动态规划例题
动态规划练习例题
动态规划方法总结
动态规划算法的设计步骤
– – – – – – – 将问题表示成多步判断 确定是否满足优化原则——必要条件 确定子问题的重叠性——估计算法效率 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件 自底向上计算子问题的优化函数值----非递归的算法 备忘录方法记录中间结果 标记函数追踪问题的解
• S(i)表示结束于位置i的最大子区间和 • max{S(i)}即为所求最大子区间和 • 考虑如何递推求解并反算问题解
最大子矩阵
• 已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的 和。给定一个矩阵，找到最大的非空(大小 至少是1 * 1)子矩阵。 • 例如这个矩阵的最大子矩阵大小为15。
0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
动态规划练习例题在棋盘上移动在一个nn的棋盘上棋子可以向上方右上方或左上方移动每次从x方格移动到y方格将获得pxy元钱pxy不一定是正数现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案
动态规划练习例题
在棋盘上移动
• 在一个n×n的棋盘上，棋子可以向上方、 右上方或左上方移动，每次从x方格移动到y 方格将获得p(x,y)元钱， p(x,y)不一定是正 数，现求一个获得钱最多的从底边到顶边 的一种移动棋子的方案。
解题思路
Qx, y 1 Q x, y max Qx 1, y 1 Q x 1, y 1 y 1 px, y 1, x, y y 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 字符串X=x1,x2,…xm和Y=y1,y2,…yn 使用一系列编辑操作将字符串X转变成Y。允许使 用插入，删除，修改三种操作，每种操作都有 一定的代价，求一个总代价最小的操作序列。 – 设从字符X中删除符号xi的代价为D(xi) – 将符号yj插入X的代价为I(yj) – 将X中的符号xi修改成yj的代价为C(xi,yj)
动态规划的具体应用例题
动态规划的具体应用例题3.1 最长不降子序列（1）问题描述设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。
若存在i1<i2<i3< … < ie 且有a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。
如上例中3，18，23，24就是一个长度为4的不下降序列，同时也有3，7，10，12，16，24长度为6的不下降序列。
程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降序列。
（2）算法分析根据动态规划的原理，由后往前进行搜索。
1· 对a(n)来说，由于它是最后一个数，所以当从a(n)开始查找时，只存在长度为1的不下降序列；2· 若从a(n-1)开始查找，则存在下面的两种可能性：①若a(n-1)<a(n)则存在长度为2的不下降序列a(n-1)，a(n)。
②若a(n-1)>a(n)则存在长度为1的不下降序列a(n-1)或a(n)。
3· 一般若从a(i)开始，此时最长不下降序列应该按下列方法求出: 在a(i+1),a(i+2),…,a(n)中，找出一个比a(i)大的且最长的不下降序列，作为它的后继。
4.用数组b(i),c(i)分别记录点i到n的最长的不降子序列的长度和点i后继接点的编号(3) 程序如下:（逆推法）program li1;const maxn=100;var a,b,c:array[1..maxn] of integer;fname:string;f:text;n,i,j,max,p:integer;beginreadln(fname);assign(f,fname);reset(f);readln(f,n);+for i:=1 to n dobeginread(f,a[i]);b[n]:=1;c[n]:=0;end;for i:= n-1 downto 1 dobeginmax:=0;p:=0;for j:=i+1 to n doif (a[i]<a[j]) and (b[j]>max) then begin max:=b[j];p:=j end;if p<>0 then begin b[i]:=b[p]+1;c[i]:=p endend;max:=0;p:=0;for i:=1 to n doif b[i]>max then begin max:=b[i];p:=i end;writeln('maxlong=',max);write('result is:');while p<>0 dobegin write(a[p]:5);p:=c[p] end;end.3.2 背包问题背包问题有三种1.部分背包问题一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n种物品，它们的总重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的总价值分别为C1,C2,...,Cn.求旅行者能获得最大总价值。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划典型例题
1、单调递增最长子序列描述求一个字符串的最长递增子序列的长度如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4输入第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000 输出输出字符串的最长递增子序列的长度样例输入3aaaababcabklmncdefg样例输出1372、最长公共子序列描述如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。
输入第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。
每个字符串长度不大于1000.输出每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。
每组结果占一行。
样例输入2asdfadfsd123abcabc123abc样例输出363、括号匹配时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB描述给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：[]是匹配的([])[]是匹配的((]是不匹配的([)]是不匹配的输入第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10)每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符，S的长度不超过100输出对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。
每组测试输出占一行样例输入4[]([])[]((]([)]样例输出324、完全背包描述直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
动态规划典型例题
1、单调递增最长子序列描述求一个字符串的最长递增子序列的长度如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4输入第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000 输出输出字符串的最长递增子序列的长度样例输入3aaaababcabklmncdefg样例输出1372、最长公共子序列描述如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。
输入第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。
每个字符串长度不大于1000.输出每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。
每组结果占一行。
样例输入2asdfadfsd123abcabc123abc样例输出363、括号匹配时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB描述给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：[]是匹配的([])[]是匹配的((]是不匹配的([)]是不匹配的输入第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10)每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符，S的长度不超过100输出对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。
每组测试输出占一行样例输入4[]([])[]((]([)]样例输出324、完全背包描述直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
动态规划 练习题
23.（11分）请用动态规划逆序求解法求解下列问题：求出下图中从A到E的最短路线及长度。
在图中标出每个点到终点的最短距离。
24. （11分）一个旅行者从A点出发，经过B、C、D等处，到达E。
各地间距离如图中所示。
问该旅行者应选择哪一条路线，使从A到E的总路程最短？（可直接在图上标号，最后给定答案）
24.一个旅行者从A点出发，经过B、C、D等处，到达E。
各地间距离如图中所示。
问该旅行者应选择哪一条路线，使从A到E的总路程最短？（可直接在图上标号，最后给定答案）（11分）
解：此为动态规划之“最短路问题”，可用逆向追踪“图上标号法”解决如下：
最佳策略为：A →B 2→C 1→D 1→E 或A →B 3→C 1→D 1→E 此时从A 到E 的总路程的最短距离都是11
23. 请用动态规划逆序求解法求解下列问题：
各点标号依次为：A:8, B1：7，B2:6, B3:8, C1：5， C2：4，D1：3，D2：1，D3：5.
