动态规划练习试题和解答

动态规划练习题

[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）

问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。顶行和底行的差值是2。这个差值是两行点数之和的差的绝对值。每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。

现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。

输入格式：

文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。

输出格式：

只有一个整数在文件的第一行。这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。

[题2] Perform巡回演出

题目描述:

Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).

由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.

输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.

每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.

输出:

对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.

样例输入: 样例输出：

3 6 460

2 130 150 0

3 75 0 80

7 120 110 0 100 110 120 0

4 60 70 60 50

3 0 135 140

2 70 80

2 3

2 0 70

1 80

0 0

[题3] 复制书稿（BOOKS）

问题描述：假设有M本书（编号为1，2，…M），想将每本复制一份，M本书的页数可能不同（分别是P1，P2，…PM）。任务时将这M本书分给K个抄写员（K 〈=M〉，每本书只能分配给一个抄写员进行复制，而每个抄写员所分配到的书必须是连续顺序的。

意思是说，存在一个连续升序数列0=bo〈b1〈b2〈…

输入格式：

文件的第一行是两个整数m和k (1〈=k〈=m〈=500)。

第二行有m个整数P1，P2，…，Pm，这m个整数均为正整数且都不超过1000000。每两个整数之间用空格分开。

输出格式：

文件有k行，每行有两个正整数。整数之间用空格分开。

第I行的两个整数ai和bi，表示第I号抄写员所分配得到的书稿的起始编号与终止编号。

动态规划题参考程序：

题1：

解决问题：例子的上下部分之差是6+1+1+1-（1+5+3+2）=（6-1）+（1-5）+（1-3）+（1-2）=-2，而翻转最后一个骨牌后，上下之差变为（6-1）+（1-5）+（1-3）+（2-1）=0。由此看出，一个骨牌对翻转策略造成影响的是上下两数之差，骨牌上的数则是次要的了。这么一来，便把骨牌的放置状态由8个数字变为4个： 5 -4 -2 -1，翻转时只需取该位数字的相反数就行了。

在本题中，因为各骨牌的翻转顺序没有限定，所以不能按骨牌编号作为阶段来划分。怎么办呢？考虑到隐含阶段类型的问题可以按状态最优值的大小来划分阶段。于是，我们以骨牌序列上下两部分的差值I作为状态，把达到这一状态的翻转步数作为状态值，记为f（I）。便有f（I）=min{f（I+j）+1} （-12〈=j<=12,j 为偶数，且要求当前状态有差值为j/2的骨牌）。这里，I不是无限增大或减小，其范围取决于初始骨牌序列的数字差的和的大小。

具体动态规划时，如例题，我们以f（-2）=0起步，根据骨牌状态，进行一次翻转，可得到f（-12）=1，f（6）=1，f（2）=1，f（0）=1，由于出现了f （0），因此程序便可以结束，否则将根据四个新状态继续扩展，直至出现f（0）或者无法生成新状态为止。

注意：在各状态，除记录最少步数外，还需记录到达这一状态时各骨牌的放置情况；而当到达某一状态发现已记录有一种翻转策略时，则取步数较小的一种。程序如下：

program domino;

type tp=array[1..6] of integer;

var t:array[1..6000] of ^tp;

{记录骨牌摆放状态}

f:array[-6000..6000] of integer;

{记录达到某个差值的最少步数}

l:array[1..6000] of integer;

{扩展队列}

tt:tp;

i,j,n,m,x,y,ft,re:integer;

f1,f2:text;

procedure init;

{程序初始化}

begin

assign(f1,'domino.dat');

reset(f1);

assign(f2,'domino.out');

rewrite(f2);

m:=0;

ft:=0;re:=1;new(t[1]);

fillchar(t[1]^,sizeof(t[1]^),0);

fillchar(f,sizeof(f),0);

fillchar(tt,sizeof(tt),0);

readln(f1,n);

for i:=1 to n do

begin

readln(f1,x,y);

if x<>y then