d 外，再没有任何其它因素影响决策的最优性了；（3） 阶段k 仅影响阶段1+k 的决策，这一影响是通过1+k S 来实现的；（4） 贝尔曼（Bellman ）最优化原理：在最优策略的任意一阶段上，无论过去的状态和决策如何，对过去决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优子策略。
根据贝尔曼（Bellman ）最优化原理，可以将式（7-2）表示为递推最优指标函数关系式（7-3）或式（7-4）：)}({}{)(111~++++=⊕⊕⊕=k k k d N k k d k k S f g opt g g g opt S f kNk （7-3）)}({}{)(111~+++⨯=⊕⊕⊕=k k k d N k k d k k S f g opt g g g opt S f kNk （7-4）利用式（7-3）和式（7-4）可表示出最后一个阶段（第N 个阶段，即k=N ）的最优指标函数：)}({)(11+++=N N N d N N S f g opt S f N（7-5）)}({)(11++⨯=N N N d N N S f g opt S f N（7-6）其中)(11++N N S f 称为边界条件。
一般情况下，第N 阶段的输出状态1+N S 已经不再影响本过程的策略，即式（7-5）中的边界条件0)(11=++N N S f ，式（7-6）中的边界条件1)(11=++N N S f ；但当问题第N 阶段的输出状态1+N S 对本过程的策略产生某种影响时，边界条件)(11++N N S f 就要根据问题的具体情况取适当的值，这一情况将在后续例题中加以反映。
已知边界条件)(11++N N S f ，利用式（7-3）或式（7-4）即可求得最后一个阶段的最优指标函数)(N N S f ；有了)(N N S f ，继续利用式（7-3）或式（7-4）即可求得最后两个阶段的最优指标函数)(11--N N S f ；有了)(11--N N S f ，进一步又可以求得最后三个阶段的最优指标函数)(22--N N S f ；反复递推下去，最终即可求得全过程N 个阶段的最优指标函数)(11S f ，从而使问题得到解决。