25. 某厂生产C B A ,,三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
要求：建立模型，并用单纯形法计算，确定获利最大的产品生产计划。
解：（1）设C B A ,,
各生产321,,x x x 件。
有
32143min x x x z ++=
st.⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤++≤++)3,2,1(,03054345
536321321j x x x x x x x j
（4分）
获利最大的生产计划是C B A ,,各生产5件、0件、3件，最大利润为273453=⨯+⨯=z 元。
（15分）。
运筹学 动态规划-作业及答案
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。
求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。
已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。
每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。
求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。
4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
动态规划题目
动态规划总结1.POJ 1160Post OfficeTime Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 17936 Accepted: 9655DescriptionThere is a straight highway with villages alongside the highway. The highway is represented as an integer axis, and the position of each village is identified with a single integer coordinate. There are no two villages in the same position. The distance between two positions is the absolute value of the difference of their integer coordinates.Post offices will be built in some, but not necessarily all of the villages. A village and the post office in it have the same position. For building the post offices, their positions should be chosen so that the total sum of all distances between each village and its nearest post office is minimum.You are to write a program which, given the positions of the villages and the number of post offices, computes the leastpossible sum of all distances between each village and its nearest post office.IntputYour program is to read from standard input. The first line contains two integers: the first is the number of villages V, 1 <= V <= 300, and the second is the number of post offices P, 1 <= P <= 30, P <= V. The second line contains V integers in increasing order. These V integers are the positions of the villages. For each position X it holds that 1 <= X <= 10000. outputThe first line contains one integer S, which is the sum of all distances between each village and its nearest post office. Sample input10 51 2 3 6 7 9 11 22 44 50Sample output9题目大意：用数轴描述一条高速公路，有V个村庄，每一个村庄坐落在数轴的某个点上，需要选择P个村庄在其中建立邮局，要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。
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例1：机器负荷分配问题
某公司新购进1000台机床，每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产，设在高负荷下生产的产量函数为g(x )=10x （单位：百件），其中x 为投入生产的机床数量，年完好率为a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h(y)=6y （单位：百件），其中y 为投人生产的机床数量，年完好率为b=0.9。
计划连续使用5年，试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划，使在五年内生产的产品总产量达到最高。
例2：某企业通过市场调查，估计今后四个时期市场对某种产品的需要量如下表：
时期(k) 1
2 3 4 需要量(d k )
2（单位）
3
2
4
假定不论在任何时期，生产每批产品的固定成本费为3(千元)，若不生产，则为零；生产单位产品成本费为1(千元)；每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位，则任何时期生产x 个单位产品的成本费用为：
若 0＜x ≤6 ， 则生产总成本＝3十1·x 若 x ＝0 ， 则生产总成本＝0
又设每个时期末未销售出去的产品，在一个时期内单位产品的库存费用为0.5(千元)，同时还假定第1时期开始之初和在第4个时期之末，均无产品库存。
现在我们的问题是；在满足上述给定的条件下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？
例3：设某企业在第一年初购买一台新设备，该设备在五年内的年运行收益、年运行费用及更换新设备的净费用如下表：（单位：万元）
年份(k) 役龄(t) 运行收益()k g t 运行费用()k r t 更新费用()k c t 第一年 0 22 6 18 第二年
0 1
23 21
6 8
19 22
第三年0
1
2
23
21
18
5
7
10
19
23
28
第四年0
1
2
3
24
22
19
16
5
7
10
15
20
24
30
38
第五年0
1
2
3
4
25
23
20
17
14
4
6
9
14
20
20
24
30
38
48
试为该企业制定一个五年中的设备更新策略，使得企业在五年内总收益达到最大？
例4：设有一辆栽重为10吨的卡车，用以装载三种货物，每种货物的单位重量及单件价值如表所示，问各种货物应装多少件，才能既不超过总重量又使总价值最大？
货物 1 2 3
单位重量 3 4 5
单件价值 4 5 6。